函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用

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1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用 摘要：隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，初等函數(shù)已經(jīng)滿足不了人們的需要 ?自柯西給出了 無窮級(jí)數(shù)的定義后，隨著人們對(duì)級(jí)數(shù)的深入研究，無窮級(jí)數(shù)的理論得到了飛速的發(fā)展. 有了無窮級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)應(yīng)運(yùn)而生.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)科學(xué)本身及工程技術(shù)領(lǐng)域里有 廣泛的應(yīng)用，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性在應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用，因此研究函數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù)的一致收斂性及其判定就成了應(yīng)用中重要的環(huán)節(jié) .本文介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂 的相關(guān)概念，對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判定方法進(jìn)行梳理、歸納，并舉例說明，以 一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)幕級(jí)數(shù)為例，說明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在計(jì)算方面的應(yīng)用 ? 關(guān)鍵詞：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；一致收斂

2、；幕級(jí)數(shù) Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract： With the developme nt of science and tech nology, eleme ntary fun ctio n has failed to meet the n eeds of the people. Since the Cauchy gives the defi niti on of infin ite series, the theory of series has bee n developed rapid

3、ly with the in-depth study of it. With the infin ite series, series of fun cti ons came in to being. Series of fun cti ons has a wide applicati on in mathematics and engineering scienee. The uniformly convergenee of series of functions plays an importa nt role in applicati on. During the applicati o

4、n, the uni formly conv erge nee of series of fun cti on and its judgme nt become importa nt. This article describes the con cept of the un iformly conv erge nee of series of functions, to sum up the judgme nt of the un iformly conv erge nee of series of functions. We give many examples and take the

5、series of powers to illustrate the applicati on in calculati on of series of fun cti ons. Key words: series of functions; un iformly eon verge nee; series of powers 1 2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念介紹 2 2.1 函數(shù)列及其一致收斂性,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 2.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 3 2.3 一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，,,,

6、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 4 3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的- 致收斂性判別法，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 5 3.1 般判力別法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 3.2 魏爾斯特拉斯判別法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 3.3 阿貝爾判別法與狄利克雷判別法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 3.3.1 阿貝爾判別法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 8 3.3.2 狄利克雷判別法，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 8

7、 3.4 類似數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法 ，,,,,,,,,,,,,， 10 3.4.1 比式半H別法 10 3.4.2 根式判別法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 11 3.4.3 對(duì)數(shù)判另U法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 3.5 Dini 判別法 13 4幕級(jí)數(shù)的應(yīng)用 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 14 4.1 幕級(jí)數(shù)的定義,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

8、 14 4.2 幕級(jí)數(shù)的應(yīng)用，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 14 4.2.1 幕級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 14 4.2.2 幕級(jí)數(shù)在計(jì)算積分中的應(yīng)用，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 15 4.2.3 幕級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 15 4.2.4 冪級(jí)數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 16 4.2.5 幕級(jí)數(shù)在歐拉公式推導(dǎo)中的應(yīng)用,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 16 4.2.6 幕級(jí)數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用,

9、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 17 4.2.7 幕級(jí)數(shù)在概率組合中的應(yīng)用，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 17 4.2.8 幕級(jí)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，,,,,,,,,,,,,,,,,,,， 18 4.2.9 用幕級(jí)數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)，,,,,,,,,,,,,,,,,， 18 5 丿總、纟口 ,,,,,,,,,,,,,,,, J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J 19 20 至片謝 21 V/44 ，，門，門門，，門，，門，，門，，門，，門，，門，，門門 參考文獻(xiàn)

10、1引言 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展， 人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)逐步深化， 發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)運(yùn)用初等 函數(shù)已經(jīng)滿足不了人們的需要，因此要求人們?nèi)?gòu)造新的函數(shù) ?自19世紀(jì)柯西給出了無窮級(jí)數(shù)的定 義后，隨著人們對(duì)其深入研究，無窮級(jí)數(shù)的理論得到了飛速的發(fā)展 ?有了無窮級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)應(yīng) 運(yùn)而生?首先函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為函數(shù)的構(gòu)造開辟了一個(gè)新天地，例如， 1872年魏爾斯特拉斯利用函數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù)給出了一個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)的例子 ?其次，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)理論提供了研究函數(shù)的一 個(gè)基本方法，特別是利用級(jí)數(shù)的理論進(jìn)行函數(shù)的 Taylor展開和Fourier展開.實(shí)際上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的一致收斂性理論對(duì)近代各

