[理學(xué)]線性代數(shù) 胡覺亮 習(xí)題參考答案
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1、習(xí) 題 解 答 習(xí) 題 一 (A) 1.用消元法解下列線性方程組: (1) 解 由原方程組得同解方程組 得方程組的解為令,得方程組的通解為 ,其中為任意常數(shù). (2) 解 由原方程組得同解方程組 所以方程組無解. (3) 解 由原方程組得同解方程組 得方程組的解為. (4) 解 由原方程組得同解方程組 得方程組的解為. 2.用初等行變換將下列矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣: (1). 解 ,得 行階梯形:(不唯一);行最簡(jiǎn)形:. (2). 解 ,得 行階梯形:(不唯一);行最簡(jiǎn)形:. (3).
2、解 ,得 行階梯形:(不唯一);行最簡(jiǎn)形:. (4). 解 ,得 行階梯形:(不唯一);行最簡(jiǎn)形:. 3.用初等行變換解下列線性方程組: (1) 解 , 得方程組的解為 . (2) 解 , 得方程組無解. (3) 解 , 得方程組的解為令,得方程組的通解為 ,其中為任意常數(shù). (4) 解 , 得方程組的解為令,得方程組的通解為 ,其中為任意常數(shù). (B) 1.當(dāng)為何值時(shí),線性方程組有無窮多解,并求解. 解 . 當(dāng)時(shí),,方程組有無窮多解,且解為 . 令,得方程組的通解為 ,其中為任意常數(shù). 0.5 B A C 0
3、.2 0.7 0.7 0.2 0.3 0.3 0.1 3.(聯(lián)合收入問題)已知三家公司A、B、C具有如下圖所示的股份關(guān)系,即A公司掌握C公司50%的股份,C公司掌握A公司30%的股份,而A公司70%的股份不受另外兩家公司控制等等. 3 現(xiàn)設(shè)A、B和C公司各自的營(yíng)業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元,每家公司的聯(lián)合收入是其凈
4、收入加上其它公司的股份按比例的提成收入.試確定各公司的聯(lián)合收入及實(shí)際收入. 解 A公司的聯(lián)合收入為309390.86元,實(shí)際收入為216573.60元; B公司的聯(lián)合收入為137309.64元,實(shí)際收入為27461.93元; C公司的聯(lián)合收入為186548.22元,實(shí)際收入為55964.47元. 習(xí) 題 二 (A) 1.利用對(duì)角線法則計(jì)算下列行列式: (1). 解 原式. (2). 解 原式. (3). 解 原式. (4). 解 原式. (5). 解 原式. 2.按定義計(jì)算下列行列式: (1). 解 原式. (2).
5、解 原式. 3.利用行列式的性質(zhì),計(jì)算下列行列式: (1). 解 原式. (2). 解 原式. (3). 解 原式. (4). 解 原式 . (5),其中. 解 原式. 4.利用行列式展開定理,計(jì)算下列行列式: (1). 解 原式. (2). 解 原式. (3). 解 原式 . (4). 解 將行列式按第一行展開,得,則 , 所以. 5.利用行列式展開定理證明:當(dāng)時(shí),有 . 證 將行列式按第一行展開,得,則 , 所以.
6、 (1) 由關(guān)于與對(duì)稱,得. (2) 由(1)與(2)解得. 6.利用范德蒙德行列式計(jì)算行列式. 解 原式 . 7.設(shè),試求和. 解 ; . 8.利用克拉默法則解下列線性方程組: (1) 解 經(jīng)計(jì)算,得,所以方程組的解為. (2) 解 經(jīng)計(jì)算,得,所以方程組的解為 . 9.試問取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解. 解 方程組有非零解,則.又 , 所以. 10.試問、取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解. 解 方程組有非零解,則.又 , 所以或. (B)
7、1.選擇題: (1)設(shè),則( ). (A) (B) (C) (D) 解 原式. 選(A). (2)四階行列式的值等于( ). (A) (B) (C) (D) 解 將行列式的第4行依次與第3行、第2行交換,再將行列式的第4列依次與第3列、第2列交換,得 . 選(D). (3)設(shè)線性方程組若,則方程組的解為( ). ?。ˋ) (B) ?。–) (D) 解 將方程組寫成標(biāo)準(zhǔn)形式:有 , 所以方程組的解為 . 選(C). (4
8、)方程=的根的個(gè)數(shù)為( ). (A) (B) (C) (D) 解 方法一:將按第1列展開,知為3次多項(xiàng)式,因此有3個(gè)根.選(C). 方法二:有3個(gè)根 . 選(C). 2.計(jì)算四階行列式. 解 . 3.計(jì)算四階行列式. 解 . 4.計(jì)算階行列式. 解 . 5.計(jì)算五階行列式. 解 方法一:一般地,對(duì)于此類階行列式,將其按第一行展開,得 , 則 , 有 , 所以. 方法二:由習(xí)題二(A)的第5題,得當(dāng)時(shí),有 , 所以. 6.計(jì)算階行列式.
