2012高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集中營 熱點(diǎn)19 立體幾何大題 新課標(biāo)

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1、 【兩年真題重溫】 【2011新課標(biāo)全國理，18】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，∠，，⊥底面． (Ⅰ) 證明：⊥； (Ⅱ) 若，求二面角的余弦值． ，，，， ，，， 設(shè)平面的法向量為，則， 即，因此可?。? 設(shè)平面的法向量為，則，可?。? ．故二面角的余弦值為 ． 從而，故， 又底面，可得， 所以平面．故 【2010 新課標(biāo)全國理，18】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點(diǎn). （1） 證明：PEBC （2） 若APB=ADB=60，求直線PA與平面PEH所成

2、角的正弦值 【2010 新課標(biāo)全國文，18】如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，∥,,垂足為，是四棱錐的高。 （Ⅰ）證明：平面 平面; （Ⅱ）若,60,求四棱錐的體積。 【命題意圖猜想】 輯推理能力． 【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 3.平面與平面平行 5.（理）直線與平面所成的角 （3）二面角的范圍：； 7（理） 利用向量處理平行問題 （1）證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線； 2.求直線和平面所成的角的向量法：在斜線上取一方向向量，并求出平面的一個法向量，若設(shè)斜線和平面所成的角為,由. 【方法技巧提煉】

3、 1. 線線平行與垂直的證明 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性. 例1 如圖，四面體C—ABD，CB = CD，AB = AD， ∠BAD = 90.E、F分 別是BC、AC的中點(diǎn). （1）求證：AC⊥BD； （

4、2）如何在AC上找一點(diǎn)M，使BF∥平面MED？并說明理由； （3）若CA = CB，求證：點(diǎn)C在底面ABD上的射影是線段BD的中點(diǎn). 解析：（1）取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，在△BCD中 ∵BC = DC，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD 而AO∩CO = O， ∴BD⊥平面AOC，又平面AOC，∴AC⊥BD. （2）取FC的中點(diǎn)M，連接EM，DM， ∵E是BC的中點(diǎn)，∴BF∥EM，∵平面MED，∴BF∥平面MED，∴FC的中點(diǎn)M即為所求. （3）∵△ABD是等腰直角三角形，∠BAD = 90， ∴AO = BO = DO；∵CA = CB = CD，CO是公共邊，∴△C

5、OA≌△COB≌△COD； ∴∠COA=90，即CO⊥AO，又CO⊥BD，AO∩BD = O， ∴CO⊥平面ABD，即點(diǎn)C在底面ABD上的射影是線段BD的中點(diǎn) . 例2 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)． P A B C D E F （1）求證：平面PAD； （1）面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；④向量法：證明兩個平面的法向量平行. BB1C1C; (3) A

6、M=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎? 請你敘述判斷理由. (1)證明: ∵AB=AC, D是BC的中點(diǎn), A B C D A1 B1 C1 M ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB1C1C, ∴AD⊥側(cè)面BB1C1C. ∴AD⊥CC1. E (2)證明：延長B1A1與BM交于N, 連結(jié)C1N. ∵AM=MA1, ∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1, ∴A1C1= A1N=A1B1. ∴C1N⊥C1B1. ∵截面N B1C1⊥側(cè)面BB1C1C, ∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C. ∴截面C1N B⊥側(cè)

7、面BB1C1C. N ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. (3)解: 結(jié)論是肯定的, 充分性已由(2)證明. 下面證必要性: 過M作ME⊥B C1于E, ∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C, ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C. 又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C, ∴ME∥AD. ∴M, E, A, D共線. ∵A M∥側(cè)面BB1C1C, ∴AM∥DE. ∵CC1⊥AM, ∴DE∥CC1. ∵D是BC的中點(diǎn), ∴E是BC1的中點(diǎn). ∴AM= DE=CC1=AA1,∴AM= MA1. 例4 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1＝，D 是

8、A1B1中點(diǎn)． （1）求證C1D⊥平面A1B； （2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論． 解析:對于第二問，要滿足AB1⊥平面C1DF，可想辦法構(gòu)造AB1 ⊥DF,從而確定F點(diǎn)位置. （ 例5 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：如圖2連與交與O點(diǎn),再連BO, 則為BC1與平面BB1D1D所成角. ，， 。 （即點(diǎn)到底面的距離）， 故與底面所成角的正弦值為.