11、種函數(shù)逼近理論以及無窮維空間中元素按基底的展開理論都產(chǎn)生了重 大的影響（朱正佑，2001） [1].函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)科學(xué)本身及工程技術(shù)領(lǐng)域里有廣泛的應(yīng)用 ，函數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)的一致收斂性在應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用 ，因此研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其判定就成了 應(yīng)用中重要的環(huán)節(jié)?本文介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的相關(guān)概念、對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判定 方法進(jìn)行梳理、歸納，并舉例說明，并且以一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一幕級(jí)數(shù)為例， 對(duì)其在計(jì)算 方面的應(yīng)用進(jìn)行舉例說明? 1 2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念介紹 2.1 函數(shù)列及其一致收斂性 定義1設(shè) 是一列定義在同一數(shù)集 M 2 n E上的

12、函數(shù)，稱為定義在 E上的函數(shù)列，也可簡單的寫作: ｛ fn｝或 fn， n =1,2/ ? 設(shè)X^ E ,以X0代入｛ fn｝可得數(shù)列 fl(Xo), f2(Xo),, f n (x0 )，:八 若數(shù)列｛ fn (X0)｝收斂，則稱函數(shù)列 ｛fn｝在點(diǎn)X0收斂，X0稱為函數(shù)列｛ fn｝的收斂點(diǎn)?若數(shù)列 ｛ fn (Xo)｝發(fā)散，則稱函數(shù)列｛ fn｝在點(diǎn)Xo發(fā)散.若函數(shù)列｛ fn｝在數(shù)集D E上每一點(diǎn)都收斂，則 稱｛fn｝在數(shù)集D上收斂?這時(shí)D上每一點(diǎn)X，都有數(shù)列｛fn(X)｝的一個(gè)極限值與之相對(duì)應(yīng)，由這 個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的 D上的函數(shù)，稱為函數(shù)列｛ fn｝的極限函數(shù)?若極

13、限函數(shù)記作f，則有 lim f n(x) = f (x)， x D n : 或 fn(x) — f (x) (n— T，X D ? 使函數(shù)列｛ fn｝收斂的全體收斂點(diǎn)集合，稱為函數(shù)列 ｛ fn｝的收斂域? 定義2設(shè)函數(shù)列｛ fn｝與函數(shù)f定義在同一數(shù)集 D上，若對(duì)任給的正數(shù) ■:，總存在某一正整 數(shù)N，使得當(dāng)n ? N時(shí)，對(duì)一切x ? D，都有 fn(X)- f(X)C 竜， 則稱函數(shù)列｛ fn｝在D上一致收斂于f，記作 fn(x)二 f(x) (n 一 T， x D. 注：本文用“”表示一致收斂? 由定義看到，如果函數(shù)列｛fn｝在D上一致收斂，那么對(duì)于所給的 ；，不管D

14、上哪一點(diǎn)X，總 存在公共的N(；)(即N的選取僅與；有關(guān)，與x的取值無關(guān))，只要n ? N，都有 fn(X)- f(X)g 由此可以看到函數(shù)列｛fn｝在D上一致收斂，必在 D上每一點(diǎn)都收斂?反之，在D上每一點(diǎn)都 收斂的函數(shù)列｛ fn｝，在D上不一定一致收斂? 2.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性 定義3設(shè)｛ Un （X） ｝是定義在數(shù)集E上的一個(gè)函數(shù)列， 表達(dá)式 Ui（x） + U2（x）+, +Un（x）+, , X E （ 1） qQ 稱為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡記為 、 un （x）或un（x）。稱 n =1 n Sn（X）= uk（x）， x E ， n = 1

15、,2, k呂 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列。 若x^ E，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) Ui（x） U2（Xo） Un（Xo） （ 2） n 收斂，即部分和Sn（Xo） =7 Uk（Xo）當(dāng)n—；心時(shí)極限存在，則稱級(jí)數(shù)（1 ）在點(diǎn)X0收斂，X0稱為 級(jí)數(shù)（1 ）的收斂點(diǎn)?若級(jí)數(shù)（2）發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)（1）在點(diǎn)x0發(fā)散.若級(jí)數(shù)（1）在E的某個(gè)子集 D上每點(diǎn)都收斂，則稱級(jí)數(shù)（1 ）在D上收斂.若D為級(jí)數(shù)（1）全體收斂點(diǎn)的集合，這時(shí)則稱 D 為級(jí)數(shù)（1）的收斂域.級(jí)數(shù)（1）在D上每一點(diǎn)x與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2）的和S（x）構(gòu)成一 個(gè)定義在D上的函數(shù)，稱為級(jí)數(shù)（1 ）的和函數(shù)，并寫作 U1（x） U2（x

16、） Un（x）〔" =S（X）, X D, 即 lim Sn（x）二 S（x）, x D . n ）：: 也就是說，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列的收斂性. 定義4 設(shè)｛ Sn（x）｝是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un（x）的部分和函數(shù)列.若｛ Sn （x）｝在數(shù)集D上一致收 斂于函數(shù)S（x）,則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 7 un（x）在D上一致收斂于函數(shù) S（x），或稱7 un（x）在D上一 致收斂（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2001）[2]. 2.3 —致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì) 定理1 (連續(xù)性)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 、、un(x)在區(qū)間a,b 1上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其 和函數(shù)在a,b上也連

