第63講 兩個計數(shù)原理與排列、組合的基本問題

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1、高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 1 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 2 第第63講講 兩個計數(shù)原理與排列、兩個計數(shù)原理與排列、 組合的基本問題組合的基本問題 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 3 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 4 1書架上層放有 4 本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有 5 本不同的物理書，下層放有 6 本不同的英語書，從中任取一本書的不同取法種數(shù)是( ) A15 B1 C120 D3 A 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 5 解析：解析：這是一個分類問題，由分類計數(shù)原理，不同的取法種數(shù) N45615 種故選 A. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 6 2將 5 封信投入 3 個郵筒，不同的投

2、法共有( ) A53 B35 C3 種 D15 種 B 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 7 解析：解析：每封信均有 3 種不同的投法，5 封信投入可視為完成這件事分 5 步進行，由分步計數(shù)原理，不同投法 N3333335種，故選 B. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 8 3 (改編)從 11,12,13,14,15 五個數(shù)中選取兩個不同的數(shù)x，y，那么構(gòu)成加法算式 xy 個數(shù)有( ) A30 B20 C10 D5 B 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 9 解析：由于 xy 與 yx 是不同的算式，因此可得算式xy 個數(shù)是 A2520，故選 B. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 10 4(改編)把

3、 8 名同學(xué)分成兩組，一組 5 人參加電腦學(xué)習(xí)，一組 3 人參加航模小組，則不同的安排方法有 . 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 11 解析：C58C3887632156. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 12 5(改編)滿足方程 Cx2x16C5x516的 x 值為 . 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 13 解析： 由方程可得 x2x5x5 或 x2x16(5x5)， 得 x11，x25，x33，x47， 經(jīng)檢驗 x1，x3，符合題意 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 14 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 15 一一 簡單的排列應(yīng)用問題簡單的排列應(yīng)用問題 【例 1】(1)某臺小型晚會由 6 個

4、節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有( ) A36 種 B42 種 C48 種 D54 種 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 16 (2)(2012 廣東省深圳市第二次調(diào)研)在學(xué)校的一次演講比賽中，高一、高二、高三分別有 1 名、2 名、3 名同學(xué)獲獎，將這六名同學(xué)排成一排合影，要求同年級的同學(xué)相鄰，那么不同的排法共有( ) A6 種 B36 種 C72 種 D120 種 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 17 解析：解析：(1)分兩類：第一類：甲排在第一位，共有 A4424 種排法；第二類：甲排在第二

5、位，共有 A13 A3318 種排法，所以共有編排方案 241842 種，故選 B. (2)將各年級的同學(xué)看作一個元素作全排，然后作它們內(nèi)部的全排即可，即 A33A22A3372，故選 C. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 18 【拓展演練 1】 現(xiàn)有 3 名男生， 4 名女生，分別求符合下列各條件下的不同排列方法總數(shù) (1)排成前后三排：前排 2 人，中排 3 人，后排 2 人； (2)全體排成一排：甲不站排頭也不站排尾； (3)全體排成一排：男女相間 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 19 解析：(1)由排列的概念可知，排成三排可轉(zhuǎn)化為排成一排后，前二人站第一排，中間三人站第二排，最后二人站

6、第三排，故共有 A775040 種排法 (2)先滿足甲的要求，在一排中間五個位置中選一個位置站甲，有 A15種，然后讓其余的人站剩下的位置，有 A66種，故共有 A15 A663600 種排法 (3)先將女生排好，共有 A44種，然后在女生之間(不含首末位置)的三個位置插入男生，共有 A33種，故共有 A44 A33144 種排法 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 20 二二 簡單的組合應(yīng)用問題簡單的組合應(yīng)用問題 【例 2】(1)某中學(xué)有同樣的畫冊 2 本，同樣的集郵冊 3本，從中取出 4 本贈送給 4 位朋友，每位朋友 1 本，則不同的贈送方法共有( ) A4 種 B10 種 C18 種 D2

7、0 種 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 21 (2)(2012 山東省濟南市 3 月模擬)如圖所示， 使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有( ) A11 種 B20 種 C21 種 D12 種 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 22 解析：分兩種情況：(1)3 本集郵冊一本畫冊，讓一個人拿本畫冊就行了 4 種；(2)2 本畫冊 2 本集郵冊，只要選兩個人拿畫冊 C246 種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共 10 種，故選 B. (2)若前一個開關(guān)只接通一個，則后一個有 C13C23C337，此時有 2714 種，若前個開關(guān)接通兩個，則后一個有 C13C23C337，所以總共有 14721，故選 C. 高考四元