9、 解 將行列式按第一行展開,得,則 . 7.已知1326、2743、5005、3874都能被13整除,不計(jì)算行列式的值,證明能被13整除. 證 . 由已知,得后行列式的第4列具有公因子,所以原行列式能被13整除. 8.證明:. 證 構(gòu)造5階行列式 , 則. (1) 將按第5列展開,得 . (2) 比較(1)與(2)右邊的系數(shù),知結(jié)論成立. 9.證明:當(dāng)時(shí),齊次線性方程組有非零解. 證 方程組的系數(shù)行列式 , 當(dāng),即時(shí),方程組有非零解. 10.應(yīng)用題: (1)1;(2). 習(xí)
10、 題 三 (A) 1.下列矩陣中,哪些是對(duì)角矩陣、三角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣. ,,,. 解 是數(shù)量矩陣,也是對(duì)角矩陣;、是三角矩陣;都不是. 2.設(shè)矩陣. (1)計(jì)算; (2)若滿足,求. 解 (1); (2). 3.設(shè)有3階方陣,,且,,求. 解 . 4.計(jì)算下列矩陣的乘積: (1). 解 原式. (2). 解 原式. (3). 解 原式. (4). 解 原式. (5). 解 原式. (6). 解 原式. 5.已知矩陣,.求: (1)與; (2)與. 解 (1)
11、,; (2),. 6.求與矩陣可交換的所有矩陣. 解 設(shè)與可交換的矩陣.由,得 令,得,其中為任意常數(shù). 7.利用歸納法,計(jì)算下列矩陣的次冪,其中為正整數(shù): (1). 解 令,有 則. (2). 解 令,有,則 . (3). 解 令,有 則. 8.已知矩陣,,令,求,其中為正整數(shù). 解 . 9.若為階對(duì)稱矩陣,為階矩陣,證明為對(duì)稱矩陣. 證 因?yàn)?,所以為?duì)稱矩陣. 10.利用公式法求下列矩陣的逆矩陣: (1). 解 ,又,所以. (2). 解 ,又,所以. (3). 解 ,又,所以. (4). 解 ,又,
12、所以. 11.解下列矩陣方程: (1). 解 . (2)設(shè),其中,. 解 由,得.又 , 則可逆,且.經(jīng)計(jì)算,得 . 所以. (3). 解 ,則 . 12.設(shè),且矩陣滿足,求矩陣. 解 等式兩邊左乘以,得 . 又,上式兩邊右乘以,得,即,所以 . 13.設(shè)都是階矩陣,證明:可逆的充分必要條件是都可逆. 證 可逆都可逆. 14.設(shè)階方陣滿足,證明可逆,并求. 證 由,得,即 , 所以可逆,且. 15.設(shè)為階矩陣,且,證明及都是可逆矩陣. 證 由,得及,所以及都是可逆矩陣. 16.已知為三階方陣,且,求: (1); (2)
13、; (3). 解 (1)原式. (2)原式. (3),有 原式. 17.設(shè),求. 解 ,則. 18.(1)設(shè),證明. (2)設(shè),且,求與. 證 (1). (2)由,得,且.又 , 所以. 19.利用分塊矩陣計(jì)算下列矩陣的乘積: (1). 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則原式.又 , 所以原式. (2). 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則原式. 20.利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣: (1). 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則.又,所以 . (2). 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則.又,所以. (3)
14、. 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則.又 , 所以. 21.設(shè)矩陣,利用分塊矩陣計(jì)算. 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則.又,所以 . 22.設(shè)矩陣,利用分塊矩陣計(jì)算. 解 將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則,所以. 23.(1)設(shè),且階矩陣和階矩陣均可逆,試證明. (2)設(shè)矩陣,其中為非零常數(shù),求. 證 (1)因?yàn)?,所以可逆,? . (2)將矩陣進(jìn)行如下分塊: , 則.又,所以 . 24.利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆;如可逆,求其逆矩陣. (1). 解 . 因?yàn)椋圆豢赡妫? (2). 解 , 所以可逆,且.
15、 (3). 解 , 所以可逆,且. (4). 解 , 所以不可逆. 25.利用矩陣的初等行變換解下列矩陣方程: (1). 解 , 所以. (2). 解 將方程兩邊轉(zhuǎn)置,得.由 , 得. 26.求下列矩陣的秩: (1). 解 ,所以. (2). 解 . (3). 解 . (4). 解 . 27.設(shè)矩陣,且,求的值. 解 . 由,得. 28.設(shè)矩陣,問取何值時(shí),使得 (1);(2);(3). 解 ,有 當(dāng)且時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 29.設(shè)是矩陣,且的秩為,而,求. 解 ,則. 30.設(shè)為
16、階矩陣,滿足,證明:. 證 由,得,所以 . 又 , 所以. 31.設(shè)三階矩陣,試求與. 解 . 因?yàn)椋? 32.求解下列線性方程組: (1) 解 方程組的系數(shù)矩陣 . 因?yàn)?,所以方程組只有零解. (2) 解 方程組的增廣矩陣 , 所以方程組的解為. (3) 解 方程組的系數(shù)矩陣 , 得方程組的解為 令,得方程組的通解 ,其中為任意常數(shù). (4) 解 方程組的增廣矩陣 . 因?yàn)?,所以方程組無解. (5) 解 方程組的增廣矩陣 , 得方程組的解為 令,得方程組的通解 ,其中為任意常數(shù). (6) 解 方程組
17、的增廣矩陣 , 得方程組的解為 令,得方程組的通解為 ,其中為任意常數(shù). 33.試問取何值時(shí),下列非齊次線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解. (1) 解 方程組的系數(shù)行列式 . 當(dāng),即且時(shí),方程組有唯一解. 當(dāng)時(shí), . 因?yàn)椋苑匠探M無解. 當(dāng)時(shí), . 因?yàn)?,所以方程組有無窮多解. (2) 解 方程組的系數(shù)行列式 . 當(dāng),即且時(shí),方程組有唯一解. 當(dāng)時(shí), . 因?yàn)?,所以方程組無解. 當(dāng)時(shí), . 因?yàn)?,所以方程組有無窮多解. 34.試問取何值時(shí),非齊次線性方程組有解,并求解. 解 方程組的增廣矩陣 . 當(dāng)時(shí),
18、 , 有,則方程組有無窮多解,且解為 令,得方程組的通解為 ,其中為任意常數(shù). 35.求平面上三點(diǎn)共線的充分必要條件. 解 設(shè)直線方程為.則 平面上三點(diǎn)共線有非零解 ,即. (B) 1.選擇題: (1)設(shè)為階矩陣,以下結(jié)論正確的是( ). (A)若、是對(duì)稱矩陣,則也是對(duì)稱矩陣. (B). (C)若,且可逆,則. (D)若與等價(jià),則與相等. 解 選(C). (2)設(shè)和均為矩陣,則必有( ). (A)=+. (B). (C)=.