17、續(xù). 它指出：(無限項(xiàng))求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即 、? (lim Un(x)) lim C Un(x)). 定理2 (逐項(xiàng)求積)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在a,b 1上一致收斂，且每一項(xiàng) un b b aUn(X)dX 二Un(x)dx. 此定理指出，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂的情況下，求和運(yùn)算與求積分運(yùn)算可以交換順序 定理3 (逐項(xiàng)求導(dǎo))若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)7 un(x)在a,b 1上每一項(xiàng)都有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), (x)都連續(xù)，則 x [a,b]為 (軟n(x)) 怕、un(x)). un(x)的收斂點(diǎn)，且V Un (x)在a,b上一致收斂，則 5 #

18、 (陶桂秀, 此定理指出，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂的情況下，求和運(yùn)算與微分運(yùn)算可以交換順序 2005)同. 3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 3.1 一般方法 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂既是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn) ，又是一個(gè)難點(diǎn).一般的情況下，證明一致 收斂會(huì)利用一致收斂的定義，即定義 4來證明. 定義4的條件太強(qiáng)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)固定一點(diǎn) D,vun(X)實(shí)際上是一個(gè)特殊數(shù)列.受此啟發(fā)， 利用數(shù)列的性質(zhì)得到以下定理： 定理4 (一致收斂的柯西準(zhǔn)則)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 、 un(x)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為： 對(duì)任給的正數(shù)；，總存在某正整數(shù) N，使得當(dāng)n ? N時(shí)，對(duì)一切D和一切正整數(shù)

19、p，都有 Sn4p(x) - Sn(X)< S 或 Un*(X)+U(X)+ …+Un4p(X)| V & . 此定理中當(dāng)P =1時(shí)，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件 . 推論 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)V un(X)在數(shù)集D上一致收斂的必要條件為：函數(shù)列 Ln(x)?在D上一致 收斂于零. 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在 D上的和函數(shù)為S(x)，稱 rn(x) =S(X)-Sn(x) 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) v un(x)的余項(xiàng). 定理5函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)7 un(x)在數(shù)集D上一致收斂于S(x)的充要條件是: lim sup rn (x)二 lim sup S(x) - Sn (x) = 0. n 》：：x?D U

20、D 證明 必要性 時(shí)，對(duì)一切x ? D ,都有 Sn(X)- S( x) 因?yàn)閍 un(x)在區(qū)間D上一致收斂，所以- ? 0， N ? 0，使得當(dāng)n ? N ,即 g(x )

21、 b xx HmUfn(x)— f (x) dx = O，設(shè) h(x) = L f(t)g(t)dt , hn(x) = Ja fn(t)g(t)dt，則在 B,b】上 hn(x) 一致收斂于h (x). 證明 h(x) -hn(x) x UP) - fn(t))g(t)dt x x af(t)g(t)dt- afn(t)g(t)dt fn(t) dt)2(j|g(t) dt)2 x x < Ja|f(t) — fn(t)|g(t)|dy(J」f(t) — 1 1 b 2 b 2 2 — 蘭(J|f (t)—仁⑴ dt)2(f |g(t) dt) t 0(nTo )

22、, a 1 a 所以利用定理1,當(dāng)n—?「時(shí)，hn (x) 一致收斂于h (x). □0 例2設(shè)un(x) _0,在a,b 1上連續(xù)，n =1,2,…，又x un(x)在a,b】收斂于連續(xù)函數(shù)f (x), n=J oO 則工Un(x)在la,b】一致收斂于f (x). n i QO 證明 已知匚⑴=f(X)-Sn(X)(其中Sn = v山(X))是單調(diào)遞減且趨于0,所以一 n ? N， kT -x a,b 1有 rn(x) _0，且 -x0 a,b 丨，- ；0， -JN(x0, ) 0, n_ N(x0, ；)時(shí)，有 0 _「n(xo) ：：： ；?將 n 固定，令 n

23、 二 N。二 N(x,；)，因?yàn)?r. (x) = f (x) - Sn(x)在!a,b〕上連續(xù)，既然 rn(x)：：：；，所以；「0 ? 0，當(dāng) x ?(冷—；「0,x0 飛0)時(shí) rn(x) ：：： ；?從而 n ? N0時(shí)更有 rn(x)：：：；即 「n(X)：；僅當(dāng) X (冷一二0，X —)? 如上所述,對(duì)每個(gè)點(diǎn)x,?a,b】，可找到相應(yīng)的鄰域(x, -；「，，x, ? ；「，)及相應(yīng)的N,,使得 n N，時(shí)，對(duì) x?(x, -lx < .)恒有 rn(x)：：：… 如此：(x.-二.,x「二，)：x, ? a,b "勾成a,b 1的一個(gè)開覆蓋，從而必存在有限子覆蓋?不妨記 為

