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1、
正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布函數(shù)及其在工程分析中的應(yīng)用
071330225 張洋洋
目錄
正態(tài)分布函數(shù) 3
正態(tài)分布應(yīng)用領(lǐng)域 4
正態(tài)分布案例分析 5
指數(shù)分布函數(shù) 5
指數(shù)分布的應(yīng)用領(lǐng)域 6
指數(shù)分布案例分析 7
對數(shù)正態(tài)分布函數(shù) 7
對數(shù)正態(tài)分布的應(yīng)用領(lǐng)域 9
對數(shù)正態(tài)分布案例分析 9
威布爾分布函數(shù) 10
威布爾分布的應(yīng)用領(lǐng)域 16
威布爾分布案例分析 16
附錄 18
參考文獻 21
正態(tài)分布函數(shù)【1】
正態(tài)
2、分布概率密度函數(shù)f（t）
藍(lán)線：μ=-1 σ=2 紅線：μ=1 σ=2 棕線：μ=-1 σ=3 綠線：μ=1 σ=3
均數(shù)μ決定正態(tài)曲線的中心位置；標(biāo)準(zhǔn)差σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平。
正態(tài)分布函數(shù)F（t）
藍(lán)線：μ=-1 σ=2 紅線：μ=1 σ=2 棕線：μ=-1 σ=3
均數(shù)μ改變，圖像會進行平移，標(biāo)準(zhǔn)差σ改變，圖形陡峭度發(fā)生變化。σ越小，圖像越陡。
正態(tài)分布可靠度函數(shù)R（t）
藍(lán)線：μ=-1 σ=2 紅線：μ=1 σ=2 棕線：μ=-1 σ=3
均數(shù)μ改變，圖像會進行平移，標(biāo)準(zhǔn)差σ改變，圖形陡峭度發(fā)生變化。σ越小
3、，圖像越陡。
正態(tài)分布失效率函數(shù)λ（t）
藍(lán)線：μ=-1 σ=2 紅線：μ=1 σ=2 棕線：μ=-1 σ=3
均數(shù)μ改變，圖像會進行平移，標(biāo)準(zhǔn)差σ改變，圖形陡峭度發(fā)生變化。σ越小，圖像越陡。
正態(tài)分布應(yīng)用領(lǐng)域【1】
正態(tài)分布是一種最常見的連續(xù)型隨機變量的分布,它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中無論在理論研究還是實際應(yīng)用上都占有頭等重要的地位,這是因為它在誤差理論、無線電噪聲理論、自動控制、產(chǎn)品檢驗、質(zhì)量控制、質(zhì)量管理等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.數(shù)理統(tǒng)計中許多重要問題的解決都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的.某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量、膽固醇等，以及實驗中的隨機誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分
4、布；有些資料雖為偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)變換后可成為正態(tài)或近似正態(tài)分布，故可按正態(tài)分布規(guī)律處理。
正態(tài)分布案例分析【1】
例1.10 某地1993年抽樣調(diào)查了100名18歲男大學(xué)生身高（cm），其均數(shù)=172.70cm，標(biāo)準(zhǔn)差s=4.01cm，①估計該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的百分?jǐn)?shù)；②分別求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范圍內(nèi)18歲男大學(xué)生占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的實際百分?jǐn)?shù)，并與理論百分?jǐn)?shù)比較。
本例，μ、σ未知但樣本含量n較大，按式（3.1）用樣本均數(shù)X和標(biāo)準(zhǔn)差S分別代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-
5、1.17。查附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，在表的左側(cè)找到-1.1，表的上方找到0.07，兩者相交處為0.1210=12.10%。該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者，約占總數(shù)12.10%。其它計算結(jié)果見表3。