19、 (D). 解 選(C). (3)設(shè)為階矩陣,是的伴隨矩陣,為常數(shù),則( ). (A). (B). (C). (D). 解 由伴隨矩陣的定義,知選(C). (4)設(shè)和均為階非零矩陣,且,則和的秩( ). (A)必有一個(gè)等于零. (B)一個(gè)等于,一個(gè)小于. (C)都等于. (D)都小于. 解 由,得.又,知.所以,故選(D). (5)對(duì)于非齊次線性方程組,若,則( ). (A)當(dāng)時(shí),有解. (B
20、)當(dāng)時(shí),有唯一解. (C)當(dāng)時(shí),有唯一解. (D)當(dāng)時(shí),有無窮多解. 解 當(dāng)時(shí),,故選(A). 2.設(shè)矩陣,試求. 解 ,則 . 3.設(shè)矩陣,且,試求. 解 由,得.又,有 , 兩邊取行列式,得,所以. 4.設(shè)矩陣,且,試求. 解 ,則 . 5.設(shè)矩陣,試求. 解 ,所以 . 6.設(shè)矩陣,矩陣滿足,試求矩陣. 解 由,得.又,有. 經(jīng)計(jì)算可得,所以. 7.設(shè)矩陣,且矩陣滿足,試求矩陣. 解 由,得.(注意)又 , 得方程組的解為令,得為任意常數(shù). 8.設(shè)階矩陣,試求的秩. 解 . 當(dāng)時(shí),為非奇異矩陣,所以; 當(dāng)時(shí),,則;
21、 當(dāng)時(shí),的階子式 而,所以. 9.試求取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解,并求通解. 解 方程組的系數(shù)矩陣 . 當(dāng)時(shí),,方程組有非零解,且 , 得方程組的解為 令,得方程組的通解為 ,其中為任意常數(shù). 10.試求取何值時(shí),非齊次線性方程組無解、有唯一解或無窮多解,并在有無窮多解時(shí)求方程組的通解. 解 方程組的系數(shù)行列式 . 當(dāng)且時(shí),方程組有唯一解. 當(dāng)時(shí), . 因?yàn)椋苑匠探M有無窮多解,且通解為 ,其中為任意常數(shù). 當(dāng)時(shí),方程組無解. 11.設(shè)矩陣,為三階非零矩陣.試求常數(shù),使得. 解 有非零解.又,所以. 12.證明:(1)設(shè)
22、為矩陣,則有意義的充分必要條件是為同階矩陣. (2)對(duì)任意階矩陣,都有,其中為單位矩陣. 證 (1)設(shè)為矩陣,為矩陣,則 有意義, 即為同階矩陣. (2)設(shè),則的主對(duì)角線上元素之和為 , 而的主對(duì)角線上元素之和為,所以. 13.證明:任意階矩陣都可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和. 證 設(shè)為任意階矩陣,則 , 其中為對(duì)稱矩陣,為反對(duì)稱矩陣.(你是否能聯(lián)系到函數(shù)可以表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和) 14.已知階矩陣滿足,試證可逆,并求. 證 由,得 , 所以可逆,且. 15.設(shè)為元素全為1的階方陣,證明:. 證 .又,故 , 所以. 16.設(shè)階矩陣
23、與等價(jià),且,證明. 證 與等價(jià),則存在階可逆矩陣與,使得,有 . 注:此結(jié)論告訴我們初等變換不改變矩陣的可逆性. 17.設(shè)為階方陣,且,證明. 證 因?yàn)?,所以.? , 所以. 18.設(shè)是矩陣,是矩陣,其中.若,其中為階單位矩陣.證明方程組只有零解. 證 由,得.又,得,所以方程組只有零解. 習(xí) 題 四 (A) 1.設(shè),求和. 解 ,. 2.求解下列向量方程: (1),其中. 解 . (2),其中. 解 . 3.試問向量可否由向量組線性表示?若能,求出由線性表示的表達(dá)式. (1). 解 設(shè).由 , 得,所以可由向量組線性表
24、示,且,得表達(dá)式. (2). 解 設(shè).由 , 得,所以可由向量組線性表示,且,得表達(dá)式. 4.討論下列向量組的線性相關(guān)性: (1). 解 向量組所含向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù),所以該向量組線性相關(guān). (2),其中全不為零. 解 對(duì)應(yīng)的分量成比例,則線性相關(guān),所以該向量組線性相關(guān). (3), ,. 解 . 因?yàn)?,所以該向量組線性無關(guān). (4). 解 . 因?yàn)?,所以該向量組線性相關(guān). 5.(1)設(shè),證明:線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng). (2)設(shè),證明:線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的分量成比例. 證 (1)線性相關(guān). (2)線性相關(guān),其中不全為零.不妨設(shè),則 線性相
25、關(guān),即對(duì)應(yīng)的分量成比例. 6.任取,又記 ,證明必線性相關(guān). 證 顯然,即 , 所以必線性相關(guān). 7.若向量組由向量組線性表示為 試將向量組由向量組表示. 解 由解得 8.設(shè)為一組非零向量,按所給的順序,每一都不能由它前面的個(gè)向量線性表示,證明向量組線性無關(guān). 證 用數(shù)學(xué)歸納法證明.時(shí),,則線性無關(guān).設(shè)時(shí)成立,即線性無關(guān).當(dāng)時(shí),若線性相關(guān),則可由線性表示,矛盾,所以向量組線性無關(guān). 9.設(shè)非零向量可由向量組線性表示,證明:表示法唯一當(dāng)且僅當(dāng)向量組 線性無關(guān). 證 可由向量組線性表示 . 則 表示法唯一有唯一解 線性無
26、關(guān). 10.設(shè),證明:向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)任一維向量均可由線性表示. 證 必要性:線性無關(guān),任取,則線性相關(guān),所以可由線性表示. 充分性:任一維向量均可由線性表示,則單位坐標(biāo)向量可由線性表示,有 , 所以,即線性無關(guān). 11.求下列各向量組的秩及其一個(gè)極大無關(guān)組,并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示. (1). 解 , 所以,本身為一個(gè)極大無關(guān)組; (2). 解 , 所以,為一個(gè)極大無關(guān)組,且 ,. (3). 解 , 所以,為一個(gè)極大無關(guān)組,且 ,. 12. 設(shè)A:和B:為兩個(gè)同維向量組,秩分別為和;向量組 的秩為.證明:. 證 先證.顯然組