24、& - J* 二),…，(人- J,人飛),于是—X，咕,』,總i 1,2^ ,P?,使得當(dāng) X?(Xi - J,Xi ?；「)時(shí)，取 N =max"N1,N2,…,Nr ，那么當(dāng) n ? N 時(shí)，恒有「n(x) ：：： ；? O0 由定理2得，v Un(X)在◎,』一致收斂于f (X). n證 3.2魏爾斯特拉斯判別法 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了定義及定理 4夕卜，有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的特性來判 定理6 （魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a un（x）定義在數(shù)集D上，? M n為收斂的正 項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切 x ? D，有 Un（x）蘭 M n，n = 1,2，…， （

25、3） 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) V un（x）在D上一致收斂. 證明 由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 7 Mn收斂，根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西準(zhǔn)則，任給正數(shù) ；，存在某正整數(shù) N，使得當(dāng)n ? N及任何正整數(shù) p，有 皿冷+…+Mn* =Mn卅+…M n井V 又由（3）式對(duì)一切x ? D有 山卅（X）十…卄（X）蘭叫卅（X）十…+ U.卄（X） 根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù) 7 un （x）在D上一致收斂 例3判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)豈呼在（」：，?：：）上的一致收斂性 n 證明 因?yàn)閷?duì)一切（-：：「：）有 sin nx 1 而正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是收斂的，所以根據(jù)魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) n

26、 是一致收斂的. 定理6也稱為M判別法或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法?當(dāng)級(jí)數(shù)a un（x）與級(jí)數(shù)Mn在區(qū)間［a,b］上成立 關(guān)系式（3）時(shí)，則稱級(jí)數(shù)a Mn在［a,b］上優(yōu)于級(jí)數(shù)a un（x），或稱M n為un（x）的優(yōu)級(jí) 數(shù). 3.3 阿貝爾判別法與狄利克雷判別法 F面討論定義在區(qū)間I上形如 (4) 5(X)Vn(X)"i(X)Vi(X)U(X)V2(X廠 Un(X)Vn(X) 的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法，它與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，也是基于阿貝爾分部求和公式 3.3.1 阿貝爾判別法 定理7 (阿貝爾判別法)設(shè) (i) a Un(X)在區(qū)間I上一致收斂； (ii) 對(duì)于每一個(gè) X，I

27、, Ln(X)1是單調(diào)的； (iii ) 1vn(x) ?在I上一致有界，即對(duì)一切X ? I和正整數(shù)n ,存在正數(shù)M ,使得 Vn (X)| 蘭 M . 則形如V un (X)Vn (x)的級(jí)數(shù)在I上一致收斂? 證明 由(i),任給；? 0 ,存在某正整數(shù) N ,使得當(dāng)n ? N及任何正整數(shù) p ,對(duì)一切x ? I , 有 人比(X)+…+山十儀) < 名 又由(i) , (ii)及阿貝爾引理得到 Un*(X)Vn 卅(X)+ …+片韋(X)Vn4p(X) M(|Vn_i(x)|+2|Vn4p(x)|)"3Mg. 于是根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則就得到本定理的結(jié)論 (

28、_1) n JT JT 例4判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). ,x ?［,］的一致收斂性? n +cosx 2 2 證明記 an(x)二皿, bn(x)二 n： jr 因?yàn)?an (x)是收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而在 ［,］上一致收斂? 2 2 又因?yàn)槊總€(gè)X，［ ，—］ , 1bn(X)［單調(diào)，且 0(X)1在［，—］上一致有界，于是由阿貝爾 2 2 2 2 ■: ■: ［5 判別法易知級(jí)數(shù)(4)在［ ,］上一致收斂(劉慶生，2009;翟永恒，2009 ;劉桂仙，2009) 2 2 3.3.2 狄利克雷判別法 定理8 (狄利克雷判別法)設(shè) (i) 7 Un(X)的部分和函數(shù)列

29、 n Un(x) = Uk(x) , (n=1, 2,,) k J 在I上一致有界； (ii) 對(duì)于每一個(gè) X. I , ：vn (x) /是單調(diào)的； (iii) 在 I 上 Vn(X)二 0,(n—;：)， 則形如v un(x)vn(x)的級(jí)數(shù)在I上一致收斂? 證明 由(i),存在正數(shù)M，對(duì)一切X E I，有Un(x) < M ?因此當(dāng)n, p為任何正整數(shù)時(shí), Un*(X)i +山井(X) = Un 護(hù)(X)—Un(X)蘭 2M ? 對(duì)任何一個(gè)X，I，再由(ii)及阿貝爾引理，得到 un十(x)vn十(X)十…+叫井仗)百井(X) 蘭 2M (vn4i(X)+2*