表3 100名18歲男大學(xué)生身高的實際分布與理論分布
分布
身高/cm
實際分布人數(shù)
實際分布百分?jǐn)?shù)
理論分布
X+-1s
168.69～176.71
67
67
68.27
X+-1.96s
164.84～180.56
95
95
95.00
X+-2.58s
162.35～183.05
99
99
99.00
指數(shù)分布函數(shù)
指數(shù)分
6、布概率密度函數(shù)f（t）
藍(lán)線：θ=2 紅線：θ=3
θ值改變，圖像陡峭度改變，且θ值越小，圖像越陡，上升的越快。
指數(shù)分布函數(shù)F（t）
藍(lán)線：θ=2 紅線：θ=3
θ值改變，圖像陡峭度改變，且θ值越小，圖像越陡，上升的越快。
指數(shù)分布可靠度函數(shù)R（t）
藍(lán)線：θ=2 紅線：θ=3
θ值改變，圖像陡峭度改變，且θ值越小，圖像越陡，下降的越快。
指數(shù)分布的應(yīng)用領(lǐng)域【1】
在電子元器件的可靠性研究中，通常用于描述對發(fā)生的缺陷數(shù)或系統(tǒng)故障數(shù)的測量結(jié)果。這種分布表現(xiàn)為均值越小，分布偏斜的越厲害。指數(shù)分布應(yīng)用廣泛，在日本的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和美國軍用標(biāo)準(zhǔn)中，半導(dǎo)體器件的抽驗方案
7、都是采用指數(shù)分布。此外，指數(shù)分布還用來描述大型復(fù)雜系統(tǒng)（如計算機）的平均故障間隔時間MTBF的失效分布。但是，由于指數(shù)分布具有缺乏“記憶”的特性．因而限制了它在機械可靠性研究中的應(yīng)用，所謂缺乏“記憶”，是指某種產(chǎn)品或零件經(jīng)過一段時間t0的工作后,仍然如同新的產(chǎn)品一樣,不影響以后的工作壽命值，或者說，經(jīng)過一段時間t0的工作之后，該產(chǎn)品的壽命分布與原來還未工作時的壽命分布相同，顯然，指數(shù)分布的這種特性，與機械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實際情況是完全矛盾的，它違背了產(chǎn)品損傷累積和老化這一過程。所以，指數(shù)分布不能作為機械零件功能參數(shù)的分布形式。
指數(shù)分布雖然不能作為機械零件功能參數(shù)的分
8、布規(guī)律，但是，它可以近似地作為高可靠性的復(fù)雜部件、機器或系統(tǒng)的失效分布模型，特別是在部件或機器的整機試驗中得到廣泛的應(yīng)用。
指數(shù)分布的圖形表面上看與冪律分布很相似，實際兩者有極大不同，指數(shù)分布的收斂速度遠(yuǎn)快過冪律分布。
指數(shù)分布案例分析【2】
對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)
對數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)f（t）
藍(lán)線：μ=0 σ=0.5 紅線：μ=0.5 σ=0.5 棕線：μ=0.8 σ=0.5
圖像隨μ的增大而變得陡峭，且向 f（t）軸靠近。（上圖）
藍(lán)線：μ=0 σ=0.5 紅線：μ=0 σ=0.7 棕線：μ=0 σ=1 綠線：μ=0 σ=1.3
9、圖像隨σ的增大先下降再上升，且向 f（t）軸靠近。（下圖）
對數(shù)正態(tài)分布可靠度函數(shù)R（t）
藍(lán)線：μ=0 σ=0.5 紅線：μ=0.8 σ=0.5 棕線：μ=0 σ=1
μ越大，圖像越陡，下降的越快；σ越小，圖像越陡，下降的越快。
對數(shù)正態(tài)分布失效率函數(shù)λ（t）
藍(lán)線：μ=0 σ=0.5 紅線：μ=0.8 σ=0.5 棕線：μ=0 σ=1
圖像隨μ的增大而變得陡峭，且向 λ（t）軸靠近。圖像隨σ的增大先下降再上升，且向 λ（t）軸靠近。
對數(shù)正態(tài)分布的應(yīng)用領(lǐng)域【3】
對數(shù)正態(tài)分布在實際中有著重要的應(yīng)用，如在經(jīng)融市場的理論研究中，著名的期權(quán)定價公式以及許
10、多實證研究都用對數(shù)正態(tài)分布來描述經(jīng)融資產(chǎn)的價格。在工程、醫(yī)學(xué)和生物學(xué)領(lǐng)域里對數(shù)正態(tài)分布也有著廣泛的應(yīng)用。
對數(shù)正態(tài)分布案例分析【4】
即此股票有效期為6個月的一份歐式看漲期權(quán)的價值為9.52元，如果發(fā)現(xiàn)此期權(quán)的價格低于9.52元可以考慮買入，如果價格高于9.52元則考慮賣出此期權(quán).