27、與組分別可由組線性表示,則,且,所以. 次證.設(shè)為組的一個(gè)極大無關(guān)組,為組的一個(gè)極大無關(guān)組,則組可由線性表示,有 . 13.設(shè)為階可逆陣,與均為矩陣,且.試證明. 證 由,知的列向量組可由的列向量組線性表示,則. 因?yàn)榭赡?,則,知的列向量組可由的列向量組線性表示,則.所以. 14.設(shè)為矩陣,證明:當(dāng)且僅當(dāng). 證 必要性顯然,下證充分性:. 設(shè)為的任一列向量,則,所以.由的任意性知. 15.設(shè). (1)求由向量組生成的向量空間的一組基與維數(shù); (2)求向量在此組基下的坐標(biāo). 解 由,得 (1)為由向量組生成的向量空間的一組基,且維數(shù)為2; (2)向量在此組
28、基下的坐標(biāo)為. 16.設(shè).證明向量組是的一組基,并求向量在這組基下的坐標(biāo). 證 由, 得是的一組基,且在這組基下的坐標(biāo)為. 17.在中取兩組基:; . (1)求由基到基的過渡矩陣. (2)若向量在基下的坐標(biāo)為,求向量在基下的坐標(biāo). 解 設(shè).由 , 得(1)由基到基的過渡矩陣. (2)在基下的坐標(biāo)為 . 18.在中求一向量,使其在下面兩組基: ; 下有相同的坐標(biāo). 解 由,得,即 . 令.由 , 得取,得. 19.求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及通解. (1) 解 由,得 令
29、,得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,通解為,其中為任意常數(shù). (2) 解 由,得 令,得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,,通解為,其中為任意常數(shù). (3) 解 由,得 令,得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,,通解為,其中為任意常數(shù). (4) 解 由,得 令,得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 ,,, 通解為,其中為任意常數(shù). 20. 判斷下列非齊次線性方程組是否有解,若有解,并求其解(在有無窮多解的情況下,用基礎(chǔ)解系表示全部解). (1) 解 方程組的增廣矩陣 . 因?yàn)?,所以方程組有唯一解,且解為. (2) 解 方程組的增廣矩陣 , 因?yàn)?,所以方程組有無窮多解,且 令,得通解
30、為 其中為任意常數(shù). (3) 解 方程組的增廣矩陣 . 因?yàn)?,所以方程組有唯一解,且解為. 21.設(shè)三元非齊次線性方程組,矩陣的秩為2,且, 是方程組的兩個(gè)特解,試求此方程組的全部解. 解 由已知得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量,設(shè)為,則可取 . 所以方程組的通解為,其中為任意常數(shù). 22.設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,求證也是 的基礎(chǔ)解系. 證 顯然是的解,只需證明它們線性無關(guān). . 由,得 ,所以線性無關(guān). 23.設(shè)是階方陣.證明:存在一個(gè)階非零矩陣,使的充要條件是. 證 存在,使得有非零解. 24.設(shè)是階方陣,為矩陣,且.證明:
31、 (1)若,則; (2)若,則. 證 (1),則.又. (2).由(1)得. (B) 1.設(shè)向量組線性相關(guān),而線性無關(guān),問: (1)能否由線性表示?為什么? (2)能否由線性表示?為什么? 解 (1)線性無關(guān),則線性無關(guān);又線性相關(guān),則可由線性表示;所以可由線性表示. (2)若可由線性表示,又可由線性表示,則可由線性表示,有線性相關(guān),矛盾,所以不能由線性表示. 2.若向量組,其中的第個(gè)分量為,余皆為.試 討論該向量組的線性相關(guān)性. 解 . 當(dāng)且時(shí),,向量組線性無關(guān); 當(dāng)或時(shí),,向量組線性相關(guān). 3.設(shè)向量組線性無關(guān),,,…,,
32、試討論的線性相關(guān)性.若向量組線性相關(guān)呢? 解 ,且 . (1)若線性無關(guān),則 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,有,此時(shí)線性相關(guān); 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,有,此時(shí)線性無關(guān). (2)若線性相關(guān),則,此時(shí)線性相關(guān). 4.設(shè)為維非零向量,為階方陣,若 ,, 試證明線性無關(guān). 證 設(shè). 該式兩邊左乘以,得 依此類推,得.由,得. 同理可證.所以線性無關(guān). 5.設(shè),其中為3階方陣,為3維 向量,且,證明線性無關(guān). 證 設(shè). (1) (1)式兩邊左乘以,得. (2)
33、 (2)減去(1),得. (3) (3)式兩邊左乘以,得. (4) (4)減去(3),得.因?yàn)?,所以? 代入(3),得,所以.代入(1),得,所以. 所以線性無關(guān). 6.設(shè)為階方陣,為維列向量.證明:若存在正整數(shù),使,而, 則線性無關(guān). 證 設(shè),該式兩邊左乘以,得 . 因?yàn)?,所以? 同理可證.所以線性無關(guān). 7.設(shè)向量組的秩與向量組相同,且組可由組線性表示,證明組與組等價(jià). 證 設(shè),為組的一個(gè)極大無關(guān)組,為組的一個(gè)極大無關(guān)組.由組可
34、由組線性表示,得 . 又,則,即為可逆矩陣,有 , 即可由線性表示,所以組可由組線性表示.故組與組等價(jià). 8.設(shè)向量組:線性無關(guān),向量組:能由線性表示為 , 其中,證明:向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹龋? 證 向量組線性無關(guān)只有零解 只有零解 只有零解. 9.設(shè)都是矩陣,試證明:. 證 先證.顯然的列向量組可由的列向量組和的列向量組線性表示,則. 此證.設(shè),與分別為與的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,則的列向量組可由與線性表示,有 , 即. 10.設(shè)是的一組基,,,. (1)證明是的一組基;
35、 (2)求由基到基的過渡矩陣; (3)若向量在基下的坐標(biāo)為,求向量在基下的坐標(biāo). 證 . ?。ǎ保? (1)由,得,則線性無關(guān),所以是的一組基. (2)由(1)式,得由基到基的過渡矩陣. (3)在基下的坐標(biāo) . 11.當(dāng)為何值時(shí),齊次線性方程組只有零解?有非零解?在方程組有非零解時(shí),求其全部解. 解 方程組的系數(shù)行列式 . 當(dāng),即時(shí)只有零解. 當(dāng),即時(shí)有非零解,且通解為 ,其中為任意常數(shù). 12.設(shè)是的三個(gè)特解,則( ?。┮彩堑慕猓? (A); (B),; (C); (D). 解 B.實(shí)質(zhì)上,一般地有:若為的