9、 （4）秒用公式，直接得到線面角 答案： 例8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于（ ） A B C C1 A1 B1 x y z O A． B． C． D． 答案：A 解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為2，A（-1，0，0） B1(0,),則, O(0,0,0),B(0, )，則為側(cè)面ACC1A1的法向量 由. 6.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示

10、 （3）向量法：法一、在內(nèi)，在內(nèi)， 其方向如左圖，則二面角 的平面角 ； 法二：設(shè),是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi) 側(cè)，另一個指向外側(cè)（同等異補(bǔ)），則二面角的平面角 例9 如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC與BD交于點(diǎn)E，CB與CB1交于點(diǎn)F. （I）求證：A1C⊥平BDC1； （II）求二面角B—EF—C的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影. ∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD. 同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,

11、 解法二：（Ⅰ）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1) （Ⅱ）同（I）可證，BD1⊥平面AB1C. 軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. Q B C P A D z y x O A B C D E A1 B1 C1 O z x y 圖1 圖2 圖3

12、 圖4 理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題. 例9 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB//CD,AB=AD=1,D1D=CD=2,AB⊥AD． （1)求證：BC⊥面D1DB；（2)求D1B與平面D1DCC1所成角的大??； （3)在BB1上是否存在一點(diǎn)F，使F到平面D1BC的距離為，若存在，則指出該點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由． （1)證明：如圖建立坐標(biāo)系D-xyz, ． ∴． ∵，∴BC⊥DD1, BC⊥DB． ∵D1D

13、∩ DB=D，∴BC⊥平面D1DB． （2) ． ∵AD⊥平面D1DCC1，∴平面D1DCC1的法向量， 依據(jù)向量距離公式，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷是否存在，這是思路經(jīng)常用. 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 【新題預(yù)測演練】 1.【唐山市2011—2012學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 （理）如圖，在三棱柱ABC-A1BlC1中，CC1丄底面ABC,底面是邊長為2的正三角形，M, N分別是棱CC1、AB的中點(diǎn). (I)求證：CN//平面 AMB1; (II)若二面角A-MB1-C為45,求CC1的長. 解： （Ⅰ）設(shè)AB1的中點(diǎn)為P，連結(jié)NP、MP．

14、 ∵CMAA1，NPAA1，∴CMNP， ∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP． ∵CN平面AMB1，MP平面AMB1， ∴CN∥平面AMB1． …4分 即 則w＝0，令v＝1，則u＝，即m＝(，1，0)． …10分 所以cosm，n＝， 依題意，m，n＝45，則＝，解得a＝， 所以CC1的長為2． …12分 （文）如圖，在三棱柱ABC-A1BlC1中，CC1丄底面ABC，底面是邊長為2的正三角形，M、N、G分別是棱CC1、AB, BC的中點(diǎn). (I )求證：; (II)若求證：. 解： （Ⅰ）設(shè)AB1的中點(diǎn)為P，連結(jié)NP、MP

15、． ∵CMAA1，NPAA1，∴CMNP， ∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP． ∵CN平面AMB1，MP平面AMB1，∴CN∥平面AMB1． …4分 （Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC， ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG． …6分 ∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1， 在Rt△MCA中，AM＝＝． 同理，B1M＝． …9分 ∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB， ∴AB1＝＝＝2， ∴AM2＋B1M2＝AB，∴B1M⊥

