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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.2 一元二次不等式及其解法練習(xí)
(25分鐘 50分)
一、選擇題(每小題5分,共35分)
1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集為( )
A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2}
C.{x|1
2}
【解析】選A.因為(x-1)(2-x)≥0,
所以(x-2)(x-1)≤0,
所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得1≤x≤2.
故選A.
2.(xx成都模擬)使不等式2x2-5x-3≥0成立的一個充分不必要條件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1,3,5} D.x≤-或x≥3
【解析】選C.不等式2x2-5x-3≥0的解集是.
由題意,選項中x的范圍應(yīng)該是上述解集的真子集,只有C滿足.
3.(xx濰坊模擬)函數(shù)f(x)=的定義域是( )
A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(1,3)
C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,3)
【解析】選D.由題意知
即
故函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)∪(2,3).
【加固訓(xùn)練】不等式≤0的解集為( )
A.
B.
C.∪[1,+∞)
D.∪[1,+∞)
【解析】選A.≤0等價于不等式組①或②
解①得-0的解集為( )
A.{x|x<-1或x>lg2} B.{x|-1-lg2} D.{x|x<-lg2}
【解析】選C.由題意,得10x<-1,或10x>,
10x<-1無解;
由10x>,得x>lg,即x>-lg2.
5.(xx杭州模擬)若x=1滿足不等式ax2+2x+1<0,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-3) B.(-3,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【解析】選A.因為x=1滿足不等式ax2+2x+1<0,
所以a+2+1<0,
所以a<-3.故選A.
6.關(guān)于x的不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要條件是( )
A.a<0或a>4 B.00(a∈R)在R上恒成立可知,Δ=a2-4a<0,所以00(a∈R)在R上恒成立;反之不成立.故其充分不必要條件為00的解集為{x|-20的解集為{x|-23a2,則a的取值范圍是 .
【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.
由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,
即a2-2a-3<0,解得-10?x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),k∈(2,+∞).
答案:k∈(2,+∞)
10.當(dāng)x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成立,則m的取值范圍是 .
【解析】當(dāng)x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成立?m<-=-在x∈(1,2)上恒成立,設(shè)φ(x)=-,φ(x)=-∈(-5,-4),故m≤-5.
所以m的取值范圍為(-∞,-5].
答案:(-∞,-5]
【一題多解】本題還有以下解法
設(shè)f(x)=x2+mx+4,因為當(dāng)x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成立,又因為f(0)=4,f(x)開口向上,所以若f(x)<0在(1,2)恒成立,則:解得m≤-5.
所以m的取值范圍為(-∞,-5].
答案:(-∞,-5]
(20分鐘 40分)
1.(5分)關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3個整數(shù),則a的取值范圍是( )
A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)
C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5]
【解析】選D.原不等式可化為(x-1)(x-a)<0,當(dāng)a>1時得11},則函數(shù)y=f(-x)的圖象可以為( )
【解析】選B.由f(x)<0的解集為{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的圖象與x軸交點為(-3,0),(1,0),
所以f(-x)圖象開口向下,與x軸交點為(3,0),(-1,0).
3.(5分)(xx青島模擬)已知a為正的常數(shù),若不等式≥1+-對一切非負(fù)實數(shù)x恒成立,則a的最大值為 .
【解析】原不等式即≥1+-(*),令=t,t≥1,則x=t2-1,所以(*)即≥1+-t==對t≥1恒成立,所以≥對t≥1恒成立,又a為正的常數(shù),所以a≤[2(t+1)2]min=8,故a的最大值是8.
答案:8
【加固訓(xùn)練】(xx溫州模擬)若關(guān)于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 .
【解析】因為4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,
所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.
令y=4x-2x+1=(2x)2-22x+1-1=(2x-1)2-1.
因為1≤x≤2,所以2≤2x≤4.
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)2x=2,即x=1時,y有最小值0,所以a的取值范圍為
(-∞,0].
答案:(-∞,0]
4.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)時,f(x)<0.當(dāng)x∈(-3,2)時,f(x)>0.
(1)求f(x)在[0,1]內(nèi)的值域.
(2)若ax2+bx+c≤0的解集為R,求實數(shù)c的取值范圍.
【解題提示】(1)由題意得-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的兩根,故有且a<0,解得a和b,然后再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解出函數(shù)在[0,1]內(nèi)的值域即可.
(2)在已知a和b的情況下,不等式ax2+bx+c≤0的解集為R,列式,可解出實數(shù)c的取值范圍.
【解析】(1)因為當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)時,f(x)<0,
當(dāng)x∈(-3,2)時,f(x)>0,
所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的兩根,
所以可得所以a=-3,b=5,
所以f(x)=-3x2-3x+18
=-3+18.75,
函數(shù)圖象關(guān)于x=-0.5對稱,且拋物線開口向下,
所以在區(qū)間[0,1]上f(x)為減函數(shù),所以函數(shù)的最大值為f(0)=18,最小值為f(1)=12,
故f(x)在[0,1]內(nèi)的值域為[12,18].
(2)由(1)知,不等式ax2+bx+c≤0化為-3x2+5x+c≤0,因為二次函數(shù)y=-3x2+5x+c的圖象開口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集為R,只需
即25+12c≤0?c≤-,
所以實數(shù)c的取值范圍為.
【加固訓(xùn)練】1.已知不等式ax2-3x+6>4的解集為{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值.
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1)因為不等式ax2-3x+6>4的解集為{x|x<1或x>b},所以x1=1與x2=b是方程ax2-3x+2=0的兩個實數(shù)根,b>1且a>0.由根與系數(shù)的關(guān)系,
得解得
(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,
即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
當(dāng)c>2時,不等式(x-2)(x-c)<0的解集為{x|22時,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集為{x|20.
(2)若不等式f(x)>0的解集為(-1,3),求實數(shù)a,b的值.
【解析】(1)因為f(1)>0,所以-3+a(6-a)+b>0,
即a2-6a+3-b<0.
Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.
①當(dāng)Δ≤0,即b≤-6時,原不等式的解集為?.
②當(dāng)Δ>0,即b>-6時,
方程a2-6a+3-b=0有兩根a1=3-,
a2=3+,
所以不等式的解集為(3-,3+).
綜上所述:當(dāng)b≤-6時,原不等式的解集為?;
當(dāng)b>-6時,原不等式的解集為(3-,3+).
(2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,
即3x2-a(6-a)x-b<0.
因為它的解集為(-1,3),
所以-1與3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的兩根.
所以解得或
5.(13分)某商品每件成本價為80元,售價為100元,每天售出100件.若售價降低x成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加x成.要求售價不能低于成本價.
(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域.
(2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元,求x的取值范圍.
【解析】(1)由題意得y=100100.
因為售價不能低于成本價,所以100-80≥0.
所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定義域為[0,2].
(2)由題意得20(10-x)(50+8x)≥10260,
化簡得8x2-30x+13≤0.
解得≤x≤.
所以x的取值范圍是.
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