2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題：胡不歸和阿氏圓問題 學(xué)案（無答案）

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1、2020年中考復(fù)習(xí)專題：“胡不歸”問題 在前面的最值問題中往往都是求某個(gè)線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會(huì)遇上形如“PA+kPB”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題： (1)胡不歸問題； (2)阿氏圓. 本文簡(jiǎn)單介紹“胡不歸”模型 【故事介紹】 從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?”(“胡”同“何”) 而如果先沿著驛

2、道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早到家? 【模型建立】 如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1＜V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使ACV2+BCV1的值最小 【問題分析】 ACV2+BCV1=1V1BC+V1V2AC，記k=V1V2 ，即求BC+kAC的最小值 【問題解決】 構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC. 將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小. 【模型總結(jié)】 在求形如“PA

3、+kPB＂的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PH+kPB”型 問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型. 而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段. 【2019長(zhǎng)沙中考】如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+55BD的最小值是 【2019南通中考】如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60，AB＝6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+32PD的最小值等于 【2014成都中考】如圖，已知拋

4、物線y＝k8(x+2)(x-4)(k為常數(shù)，且k>0)與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝-33x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D. (1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 (2)在(1)的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少? 【2018重慶中考】拋物線y=-66x2-233x+6與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線A

5、C上方拋物線上一點(diǎn)，PF⊥x軸于點(diǎn)F，PF與線段AC交于點(diǎn)E;將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對(duì)應(yīng)線段是O1B1，當(dāng)PE+12EC的值最大時(shí)，求四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值，并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐標(biāo)。(為突出問題，剛?cè)チ藘蓚€(gè)小問) 【2019綿陽(yáng)中考】在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2 (a＞0)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下半移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，OA＝1經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b(k≠0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5. (1)求拋物線和一次函數(shù)的

6、解析式； (2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)； (3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求PE+35PA的最小值 阿氏圓問題 在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“kPA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題 所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的的概念，在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比等于定值(不為1)的點(diǎn)的集合叫做圓 如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA:PB＝k(k≠1)，則滿足條件的所有的

7、點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓 下面給出證明 法一:首先了解兩個(gè)定理 (1)角平分線定理:如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角半分線，則ABAC=DBDC 證明：S△ABDS△ACD=BDCD，S△ABDS△ACD=ABDEACDF=ABAC，即ABAC=DBDC (2)外角半分線定理:如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則ABAC=DBDC 證明:在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使得AE＝AC，連接BD，則△ACD?△AED(SAS)， CD=DE且AD平分∠BDE，則DBDE=ABAE，即ABAC=DBDC. 接下來開始阿氏圓證明

8、步驟: 如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，MAMB=PAPB=k， 故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)； 作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，NANB=PAPB=k， 故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角半分線交直線AB于定點(diǎn)； 又∠MPN＝90，定邊對(duì)定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓。 法二:建系 不妨將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)置于x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A(-m，0)，則B(m，0)，設(shè)P(x，y)，PA＝kPB，即: 解析式滿足圓的一般方程，故P點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是圓，且圓心與AB共線除了證明之外，我們還需了

9、解“阿氏圓”的一些性質(zhì): （1）PAPB=MAMB=NANB=k 應(yīng)用:根據(jù)點(diǎn)A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心O (2)△OBP∽△OPA，即OBOP=OPOA，變形為OP2＝OA?OB. 應(yīng)用:根據(jù)圓心及半徑和A、B其中一點(diǎn)，可求A、B另外一點(diǎn)位置 (3) OPOA=OBOP=PAPB=k 應(yīng)用:已知半徑及A、B中的其中一點(diǎn)，即可知道PA:PB的值 練習(xí)1:已知A、B求圓軌跡 已知在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(3，0)，P是平面中一點(diǎn)且PA:PB=3:1，求P點(diǎn)軌跡圓圓心位置 【分析】 既然已經(jīng)了解的“阿氏圓”的相關(guān)內(nèi)容，不妨直接用上結(jié)論. 取M(2，0