16、AM， …10分 又AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG． …12分 E S D C A B 2.【2012年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】 （理）如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3， 平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AE=ED=，SE⊥AD. （Ⅰ）證明：平面SBE⊥平面SEC; （Ⅱ）若SE=1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值. 解：（Ⅰ）平面平面,平面平面, （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線ES,EB,EC兩兩垂直. 如圖，以EB為x軸, 以EC為y軸,以ES

17、為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 則， . 設(shè)平面SBC的法向量為， 則 解得一個法向量，…………9分 設(shè)直線CE與平面SBC所成角為， 則又 所以直線CE與平面SBC所成角的正弦值…………12分 （文）如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AE=ED=，SE⊥AD. （Ⅰ）證明：平面SBE⊥平面SEC; （Ⅱ）若SE=1，求三棱錐E-SBC的高. （Ⅰ）證明: 平面平面,平面平面, 平面，， 平面. …………2分 平面 ，，=3, AE=ED=

18、 所以即…………4分 結(jié)合得BE⊥平面SEC, 平面， 平面SBE⊥平面SEC. …………6分 （Ⅱ）如圖，作EF⊥BC于F,連結(jié)SF.由BC⊥SE,SE和EF相交得， BC⊥平面SEF,由BC在平面SBC內(nèi)，得平面SEF⊥平面SBC. 作EG⊥SF于G, 則EG⊥平面SBC.即線段EG的長即為三棱錐E-SBC的高.…………9分 由SE=1，BE=2，CE=得BC=4，EF=. 在中，, 所以三棱錐E-SBC的高為.…………12分 3.【2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 =(,1， 1),………………8分 設(shè)平面BEF的法向量=（）則 令，

19、則, ∴=（）…………………10分 同理，可求平面DEF的法向量 =（-） 設(shè)所求二面角的平面角為，則 =.…………………12分 （文）如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，ABC=60，EC面ABCD，F(xiàn)A面ABCD，G為BF的中點(diǎn)，若EG//面ABCD． (I)求證：EG面ABF； (Ⅱ)若AF=AB=2，求多面體ABCDEF的體積． 證明；第二問中利用體積分割進(jìn)行求解. (Ⅰ)解:取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)GM,MC. 可得GM //FA, 因?yàn)镋C面ABCD, F A 面ABCD, 所以CE//FA, ∴EC//GM.……………2分

20、 ∵面CEGM面ABCD=CM, EG// 面ABCD, ∴EG//CM,……………4分 ∵在正三角形ABC中，CMAB,又FACM ∴EGAB, EGAF, ∴EG面ABF.……………6分 （Ⅱ）=,……………8分 ,………………10分 .……………12分 4.【河北省石家莊市2012屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】 （理）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點(diǎn)． (I)求證：MN∥平面PCD； (II)在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得AE上平面PBD?若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值

21、，若不存在，請說明理由． （Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)為F，連結(jié)FC，MF． （文）如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90，D、E分別為CC1和A1B1的中點(diǎn)，且A1A=AC=2AB=2． (I)求證：C1E∥平面A1BD； (Ⅱ)求點(diǎn)C1到平面A1BD的距離． （Ⅰ）證明：取中點(diǎn)F，連結(jié)EF，F(xiàn)D． ∵,又,, ∴平行且等于 所以為平行四邊形，……………4分 ∴，又平面, ∴平面.……………6分 （Ⅱ），,……………8分 所以, ，………………10分 及， . 所以點(diǎn)到平面的距離為.………………12分

22、 5.【保定市2011—2012學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】 （理）如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，且 (1)若，求證：； (2) 求二面角的余弦值； (3) 若直線與平面所成角的大小為，求的最大值. 解析：（1）證明：取中點(diǎn)，連接,則有平行且相等 所以四邊形是平行四邊形，……………..2分 （3） …………………..10分 令 . …………………………………………..12分 （文）如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，且 (1)若，求證：； (2) 求二面角的正弦值； (3) 求三棱錐的體積 所以點(diǎn)到平面的距離等于……………