36、解,則 也是的解. 13.考慮線性方程組問取什么值時(shí)有解?當(dāng)有解時(shí),求它的通解. 解 方程組的增廣矩陣 , 則當(dāng)時(shí)方程組有解,且 , 所以方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù) 14.設(shè)矩陣,其中線性無關(guān),且.向量 . 試求方程組的通解. 解 由線性無關(guān),且,得是的一個(gè)極大無關(guān)組,則,即,從而的基礎(chǔ)解系含 個(gè)線性無關(guān)的解向量,設(shè)為.由,得 , 則是的解,故可?。? 由,得是的一個(gè)特解.所以的通解為,其中為任意常數(shù). 15.設(shè)為矩陣,為矩陣,且.求證: (1)的各列向量是齊次線性方程組的解; (2)若,則; (3)若,則的各列向量線性
37、相關(guān). 證 (1)令.由,得 , 即,所以的各列向量是齊次線性方程組的解. (2)若,則只有零解,所以. (3)若,則有非零解,所以的各列向量線性相關(guān). 16.設(shè)為階方陣(),證明: (1)當(dāng)時(shí),; (2)當(dāng)時(shí),; (3)當(dāng)時(shí),. 證 (1)當(dāng)時(shí),,所以. (2)當(dāng)時(shí),由,得有.又中至少有一個(gè)階子式不為零,則,所以. (3)當(dāng)時(shí),則中所有一個(gè)階子式全為零,有. 習(xí) 題 五 (A) 1.求下列矩陣的特征值和特征向量: (1). 解 的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得,令,得屬于的
38、線性無關(guān)的特征向量,全部特征向量為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組. , 得,令,得屬于的線性無關(guān)的特征向量是,全部特征向量為. (2) . 解 的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于的線性無關(guān)的特征向量是,全部特征向量為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組. , 得令,得屬于的線性無關(guān)的特征向量是,全部特征向量為. (3) . 解 的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得,令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為不全為零). 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于的線性無關(guān)的特征向量
39、是,全部特征向量為. (4) . 解 的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為. (5) . 解 的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為,,. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向
40、量為,全部特征向量為. (6). 解 的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為不全為0. 當(dāng)時(shí),解特征方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為. 2. 已知矩陣的特征值為,求的值. 解 由,得,則. 3. 已知矩陣 的特征值為,求x的值. 解 .由,得,解得. 4. 已知三階方陣的三個(gè)特征值分別為,矩陣.求矩陣的特征值及的行列式. 解 令,則的特征值分別為,且 . 5.已知3階矩陣的特征值為,求及的伴隨矩陣的特征值. 解 令,則的特
41、征值為 . 又,則特征值為. 6.設(shè),求: (1)的特征值與特征向量;?。?)的特征值;?。?)的特征值. 解 (1)的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為;屬于特征值全部特征向量為 ,、不全為0; 屬于特征值全部特征向量為,. (2),則的特征值為. (3)令,則的特征值為 ,. 7.設(shè)矩陣滿足等式,試證明的特征值只能取值或4. 解 設(shè)為的特征值.由,得滿足,解得 或. 8.設(shè)方陣滿足,其中是的轉(zhuǎn)置矩陣,為單位陣.試證明的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值的模等于1. 解 設(shè)為的實(shí)特征向量,對(duì)應(yīng)的特征值為,則.由,得 , 即,有.又,則,所以. 9.已知,
42、,且與相似,求常數(shù). 解 顯然的特征值為.與相似,則的特征值為.由 , 解得. 10.已知矩陣與矩陣相似,求常數(shù)與. 解 與相似,則. (1) 又,由,得,代入(1)式,得. 所以. 11. 設(shè)矩陣.問為何值時(shí),矩陣可相似對(duì)角化. 解 顯然的特征值為.對(duì), 可相似對(duì)角化. 由,得. 12.已知是矩陣的特征向量. (1)求參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值; (2)問能否相似對(duì)角化?并說明理由. 解 (1)設(shè)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值為.由,得 . (2)的特征多項(xiàng)式
43、 , 則的特征值為.所以能相似對(duì)角化,即. 顯然,所以不能相似對(duì)角化. 13.判斷下列矩陣是否與對(duì)角矩陣相似;若與對(duì)角矩陣相似,求一個(gè)可逆矩陣,使 為對(duì)角矩陣. (1). 解 的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為. 當(dāng)時(shí),解方程組.由 , 得,所以不能與對(duì)角矩陣相似. (2). 解 的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為. 當(dāng)時(shí),解方程組.由 , 得,所以與對(duì)角矩陣相似,且.令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 當(dāng)時(shí),解方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 令,則. (3). 解 的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為. 當(dāng)時(shí),解