30、井(X)). 再由(iii),對(duì)任給的；? 0 ,存在正數(shù) N，當(dāng)n ? N時(shí)，對(duì)一切x?I，有 (X)V E , 所以， un +(x)vn +(x) + …+Un4p(X)vn4p(X) <2M (g +2可=6M「 于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)( 4)在I上一致收斂. 例5函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (-1)n(x n)n nn1 在［0,1］上一致收斂. 證明因?yàn)橛泆n(x) (-1)n n ,vn(x) . >n 1 X 時(shí)，Un(X)—致收斂，vn(X)單調(diào)且并且一致 n 有界，所以由阿貝爾判別法得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 、(T)(X」n)在［0,1］上一致收斂.

31、 例6若數(shù)列 單調(diào)且收斂于零，則級(jí)數(shù) 13 a a. cos nx 在［:,2巫—旳(0 ?：:：：：二)上一致收斂 證明 n +Z coskx = k 4 sin(n )x 2sinx 2 n 瓦 coskx k 4 sin(n )x 2 x 2 sin — 2 1 1 1 1 < -+ — < + —， x 2 a 2 2 sin — 2 si n 2 2 14 # 所以，級(jí)數(shù)v cos nx的部分和函數(shù)列在［:?，2二-「］

32、上一致有界，于是令 Un(x) =cosnx,Vn(x)二 an， 則由狄利克雷判別法可得級(jí)數(shù) an cosnx在［〉，2二-「］ (0 ：：：「：:：二)上一致收斂. 對(duì)于級(jí)數(shù)a an cosnx，只要 厲［單調(diào)且收斂于零，那么級(jí)數(shù)在不包含 2k二(k二0,一1,_2，…) 的任何閉區(qū)間上都一致收斂 . 3.4 類似數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣，在研究內(nèi)容上同數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有許多極其相似的地方 ，比如它們 的收斂性、和的問題，但函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)還有一點(diǎn)不同于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ，就是它的一致收斂性， 對(duì)比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂性和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 ，不

33、難發(fā)現(xiàn)，它們?cè)谂袛喾椒ㄉ蠘O其相似，特別是在它們 判別法的名稱上，比如它們都有Cauchy判別法、Abel判別法、Dirichlete 判別法等.對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)的一致收斂性，有沒有類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別的方法 ，是一個(gè)值得研究的課題.有鑒于此，結(jié) 合數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比式判別法和根式判別法 ，可以得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別 法,同時(shí)利用p級(jí)數(shù)的收斂性和優(yōu)級(jí)數(shù)判別法還可得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的對(duì)數(shù)判別法 (毛一 波，2006)冋. 3.4.1 比式判別法 定理9設(shè)un(x)為定義在數(shù)集 D上正的函數(shù)列，記qn (x) = Un 1 (x)，存在正整數(shù)N及實(shí)數(shù) Un

34、(x) O0 q、M ,使得：qn(x)乞q ：：：1, un(x)乞M ,對(duì)任意的n N , ^ D成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(x) n# 在D上一致收斂 證明易見 Un(X)Un^(X) Un 申(X) n_N“ Un(x) Un(X)=qn」(x) qn/(x) qN (x) Un(X)_ q M , Un」(x) Un 工(x) Un (x) □O 而等比級(jí)數(shù)qn Mq ，當(dāng)公比0 ：：：q ：：： 1時(shí)收斂，從而由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法 n』 oO 知，a Un(X)在D上一致收斂? n 4 定理9有極限形式： 定理10設(shè)un (x)為定義在數(shù)集

35、D上正的函數(shù)列，記qn (x)二.蟲血，若： Un(x) lim qn(x) =q(x)乞 q ::: 1 , n 廠: □O 且un(x)在D上一致有界，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 7 un(x)在D上一致收斂? n=1 例7 設(shè)un(x) = 2 5 8 [2 3(n 一1)] Xn為定義在D=[0,1]上的函數(shù)列，證明級(jí)數(shù) 1 5 9…[1 +4(n —1)] 、? un(x)在 D =[0,1]上一致收斂. 證明由于： Un^(x) 2+3 n 3 3 “ lim lim x x 1， 0Aun(x)k2， n 廠 un (x) n =1 4n 4 4 oO 由定理10

36、,知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 7 un(x)在D =[0,1]上一致收斂. n A 3.4.2 根式判別法 定理11設(shè)un(x)為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，若存在正整數(shù) N ,使得 M|Un(X)| Wq 1， QO _n N，x，D成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 、‘ Un(x)在D上一致收斂. n 證明 由定理?xiàng)l件，于n > N， D， un(x)| Eqn成立，而幾何級(jí)數(shù)瓦qn收斂，由優(yōu)級(jí) qQ 數(shù)判別法，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) a Un(X)在D上一致收斂 n =1 CO 注：當(dāng)定理11條件成立時(shí)，級(jí)數(shù) 7 un (x)在D上還絕對(duì)收斂 n 4 定理11的極限形式為： 定理12設(shè)un(x)