23、………..10分 又 ……………………..12分 所以平面. 即，, （Ⅱ）設(shè)為平面的一個法向量，則有， 即，所以． ……………………………… 7分 所以．………………………………………………………………………12分 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?，并且， 所以平面， 所以平面， ……………………………………………………13分 又因?yàn)槠矫妫? 所以平面平面．……………………………………………………14分 因?yàn)?為的中點(diǎn)， 所以． 又， 所以平面．

24、 ………………4分 又平面，平面， 所以∥平面． …………9分 （Ⅲ）因?yàn)椋? 又平面平面，交線為， 所以平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直 線為軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由===2， 則有，，． 設(shè)平面的法向量為=， （文）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面， 是

25、中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn). （Ⅰ）求證：； 所以∥． 在△中,為的中點(diǎn)， 所以為中點(diǎn)． 在△中,，分別為，的中點(diǎn)， 所以∥． 又平面, 平面, 故//平面. ………………14分 8.【北京市西城區(qū)2011 — 2012學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】 （理）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說明理由． （Ⅰ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié). 由 是直三棱柱， 得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn). 又

26、為中點(diǎn)，所以為中位線， 所以 ∥， ………………2分 因?yàn)?平面，平面， 所以 ∥平面. ………………4分 （Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系. ………………5分 設(shè)，則. 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取，得. ………………7分 易知平面的法向量為. ………………8分 由二面角是銳角，得 . ………………9分 所以二面角的余弦值為. （Ⅲ）解：假

27、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn). 因?yàn)樵诰€段上，，，故可設(shè)，其中. 所以 ，. ………………11分 因?yàn)榕c成角，所以. ………………12分 即，解得，舍去. ………………13分 所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時，與成角. ………………14分 （文）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為，是的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：∥平面； （Ⅲ）求三棱錐的體積． （Ⅰ）證明：因?yàn)槭钦庵? 所以 平面. 又 平面， 所以 . ………………3分 因?yàn)?△是正三角形

28、，是的中點(diǎn)， 所以 ， ………………4分 所以 平面. ………………5分 （Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié). 由 是正三棱柱， 得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn). 又為中點(diǎn)，所以為中位線， 所以 ∥， ………………8分 因?yàn)?平面，平面， 所以 ∥平面. ………………10分 （Ⅲ）解：因

29、為 ， ………………12分 所以 . ………………14分 即 因此可取m＝(－1，，1)． …8分 設(shè)n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一個法向量，則 即 因此可取n＝(0，，1)． …10分 cosm，n＝＝＝， 故平面BED與平面SBC所成銳二面角的大小為30． …12分 10.【山西省高三第二次四校聯(lián)考】 P A B C D E （理）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，,平面,, （1） 求證

30、：平面； （2） 求二面角的大小. （文）如圖，在四棱錐中，側(cè)面是邊長 為2的正三角形，且與底面垂直；底面是菱形，，為的中點(diǎn)． （1）求四棱錐的體積； （2）求證：平面． 所以．又，所以面． …………12分 ＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4) ＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， ＝(－4,5,0)，＝(－8,0,0)． 設(shè)平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)． 平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)， 由 得 即可取n1＝. 由即 得可取n2＝(5,4，－3)． 又cos∠BPA＝＝， 從而PM＝PBcos∠BPA＝2，所

31、以AM＝PA－PM＝3. 綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM＝3. ，， 得 提示四（方法二） 切值． (Ⅰ)證明：在四棱錐P－ABCD中，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM，PO．由條件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝． 因?yàn)樵凇鱌AC中，M為PC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)， 所以O(shè)M為△PAC的中位線，得OM∥AP， 又因?yàn)锳P平面MDB，OM平面MDB， 所以PA∥平面MDB． …………6分 (Ⅱ) 解：設(shè)NC∩MO＝E，由題意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90． 因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以PC⊥BM， 同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD． 所以直