44、方程組.由 , 得,所以與對(duì)角矩陣相似,且.令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 當(dāng)時(shí),解方程組.由 , 得令,得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 令,則. 14.設(shè)矩陣.求可逆矩陣,使為對(duì)角矩陣,并計(jì)算,其中為正整數(shù). 解 的特征多項(xiàng)式,則的特征值為. 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 令,則.且 . 又,,所以 . 15.設(shè)3階方陣有特征值,對(duì)應(yīng)特征向量依次為 , 求. 解 有3個(gè)不同的特征值,則能相似對(duì)角化.令,則 , 有.又,所以. 16.設(shè)矩陣與相似,試證: (1)與相似; ?。?)當(dāng)可逆時(shí),
45、與相似. 證 與相似,則存在可逆矩陣,使得. (1). 因?yàn)橐部赡?,所以與相似. (2),所以與相似. 17.設(shè)向量,求的長(zhǎng)度及它們的夾角. 解 ,,. 18.已知三元向量,試求一個(gè)非零向量,使為正交向量組. 解 顯然正交.令,要使為正交向量組,只需 由,得取,得. 19.已知向量,試求與向量都正交的向量. 解 設(shè),依題意,得 由,得 令,所以 ,其中、為任意常數(shù). 20.用施密特正交化方法將下列向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組: (1). 解 正交化,得,,. 單位化,得,,. (2). 解 正交化,得,,. 單位化,得,,.
46、 21.試求一個(gè)正交矩陣,使為對(duì)角陣: (1). 解 的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為. 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;單位化,得 . 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;單位化,得 . 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;單位化,得 . 令正交矩陣,則 . (2). 解 的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為. 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;顯然正交,單位化,得 . 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;單位化,得 . 令正交矩陣,則 . (3). 解 的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為. 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;正交化,得;單位化,
47、得 . 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;單位化,得 . 令正交矩陣,則 . (4). 解 的特征多項(xiàng)式 , 則的特征值為. 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;正交化,得;單位化,得 . 屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為;單位化,得 . 令正交矩陣,則 . 22.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為6、3、3,與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為,求與特征值3對(duì)應(yīng)的特征向量. 解 設(shè)為屬于特征值3的特向量,有,即 , 其基礎(chǔ)解系為 .所以屬于特征值3的特征向量為 ,、不全為0. 23.設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為,對(duì)應(yīng)的特征向量為,求. 解 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為,有.
48、所以屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 令,則.所以 . 24.設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為2,是的二重特征值.若 ,, 都是的屬于特征值6的特征向量. (1)求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量; (2)求矩陣. 解 (1)因?yàn)槭堑亩靥卣髦?,故的屬于特征?的線性無關(guān)的特征向量有2個(gè).由題設(shè)知,為的屬于特征值6的線性無關(guān)特征向量. 又的秩為2,于是,所以的另一特征值.設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征向量為,則有,即 得基礎(chǔ)解系為,故的屬于特征值全部特征向量為 ,. (2) 令矩陣,則,所以 . 25.設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱矩陣,證明與相似的充要條件是與有相同的特
49、征值. 證 必要性:與相似,則存在可逆陣,使得.有 , 所以與有相同的特征多項(xiàng)式,即有相同的特征值. 充分性:若實(shí)對(duì)稱矩陣與有相同的特征值,設(shè)為它們的特征值.令 . 則與相似,與相似,所以與相似. (B) 一、選擇題: 1.設(shè),則以下向量中是A的特征向量的是( ). (A) (B) (C) (D) 解 當(dāng)時(shí),有.選(A). 2.設(shè)為階方陣,且(為某一正整數(shù)),則( ). (A) (B)有一個(gè)不為零的特征值 (C)的特征值全為零
50、 (D)有個(gè)線性無關(guān)的特征向量 解 設(shè)為的特征值,則,有.選(C). 3.設(shè)為階矩陣,且與相似,則( ). (A) (B)與有相同的特征值與特征向量 (C)與都相似于對(duì)角矩陣 (D)對(duì)于任意常數(shù),相似 解 由與相似,知存在可逆陣,使,由此,故與相似.選(D). 4.設(shè),且的特征值為,則( ). (A) (B)3 (C)4 (D) 解 由,得.選(C). 5.設(shè)為階可逆陣,為的一個(gè)特征值,則的伴隨陣的一個(gè)特征值是 ( ). (A) (B)