37、為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，若 nmn，］un(x)| =q(x)蘭 q c1， oO -n ? N , D成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) v Un(x)在D上一致收斂 n 二 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) a 斗在(-：：，-門［,：：)上一致收斂(其中r為大于1的實(shí)常數(shù))? xn 證明 因?yàn)? j n 1 ~n x _|x| J x 丄1， r 由定理12知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斗在(-二，-門 匸：)上一致收斂(吳良森，毛玉輝, x 343 對(duì)數(shù)判別法 2002) [7] 定理13 設(shè)un(X)為定義在數(shù)集 D上正的函數(shù)列，若lim ln Un (x)二p(x)存在

38、，那么 n護(hù) In n QO (i)若-x ? D , p(x) p 1，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)v un(x)在D上一致收斂 n d cO (ii)若-x D , p(x) ：：： p ：：：1,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)7 un(x)在D上不一致收斂 n d 證明 (i)由定理?xiàng)l件知，對(duì) ? 0, TN ,使得- n ? N，有 Tn Un(x) ln n ::p(x)；, 1 n P(x) — ； 5(x)甘, 17 1 np 當(dāng)p 1時(shí)收斂，由優(yōu)級(jí) 1 則當(dāng)p(x) p 1, -x ? D成立時(shí)，有un (x) -，而p級(jí)數(shù) n p 數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)

39、數(shù) 7 un(x)在D上一致收斂; n =1 — 1 1 (ii)當(dāng)P(X)：：： p ：：： 1對(duì)-X?D成立時(shí)，有Un(X) - , P級(jí)數(shù) -當(dāng)P . 1時(shí)發(fā)散， n p n p QO 從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)x un(x)在D上不一致收斂. n 4 3.5 Dini判別法 定理14若 (i) 每個(gè)an(x)均在［a,b］上連續(xù)且非負(fù)； (ii) an(x)在［a,b］上收斂于連續(xù)函數(shù) S(x)； 則a an(x)在［a,b］上一致收斂于S(x). 例9證明：「(；1) n在(-：：「：)內(nèi)閉一致收斂. n 土 n x n 證明 顯然，、?(-1)k乞1在(」：「：

40、)上一致有界.任?。踑,b］ R對(duì)［a,b］，易證當(dāng)n充 k生 分大時(shí) 2 n 2單調(diào)遞減且lim 』p=0=f(x)，每個(gè)2 2及f(x)=O均在［a,b］上連 in2 +x2「 Fn +x n+x 續(xù)，故由Dini定理知』2 n 2 ,＞在［a,b］上一致收斂于 0,于是，由狄利克雷判別法知原級(jí)數(shù)在 ［a,b］上一致收斂. 所以，由［a,b］的任意性知，原級(jí)數(shù)在(」：，?：：)上內(nèi)閉一致收斂(吉米多維奇，1987)［8］. 18 4幕級(jí)數(shù)的應(yīng)用 幕級(jí)數(shù)是一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，下面我們以幕級(jí)數(shù)為例，說明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 在計(jì)算中的應(yīng)用. 4.1 幕級(jí)數(shù)的

41、定義 定義5由幕函數(shù)列^an(x-XQ)n 所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) cd 二 an(x - Xo)n = ao ai (x —x) ? a?(x - x。)2 … an (x - x)n ， n衛(wèi) 稱為幕級(jí)數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從某種意義上講，它可以看作是無窮多項(xiàng)式函數(shù)的延伸 . 4.2 幕級(jí)數(shù)的應(yīng)用 幕級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的內(nèi)容， 其簡單的結(jié)構(gòu)形式和逐項(xiàng)求導(dǎo)、 逐項(xiàng)求積的優(yōu)良 性質(zhì)使之成為一種有效的計(jì)算工具， 它能應(yīng)用于近似計(jì)算、積分計(jì)算、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、歐拉公式的 推導(dǎo)等問題中.巧妙地利用函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式及幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)能夠把一個(gè)復(fù)雜的性質(zhì)以及一些不 容易把握

42、的函數(shù)表達(dá)成形式最簡單、 性質(zhì)最好的級(jí)數(shù)形式，所以用它解題往往思路清晰、 條理清楚 (趙瑜,2009)同. 4.2.1 幕級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用 我們可以利用幕級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行近似計(jì)算 ，即在展開式有效的區(qū)間上 ，函數(shù)值可以近似的利用 這個(gè)級(jí)數(shù)按精確度要求計(jì)算出來 (同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，2002)［10］. 例10計(jì)算積分 sin x dx 7 7! x 19 7 7! x # 的近似值，要求誤差不超過 0.0001. 解 由于lim S^ =1，因此所給積分是反常積分.如果定義被積函數(shù)在 x二0處的值為1,則 XT x 它在積分區(qū)間