32、線CN在平面BMD內(nèi)的射影為直線OM，∠MEC為直線CN與平面BMD所成的角， 又因?yàn)镺M∥PA，所以∠PNC＝∠MEC． 在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝， 故直線 CN與平面BMD所成角的正切值為2． …………14分 13.【2012年邯鄲市高三第一次模擬考試】 （理）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且， ． （II）以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸,所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則 ……………………8分 ，即，解得， …………………………………………………………10分 所以二面角的余弦值為

33、 …………………………12分 （文）已知四棱錐的底面為菱形，且， ,為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求點(diǎn)到面的距離． （本小題共12分）（I）證明：連接 為等腰直角三角形 為的中點(diǎn) ……………………2分 又 是等邊三角形 ，………………………………4分 又 ，即 ……………………6分 平面PAD所成的角為θ， 由sinθ=|cos＜，＞|===……8分 解得a=2 所以＝（,0,0），＝（，，1） 設(shè)平面AEF的一法向量為m=(x1,y1,z1

34、)，則，因此取z1=-1，則m=(0,2,-1),……10分 因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一法向量.又=（-,3,0）， 所以cos＜m,＞=. 因?yàn)槎娼荅-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.……12分 （文）如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的 直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，是 的中點(diǎn)，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有 關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示. (Ⅰ)求出該幾何體的體積。 (Ⅱ)若是的中點(diǎn)，求證：平面； (Ⅲ)求證：平面平面. 解：(Ⅰ)由題意可知：四棱錐中， 平面平面， 所

35、以，平面 ………………………2分 又， 則四棱錐的體積為：…………4分 (Ⅱ)連接，則 又，所以四邊形為平行四邊形， …………6分 平面,平面, 所以，平面； ……………8分 (Ⅲ) ,是的中點(diǎn), 又平面平面 平面 ……………………10分 由(Ⅱ)知： 平面 又平面 所以，平面平面. ………………………12分 14.【2012年河北省普通高考模擬考試】

36、∴， ∴，即PD⊥AC. ………..6分 (II) 假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E，不妨設(shè)=λ， 則點(diǎn)E的坐標(biāo)為， ………..8分 ∴ 設(shè)是平面EBD的法向量，則 ， 則 可解得，即= 故在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時，使得二面角E-BD-A的大小等于45．……..12分 （文）如圖，四棱錐的底面是矩形，，，且側(cè)面PAB是正三角形，平面平面ABCD，E是棱PA的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：平面EBD； （Ⅱ）求三棱錐的體積． 【解析】 （I）證明：在矩形ABCD中，連結(jié)AC，設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，則O是AC中點(diǎn)． 又E是PA中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，所以

37、PC//EO．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又EO平面EBD，PC 平面EBD．所以PC//平面EBD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (II) 取AB中點(diǎn)H，則由PA＝PB，得PH⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB， 所以PH⊥平面ABCD． ………..8分 取AH中點(diǎn)F，由E是PA中點(diǎn)，得EF//PH，所以EF⊥平面ABCD． ∵， 由題意可求得：=，PH=，EF=， ………..10分 則． ……

38、…..12分 15. 【湖北省武漢市2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試答題適應(yīng)性訓(xùn)練】 （理）在直三棱柱中，，． B A1 C1 B1 A C D （Ⅰ）若異面直線與所成的角為，求棱柱的高； （Ⅱ）設(shè)是的中點(diǎn)，與平面所成的角為， 當(dāng)棱柱的高變化時，求的最大值． 解法1： 在△中，由，，得， 解法2： 建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有 所以， 故當(dāng)時，的最大值. 2分 . A1 故就是與平面所成的角. 2分

39、 B1 C1 在Rt△中，由，， 可得. E A C 在Rt△中，由，， B 得，故. 因此與平面所成的角. 16.【湖北省八校2012屆高三第二次聯(lián)考】 （理）已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說明理由． 2 2 1 1 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 A B C （Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系. …………………5分 ，則. 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取，得. …………………… …6分 46 用心 愛心 專心