威布爾分布函數(shù)
圖一
圖2
圖3
對數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)f（t）
圖1：γ=1，η=1 藍(lán)線 m=0.5 紅線 m=1 棕線m=2 綠線 m=3
隨m的變大，圖像由凹變緩再變凸 。
圖2：m=1，γ=1 藍(lán)線 η=0.5 紅線 η=1 棕線 η=2 綠線 η=3
11、
隨γ的變大，圖像由陡變緩。
圖3：m=1，η=1 藍(lán)線 γ=0.5 紅線 γ=1 棕線 γ=2 綠線 γ=3
隨γ的變大，圖像由緩變陡。
圖1
圖2
圖3
對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)F（t）
圖1：γ=0，η=1 藍(lán)線 m=0.5 紅線 m=1 棕線m=2 綠線 m=3
隨m增大，圖像越陡，上升越快。
圖2：m=1，γ=0 藍(lán)線 η=0.5 紅線 η=1 棕線 η=2 綠線 η=3
隨η增大，圖像越緩，上升越慢。
圖3：m=1，η=1 藍(lán)線 γ=0 紅線 γ=1 棕線 γ=2 綠線 γ=3
圖像隨γ變化而平移，γ變大，向右移。
圖1
12、圖2
圖3
對數(shù)正態(tài)分布可靠度函數(shù)R（t）
圖1：γ=1，η=1 藍(lán)線 m=0.5 紅線 m=1 棕線m=2 綠線 m=3
隨m增大，圖像下降由先快后慢變成先慢后快。
圖2：m=1，γ=1 藍(lán)線 η=0.5 紅線 η=1 棕線 η=2 綠線 η=3
隨η增大，圖像下降由陡變緩。
圖3：m=1，η=1 藍(lán)線 γ=0.5 紅線 γ=1 棕線 γ=1.5 綠線 γ=2
隨γ增大，圖像下降由緩變陡。
圖1
圖2
圖3
對數(shù)正態(tài)分布失效率函數(shù)λ（t）
圖1：γ=0，η=1 藍(lán)線 m=0.5 紅線 m=1 棕線m=1.5 綠線 m=2
隨m
13、增大，圖像由下降到上升。
圖2：m=3，γ=0 藍(lán)線 η=0.5 紅線 η=1 棕線 η=2 綠線 η=3
隨η增大，圖像上升變得緩慢。
圖3：m=3，η=1 藍(lán)線 γ=0 紅線 γ=1 棕線 γ=2 綠線 γ=3
圖像隨γ變化而平移，γ增大向右平移。
威布爾分布的應(yīng)用領(lǐng)域【1】
1.生存分析
2.工業(yè)制造：研究生產(chǎn)過程和運輸時間關(guān)系
3.極值理論
4.預(yù)測天氣
5.可靠性和失效分析
6.雷達(dá)系統(tǒng)：對接受到的雜波信號的依分布建模
7.擬合度：無線通信技術(shù)中，相對指數(shù)衰減頻道模型，威布爾衰減模型對衰減頻道建模有較好的擬合度
8.量化壽險模型的重復(fù)索賠
9.預(yù)測技術(shù)變
14、革
10.風(fēng)速：由于曲線形狀與現(xiàn)實狀況很匹配，被用來描述風(fēng)速的分布
威布爾分布案例分析【5】
以白云鄂博礦醫(yī)風(fēng)電場選址為例．該地區(qū)的多年平均風(fēng)速為v=5.5m/s(1972～2006年)，在測風(fēng)年(2005年6月～2006年5月)內(nèi)測風(fēng)塔上10m年平均風(fēng)速v為6.1m/s．最大風(fēng)速值為Vmax=16．7以．觀測時間T=8760h．測風(fēng)塔海拔高度為1612m。擬定風(fēng)電場測風(fēng)塔上10m的月平均風(fēng)速見表l：
根據(jù)所給的資料．利用上述4種方法分別對威布爾分布的參數(shù)k和c進行計算．計算結(jié)果見表2
將表2中的k和c值輸人到威布爾分布函數(shù)曲線的仿真系統(tǒng)圖1中，通過計算機模擬仿真．得到
15、的擬合曲線如圖3。
圖3白云鄂博礦區(qū)10m的威布爾分布函數(shù)曲線
由圖3可知，上述4種方法擬合出來的曲線基本重合，且通過計算得到的威布爾分布函數(shù)?？梢源_定風(fēng)速的分布形式．風(fēng)力發(fā)電機組設(shè)計的各個參數(shù)．因此給實際使用帶來了許多方便。根據(jù)擬合的威布爾曲線可以很好地描述白云鄂博礦區(qū)10In的風(fēng)速分布情況．并能得出對該地區(qū)的風(fēng)能資源評價的參數(shù)，如平均風(fēng)功率密度，風(fēng)能可利用小時數(shù)。