43、［0,1］上連續(xù). 展開被積函數(shù)， 有 2 4 6 sin x , x x x 1 （ _ ： - ：： X :：：-）， x 3! 5! 7! 在區(qū)間［0,1］上逐項(xiàng)積分，得 sin x , dx =1 一丄?丄 3 3! 5 5! 十… 7 7! x # 7 7! x # 因?yàn)榈谒捻?xiàng)的絕對(duì)值 7 7! x 20 7 7! 30000 所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值： 算得 1sin x ‘ 1 dx ： 1 - 0 x 3 3! 」SiMdx 茫 0.9461. x 4.2.2 幕級(jí)數(shù)

44、在計(jì)算積分中的應(yīng)用 1 ， 5 5! 當(dāng)f（x）的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來時(shí)，計(jì)算 f（X）的定積分就遇到了困難 現(xiàn)在,我們可以利用幕級(jí)數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值 .具體計(jì)算時(shí)，要求被積 函數(shù)能夠展成收斂的幕級(jí)數(shù), 且積分區(qū)間必須在幕級(jí)數(shù)的收斂域之內(nèi), 然后利用幕級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分 x )0 sin x 6 4 21 x )0 sin x 6 4 # 性質(zhì)來計(jì)算所求積分的值 所以 例11 證明 423 證明: 因?yàn)? 2

45、4 亠丄旦 t 2 2! 4 4! □0 C0SX 二、(_1) t =0 XCOStdt t X 二 二解（-1）n n=S 2 1 2 2! 幕級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用 ...(W ... 2n (2n)! 2n n _X_ 而 (2n)(2n)! 4 厶 4 4! Xt2n」dt 爲(wèi)：”- x )0 sin x 6 4 # x )0 sin x 6 4 # 求函數(shù)極限的方法很多，幕級(jí)數(shù)法也是其中之一 12 求 lim x-arCSinx 的值. xt sin3x 因?yàn)? arXsi nx =

46、 x 丄 2 X3 ，(xE =3 o X 4 3! 35 -3 5! ，(x -：) x )0 sin x 6 4 22 x )0 sin x 6 4 # 所以 x )0 sin x 6 4 # x )0 sin x 6 4 # x —arcsin x lim 3 x 1 2 1 33 -3 3 x 3! xI上 3 2 4 35 - 3 5 … 一 x十 5! —=lim 1 3 3 X ： (x ) — x >0 X - (x )

47、 x )0 sin x 6 4 # 一致收斂的幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)： 幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分, 424 幕級(jí)數(shù)在數(shù)項(xiàng)求和中的應(yīng)用 的和(裴禮文, 1983) [11] 可用于計(jì)算幕級(jí)數(shù) 23 # 例13 求 n—— 心(n -1) 3n 解當(dāng) -1 ：：: x <1 時(shí)，設(shè) s(x)= ：:n n x n衛(wèi)n 1 QO z 1 x -、——xn —_、 n J n 1 1 - x n4 n 1 ::xn 從而 設(shè) g(x)二、 ::xn ，(一1 ：： x ::

48、: 1)，貝y xg(x) [xg(x)]八 n 4 八xn xg(x)= —dx = 1 -x g(x) ::xn 1 1- x x1 — x dx dx - -x -ln(1 -x). -x 01- x [ln (1_X) 此時(shí)，、? oO n n x n n 1 x -x nm n 1 In (1 -x) 1 In(1 - x) 1 令x ，可得 3 oO n 欽 n -1) 3n 丄 1-1 3 In 1 -3I n二. 2 # # 4.2.5 幕級(jí)數(shù)在歐拉公式推導(dǎo)中的應(yīng)用 例14 試用幕

49、級(jí)數(shù)的展開式來推導(dǎo)歐拉公式 # # 因?yàn)? ix e —e sin x 二 2i -ix ,cosx eix -e4x 解 當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式知 n ix (ix) e = = 1+ix + 丄(ix)2+丄(ix)3 + 丄(ix)4 十 n n! 2! 3! 4! 3! i(4n1) =i,i(z)=-1,i(4n3)= _i,i(4「4)=1, n =0,1,2 24 」x5 _ (_1)n^x2n1 ? 5 2 n 1 x 1 1 f(X)= 0f(

50、x)dx 工 X2 亍 X4 1 / t)n x2n 2 冷 品2帀 zx" 所以 2 4 3 5 x x XX e = (1 ) i(x ) = cosx ■ i sin x, 2! 4! 3! 5! 即 eiX = cosx +i sin x , 在上式中 —x 以置換 x 可得 e cosx - i sin x, ix _ix ix Jx 再由兩式聯(lián)立，解得： si nx=e - , cos x =- - . 2i 2 4.2.6 幕級(jí)數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用 2 例 15 求 f (x) =xarctanx -1n(1 ? x )在 x 二 0 處的