51、 (C) (D) 解 選(B). 6.設(shè)為階方陣,以下結(jié)論中成立的是( ). (A)若可逆,則矩陣的屬于特征值的特征向量也是矩陣的屬于特征值的特征向量. (B)的特征向量為方程的全部解. (C)的特征向量的線性組合仍為特征向量. (D)與有相同的特征向量. 解 選(A). 7.當(dāng)滿足( )時(shí),方陣與相似. (A)且 (B)或 (C) (D) 解 選(A). 8.設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣,是階可逆矩陣.已知維列向量是的屬于特征值的特征向量,則矩陣屬于特征值的特征向量是(
52、). (A) (B) (C) (D) 解 由于,即矩陣屬于特征值的特征向量為.選(B). 9.設(shè)是可逆矩陣的一個(gè)特征值,則矩陣有一個(gè)特征值等于( ). (A) (B) (C) (D) 解 有特征值.選(B). 10.設(shè),且的特征值為,則有( ). (A) (B) (C) (D) 解 選(B). 11.如果階矩陣任意一行的元素之和都是,那么有一個(gè)特征值( ). (A) (B)
53、(C)0 (D) 解 取,有.選(A). 12.若階矩陣的特征值全為零,則不正確的結(jié)論是( ). (A) (B) (C) (D) 解 取,但的特征值全為零,而.選(C). 13.已知(為非零向量),為可逆矩陣,則( ). (A)的特征值為,其對(duì)應(yīng)的特征向量為 (B)的特征值為,其對(duì)應(yīng)的特征向量為 (C)的特征值為,其對(duì)應(yīng)的特征向量為 (D)的特征值為,其對(duì)應(yīng)的特征向量為 解 由, 得,故是P-1AP的特征值,其對(duì)應(yīng)的特征向量為.選(D). 14.設(shè),且的特征值為,則的值為( ). (A)2
54、 (B) (C)4 (D) 解 ,得.選(B). 15.已知矩陣有一個(gè)特征向量,則等于( ). (A) (B) (C) (D) 解 由=,得 ,.選(B). 16.設(shè)矩陣與相似,則( ). (A) (B) (C) (D) 解 選(B). 17.設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是( ). (A) (B) (C) (D) 解 由于,則 ,線性無關(guān),即. 選(B). 18.設(shè)為3階
55、矩陣,的特征值為,那么齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解 注意,則的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于的屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù).選(B). 19.設(shè)3階矩陣的特征值互不相同,若行列式,則的秩為( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解 注意:若與對(duì)角陣,則 中不為零的個(gè)數(shù). 由3階矩陣的特征值互不相同,且行列式,知只有一個(gè)特征值等于零,則.選(C). 20.設(shè)是4階實(shí)對(duì)稱矩陣,且。若,則相似
56、于( ). (A) (B) (C) (D) 解 設(shè)為的特征值,由,得,所以的特征值只能是或 .是4階實(shí)對(duì)稱矩陣,知能相似對(duì)角化;,知有3個(gè)不為零的特征值;所以的特征值為.選(D). 二、計(jì)算題: 1.設(shè),,其中為三階可逆矩陣,求. 解 .又 , 所以. 2. 設(shè)矩陣,已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根. (1)求; (2)求可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣. 解 (1)因?yàn)橛腥齻€(gè)線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根,所以 . 由,得. (2),其特征多項(xiàng)式,得的特征值為. 屬于的線性無關(guān)的
57、特征向量為. 屬于的線性無關(guān)的特征向量為. 令,則. 3. 設(shè)矩陣. (1)求的特征值; (2)利用(1)中結(jié)果求的特征值,其中為三階單位矩陣. 解 (1)的特征多項(xiàng)式,得的特征值為 . (2)令,得的特征值為 . 4.設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,求和應(yīng)滿足的條件. 解 的特征多項(xiàng)式. (1)當(dāng)時(shí),A有3個(gè)不同的特征值,從而必有3個(gè)線性無關(guān)特征向量. (2)當(dāng)時(shí),A有特征值. 對(duì)于要有二個(gè)線性無關(guān)的特征向量,則有.由 , 得. 綜上,當(dāng)時(shí)或時(shí),有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 5.設(shè)為3階矩陣,為的分別屬于特征值的特征向量,向量滿足. (1)證明線性無關(guān);
58、 (2)令,求. 證 (1)設(shè), (1) (1)式兩邊左乘以,得. (2) (1)-(2),得.顯然線性無關(guān),則.代入(1),得,有,所以線性無關(guān). (2) , 即.由第一部分知可逆,所以. 6.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和都為3,向量都是齊次線性方程組的解. (1)求的特征值和特征向量; (2)求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得. 解 (1)的各行元素之和都為,則有特征值,且是其對(duì)應(yīng)的特征向量.又 , 且線性無關(guān),知有特征值,且是其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)
59、的特征向量.因此,有 的特征值為.屬于的線性無關(guān)的特征向量為;屬于的線性無關(guān)的特征向量為. (2)將正交單位化,得,; 將單位化,得. 令正交矩陣,有. 7.已知矩陣與相似. (1)求之值; (2)求可逆矩陣,使為對(duì)角矩陣; ?。?)求. 解 (1)與相似,則,即 . 將代入有,將代入有. (2)顯然的特征值為. 屬于的線性無關(guān)的特征向量為; 屬于的線性無關(guān)的特征向量為; 屬于的線性無關(guān)的特征向量為. 令,有. (3).又 , 所以. 8.設(shè)為2階矩陣,為線性無關(guān)的2維列向量,.求的特征值. 解 .線性無關(guān),則可