附錄：
指數(shù)函數(shù)C語言程序：
#include
#include
#in
16、clude
float E(float t,float s)
{
if(t<0||s<0) return 0;
else
{
float x=-t/s;
float y=1-exp(x);
return y;
}
}
void main()
{
float t,float s;
FILE *fp;
char name[10];
printf("please input the file name:");
gets(name);
fp=fopen(name,"w");
if(fp==NULL)
17、{
printf("cannot open file");
exit(1);
}
else
scanf("%f",&s);
fprintf(fp,"%f\n",s);
for(t=0;t<20;t++)
{
fprintf(fp,"%f ",t);
fprintf(fp,"%f\n",E(t,s));
}
fclose(fp);
}
指數(shù)函數(shù)F（t）
#include
#include
#include
float E(float t,float s)
{
if(t<0||
18、s<0) return 0;
else
{
float x=t/s;
float y=exp(x)/s;
return y;
}
}
void main()
{
float t,float s;
FILE *fp;
char name[10];
printf("please input the file name:");
gets(name);
fp=fopen(name,"w");
if(fp==NULL)
{
printf("cannot open file");
exit(1);
}
else
19、
scanf("%f",&s);
fprintf(fp,"%f\n",s);
for(t=1;t<20;t++)
{
fprintf(fp,"%f ",t);
fprintf(fp,"%f\n",E(t,s));
}
fclose(fp);
}
指數(shù)密度函數(shù)f（t）
#include
#include
#include
float E(float t,float s)
{
if(t<0||s<0) return 0;
else
{
float x=-t/s;
20、 float y=exp(x);
return y;
}
}
void main()
{
float t,float s;
FILE *fp;
char name[10];
printf("please input the file name:");
gets(name);
fp=fopen(name,"w");
if(fp==NULL)
{
printf("cannot open file");
exit(1);
}
else
scanf("%f",&s);
fprintf(fp,"%f\n",s);
for(t=0
21、;t<20;t++)
{
fprintf(fp,"%f ",t);
fprintf(fp,"%f\n",E(t,s));
}
fclose(fp);
}
指數(shù)可靠度函數(shù)R（t）
參考文獻
【1】百度百科
【2】張君安 指數(shù)分布在應(yīng)收賬項評估中的應(yīng)用【J】.中國資產(chǎn)評估，2014（1）
【3】于洋 對數(shù)正態(tài)分布的幾個性質(zhì)及其參數(shù)估計【J】.廊坊師范學(xué)院學(xué)報，2011，11(5)：8
【4】王志剛 對數(shù)正態(tài)分布及其在證券中的應(yīng)用【J】.蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，23（3）：64.
【5】包小慶 劉志強 吳永忠 劉冬梅.雙參數(shù)威布爾分布函數(shù)的確定及曲線擬合【J】.能源與環(huán)境,2004(4)：9.
21
正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布函數(shù)及其在工程分析中的應(yīng)用