10、)滿足MA:MB＝3:1，取N(5，0)滿足NA:NB＝3:1， P點(diǎn)軌跡即是以MN為直徑，MN中點(diǎn)O為圓心的圓. 練習(xí)2:已知圓軌跡反求點(diǎn)A或B 已知在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-1，0)，P是以點(diǎn)A（72，0）為圓心，32長(zhǎng)為半徑的圓。平面中求一點(diǎn) B使得PA:PB=3:1，求B點(diǎn)坐標(biāo). 【分析】 像這樣的問題一般就是“阿氏圓”構(gòu)圖，已知圓與A點(diǎn)，求另外一點(diǎn)B. 思路1:構(gòu)造相似三角形。 考慮OP2＝OA?OB，將OP＝32、OA＝92代入可得:OB＝12，故B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0) 思路2:根據(jù)“阿氏圓”中的特殊位置 當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)位置時(shí)，有MA:MB＝3

11、:1，考慮到A(-1，0)、M(2，0)，可得MB＝1， 考慮到A、M、B共線且B點(diǎn)在M點(diǎn)右側(cè)， 可得B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0). 補(bǔ)充:這里的圓O與點(diǎn)A及PA:PB的比值都是配套存在的，思路2雖有投機(jī)取巧之嫌，卻是根據(jù)“阿氏圓”定義求出的B點(diǎn)，還好用。 那么這個(gè)玩意和最值有什么關(guān)系呢? 比如可以將練習(xí)2稍加修改，即可變成最值問題: 練習(xí)2(改):已知在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，0)，P是以點(diǎn)（72，0）為圓心，32長(zhǎng)為半徑的圓， Q(2，2)，求PQ+13PA的最小值. 【分析】 問題中的PQ暫時(shí)不用管，先處理好13PA，考感到P點(diǎn)軌是個(gè)圓，且要構(gòu)造13PA，大膽猜測(cè):平面中存

12、在一點(diǎn)B使得P在圓上任意位置，均滿足：PAPB=13，即有PB=13PA. 其實(shí)就是逆用“阿氏圓”，這樣的題目一般就是給出圓與A點(diǎn)位置，求另一點(diǎn)B的位置可轉(zhuǎn)化13PA. 點(diǎn)B求法如上練習(xí)2，剩下的求量小值就很簡(jiǎn)單了 練習(xí)3:關(guān)于系數(shù) 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，分別交 AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則12PA+PB的最小值為 【分析】確定了問題關(guān)鍵是構(gòu)造“12PA＂，已知了P點(diǎn)所在的，已知了A點(diǎn)，即在平面中找一點(diǎn)M使得“PM＝12PA” 思路1:構(gòu)造相似三角形 點(diǎn)M與A、C共線，且

13、M點(diǎn)必滿足:CP2＝CM?CA， 代入CP、CA，即可得:22＝4?CM，得:CM=1，即可確定M點(diǎn)位置， 12PA+PB＝PM+PB問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可 【問題剖析】 （1）這里為什么是12PA? 答:因?yàn)閳AC半徑為2，CA＝4，比值是1:2，△CMP與△CPA的相似比為1:2所以構(gòu)造的是12PA，也只能構(gòu)造12PA （2）如果問題設(shè)計(jì)為PA+kPB最小值，k應(yīng)為多少? 答:根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3，k應(yīng)為23. 【練習(xí)1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，BC＝12，AC＝9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，

14、則2AD+3BD的最小值是 問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長(zhǎng)度的3倍即為本題答案 【練習(xí)2】、如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-12PC的最大值為 【分析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí)，此時(shí)PC＝2，根據(jù)題意要求構(gòu)造12PC，在BC上取M，使得此時(shí)PM＝1，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM＝12PC，從而將同題轉(zhuǎn)化為求PD-PM 連接PD，對(duì)于△PDM， PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM＝DM為最大值 【2019山東日照第22題】 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝-5x+5與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B. (1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、MC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積； (3)如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的圓B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+12PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由.