60、逆,有 , 即與相似.而的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為,故的特征值為. 9.設(shè)3階對(duì)稱矩陣的特征值,是的屬于特征值的特征向量.記,其中為3階單位矩陣. (1)驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量; (2)求矩陣. 解 (1)設(shè)為的屬于特征值的特征向量,即,則 , 即為的特征值,為相應(yīng)的特征向量.所以是矩陣的特征向量. 令,則的特征值為 . 的屬于的線性無關(guān)的特征向量為,全部特征向量為. 設(shè)的屬于的特征向量為.為對(duì)稱矩陣,顯然也是對(duì)稱矩陣,則 , 方程組的基礎(chǔ)解系為,就是的屬于的線性無關(guān)的特征向量,全部特征向量為不全為零. (2)令,有,
61、所以.又 , 則. 10.設(shè)向量都是非零向量,且滿足條件.記階矩陣,求: (1); (2)矩陣的特征值和特征向量. 解 (1). (2)設(shè)為的任一特征值.由,得,有,即的特征值全為零. 不妨設(shè)向量中分量,,考慮齊次線性方程組.由 , 得基礎(chǔ)解系 , 即屬于特征值0的全部特征向量為,其中是不全為零的任意常數(shù). 11.設(shè)4階方陣滿足條件.試求方陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值. 解 由,得為的特征值. 由,得.又,則.所以有特征值. 12.設(shè).已知線性方程組有無窮多解,試求: (1)的值; (2)正交矩陣,使得為對(duì)角矩陣. 解 (1)對(duì)線性方程組的增
62、廣矩陣施行初等行變換: , 方程組有無窮多解. (2),的特征多項(xiàng)式,得矩陣的特征值為. 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為. 將單位化,得 . 令, 則有. 13.設(shè)三階矩陣的三個(gè)特征值分別為,對(duì)應(yīng)特征向量依次為 . (1)將用向量組線性表示; ?。?)求. 解 (1)設(shè).由 , 得,所以. (2) . 14.設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式有一個(gè)二重根,求的值,并討論是否可相似對(duì)角化. 解 的特征多項(xiàng)式. (1)若是特征多項(xiàng)式的二重根,則,解得.此時(shí)的特征值為.對(duì),由 , 得,所以可相似對(duì)角化. (2)若不是特征多項(xiàng)式的二重根,則 , 解得.此
63、時(shí)的特征值為.對(duì),由 , 得,所以不能相似對(duì)角化. 15.某生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì),然后將熟練工支援其它生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過培養(yǎng)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工.設(shè)第年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和,記成向量. (1)求與的關(guān)系式,并寫成矩陣形式; (2)驗(yàn)證,是的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的特征值; (3)當(dāng)時(shí),求. 解 (1)由題設(shè),得即所以 , (1) 其中. (2)由,,得是的屬于特征值的特征向量,是的屬于特征值的特征向量;又,所以,線
64、性無關(guān). (3)由(1)式,可得. 由(2)知可相似對(duì)角化.令,有.所以 . 又,有 , 從而. 16.設(shè)矩陣. (1)k為何值時(shí),存在可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣? (2)求出和相應(yīng)的對(duì)角矩陣. 解 的特征多項(xiàng)式 , 所以的特征值為. (1)對(duì),由 , 得時(shí),,此時(shí)可相似對(duì)角化. (2)的屬于的線性無關(guān)的特征向量為; 的屬于的線性無關(guān)的特征向量為. 令,有. 17.已知是的特征向量. (1)確定常數(shù); (2)確定特征向量對(duì)應(yīng)的特征值; (3)能否相似對(duì)角化?并說明理由. 解 (1)設(shè)是的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值.由,解得 . (2),其特征多
65、項(xiàng)式 , 所以對(duì)應(yīng)的特征值為. (3)對(duì),由 , 的,所以不能相似對(duì)角化. 18.設(shè)矩陣,,.求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣. 解 .設(shè)的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為,則有.于是有. , 即為的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量為. 的特征多項(xiàng)式,所以的特征值為,. 的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,. 的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為. 由,得 ,,. 令,則的特征值分別為 , 且對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為,其中是不全為零的常數(shù);對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為,. 19.設(shè),存在正交矩陣,使得為對(duì)角矩陣.若的第一列為,求常數(shù)、正交矩陣及對(duì)角矩
66、陣. 解 由題意,得的第一列是的特征向量,即存在數(shù),使得 , 解得. ,其特征多項(xiàng)式,所以的特征值為. 屬于的正交單位化的特征向量為;屬于的正交單位化的特征向量為;屬于的正交單位化的特征向量為. 令正交矩陣,有. 三、證明題: 1.設(shè)均為階方陣,且.試證:有公共的特征向量. 證 考慮方程組,其系數(shù)矩陣的秩 , 則方程組有非零解,即,故 , 即是的公共特征值,是屬于特征值的公共的特征向量. 2.設(shè)是階方陣,且滿足.試證:. 證 設(shè). (1) 若,則,即,有. (2)若,則,即,有. (3)若,則的基礎(chǔ)解系就是的屬于特征值的線性無關(guān)特征向量;又,則的基礎(chǔ)解系就是的屬于特征值1的線性無關(guān)特征向量;從而有個(gè)線性無關(guān)特征向量:,所以能相似對(duì)角化. 令,有 , 則,所以. 3.階矩陣滿足,證明不是的特征值. 證 由,得,所以可逆,有,所以不是的特征值. 習(xí) 題 六 (A) 1.寫出下列二次型的矩陣. (1). 解 . (2). 解 . (3). 解 . (4) 解 . 2.已知二次型的秩為2,求.
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