51、n 階導(dǎo)數(shù)? 旳 f (n)(0) 解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=0處的泰勒級(jí)數(shù)為 xn，所以可先將f(x)用間接方法展 n“ n! 成x的幕級(jí)數(shù)，然后從xn的系數(shù)中解出f(n)(o)， x x f (x) 2—arcta nx 2 = arcta nx 1+x 1+x f (x) 篤=1 —x2 x4 — ( — 1)nx2n ,一1 ：： x ::: 1) 1+x x 進(jìn)行兩次積分：f (x) = .0「(x)dx - 則 f"2n)(0) = 口n-1，即 f(2n)(0)=」(—1)2(n— 2),(n = 2m). (2n) (2n _1)2n 0, (n 二

52、2m -1,m 二 1,2,3 ) 4.2.7 幕級(jí)數(shù)在概率組合計(jì)算中的應(yīng)用 定義6 設(shè)Bn(n =0,1,2,……)是一個(gè)數(shù)列，若存在一個(gè)函數(shù)F(x)，使得 F(x)二B0 B1^ Bnxn x : R成立，則稱F(x)為數(shù)列^Bn (n = 0,1,2…)的生成函數(shù). 例16 將一顆骰子連續(xù)投擲 10次，問：出現(xiàn)20點(diǎn)的概率是多少？ 解 設(shè)Bn表示共出現(xiàn)點(diǎn) n的方式的總數(shù)，顯然 10乞Bn乞60 .從而Bn的生成函數(shù)為： 60 F(x)二 BnXn =(1 X X2 ■- n』0 10 一1 — x6 25 因?yàn)?1_X6)10 =1 —G1X6 C20X

53、12 —C；0X18 ?…(1—x)10 20 10 1 4 F (x)的展開式中x 項(xiàng)的系數(shù)為B20 = C19 - - C10C13 二85228 ,于是出現(xiàn)20點(diǎn)的概率 為：需8』0“409. 4.2.8 幕級(jí)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用 幕級(jí)數(shù)是表達(dá)函數(shù)的重要工具，因此也可應(yīng)用于證明不等式 (張淑輝，2005) [12] X2 例17 證明不等式 ex ■ e」_ 2e2 ,x （-：：,■：：）? 證明 因?yàn)? :: n qX X X e =為 ,e n! 八(_1)n n=0 n X / \ ,X （」：，：：）， n! :: 2n e」=2、匕

54、- n衛(wèi)(2n)! X2 ，2eT :- 2n =2后 由于 2n X 2n X < (2n)! (2n)!! X2 ex e^ _2e2 （一匚亠：：）. 429 用幕級(jí)數(shù)形式表示某些非初等函數(shù) 18 2 求連續(xù)函數(shù)e的原函數(shù)F（x）. 2 e"的原函數(shù)為 x 上2 e dt， x R. -0 n 八- n=0 n! 2 _t2 x = -t ，有 e 焉(-1)nt2n =L n n! -1 t2 1! 2! 3! n 2n 1 .(-1) X n! 對(duì)幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求積分，可得 x /上 1

55、F (x) e dx = x —— 0 1! 3 x_ .1 3 2! 5 / a \ n .X_， 5 n! n 1 2S_ ■ 2n 1 另外，幕級(jí)數(shù)還可以定義三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等等 .幕級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，我們要在實(shí)際應(yīng) =1 - C；oX ? C1：x2 -G3)x3 ?…，所以 26 # 用中善于發(fā)現(xiàn)，充分利用，以求最好的解決問題 # 總結(jié) 數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動(dòng)不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美， 18世紀(jì)是分析的時(shí)代，數(shù) 學(xué)進(jìn)入到更高層次的研究， 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分， 因此研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

56、的一致 收斂性具有重大的意義?目前，對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的研究已經(jīng)有了非常豐富的研究資料，并且其應(yīng)用 領(lǐng)域越來越廣泛，在數(shù)學(xué)本身以及自然現(xiàn)象、工程技術(shù)，物理研究都有很大的作用 ?本文介紹了函 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的歷史背景、給出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)、函數(shù)列及其一致收斂性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其 一致收斂性，歸納梳理函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判定方法， 以最簡單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一幕級(jí)數(shù)為 例，說明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的應(yīng)用?隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作為數(shù)學(xué)分析中的一項(xiàng)重要內(nèi)容， 會(huì)在更多的領(lǐng)域擁有更廣泛的應(yīng)用，對(duì)其的研究也將更加的深入、透徹 27 參考文獻(xiàn) [1] 朱正佑.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].上海：上

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