8、聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 23 【拓展演練 2】 (1)為制作某電視劇封面宣傳畫將該劇組的 7 位身高各不相同的主演以傘型(中間高兩邊低)排列，若忽略名氣等因素，則可以制作_幅不同宣傳畫( ) A20 B40 C10 D42 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 24 (2)設(shè)編號為 1,2,3,4,5 的五個球和編號為 1,2,3,4,5 的五個盒子， 現(xiàn)將這五個球投放到五個盒子內(nèi)， 要求每個盒子內(nèi)投放一個球， 并且恰好有兩個球的編號與盒子編號相同， 則這樣的投放方法總數(shù)為 . 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 25 解析：(1)下圖第四個位置排個子最高的演員，只有一種排法；再從剩下的演員中選 3 位

9、排左邊，因高矮順序確定，與順序無關(guān)，有 C3620 種，剩下的三位演員只排右邊，故總共有 20 種不同的排法，能制作 20 幅不同的宣傳畫. 故選 A. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 26 (2)從五個球中任意取出兩個放入和它們編號相同的盒子中有 C25種方法，再從剩下的 3 個球中取出一個放入和它編號不同的兩個盒子中的一個有 C12種方法，最后剩下的兩個球只能有一種放法，所以共有 C25C1220 種放法 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 27 【例 3】 (1)(2012 廣東省東莞市模擬)若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”現(xiàn)從 1,2,3,4,5,6 這

10、六個數(shù)字中任取 3 個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有( ) A120 個 B80 個 C40 個 D20 個 三三 計數(shù)原理及應(yīng)用計數(shù)原理及應(yīng)用 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 28 (2)(2012 山東省萊蕪市上期末)如圖，在一花壇 A，B，C，D 四個區(qū)域種花，現(xiàn)有 4 種不同的花供選種，要求在每塊里種 1 種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為( ) A48 B60 C72 D84 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 29 解析： (1)(方法一)分中間分別為 3,4,5,6 四種情況， 這樣的分別有 A22，A23，A24，A25，所以根據(jù)加法原理得“傘數(shù)”有 A2

11、2A23A24A2540 個，故選 C. (方法二)第一步，從 6 個數(shù)中選了 3 個數(shù)有 C3620 種 第二步，對選中的三個數(shù)排序，中間最大，較小的排兩邊有 C12種，故“傘數(shù)”有 C36 C1240 個 (2)當(dāng) A 與 C 同色時有 43336 種不同的涂法，當(dāng)A 與 C 不同色時有 432248 種不同的涂法，所以共有 364884，故選 D. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 30 【拓展演練 3】 (1)在某種信息傳輸過程中，用 4 個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有 0 和 1， 則與信息 0110 至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的

12、信息個數(shù)為( ) A10 B11 C12 D15 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 31 (2)有 4 位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”“立定跳遠”“肺活量”“握力”“臺階”五個項目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù). 若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、 下午都各測試一人. 則不同的安排方式共有 種(用數(shù)字作答) 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 32 解析： (1)與信息 0110 至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類： 與信息 0110 有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同， 有 C246 種； 與信息 0110 有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同， 有

13、C144 種； 與信息 0110 沒有對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有 C041種 所以與信息 0110 至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 64111. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 33 (2)設(shè) A、B、C、D、E 依次代表題設(shè)中的五個測試項目 上午的總測試方法有 A4424 種 若上午測試 E 的同學(xué)下午測試 D， 則上午測試 A 的同學(xué)下午只能測試 B、C，確定上午測試 A 的同學(xué)后其余兩個同學(xué)上、下午的測試共有 2 種；若上午測試 E 的同學(xué)下午測試A、B、C 中一個，則上午測試 A、B、C 中任何一個的下午都可以測試 D，安排完該同學(xué)后，其余兩同學(xué)的測試方法只能有 3 種，故共

14、有 339 種測試方法 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 34 由乘法原理和加法原理，總的測試方法共有 24(29)264 種 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 35 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 36 1.(2012 浙江卷)若從 1,2,3，9 這 9 個整數(shù)中同時取4 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有( ) A60 種 B63 種 C65 種 D66 種 D 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 37 解析：解析：從 1,2,3，9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的取法分為三類；第一類是取四個偶數(shù)，即 C441 種方法； 第二類是取兩個奇數(shù)， 兩個偶數(shù)， 即 C25C

15、2460 種方法；第三類是取四個奇數(shù)，即 C455，故有 160566 種方法，故選 D. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 38 2.(2012 陜西卷)兩人進行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( ) A10 種 B15 種 C20 種 D30 種 C 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 39 解析：解析：首先分類計算假如甲贏，比分 30 有 C331 種情況；比分 31 共有 C233 種情況，分別是前 3 局中(因為第四局肯定要贏)，第一或第二或第三局輸，其余局數(shù)獲勝；比分是 32 共有 C246 種情況，就是說前 4 局 2

16、2，最后一局獲勝，前 4 局中，用排列方法，從 4 局中選 2 局獲勝，甲一共就 13610 種情況獲勝乙獲勝也有 10種情況，所以所有可能出現(xiàn)的情形有 101020 種，故選C. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 40 3.(2012 山東卷)現(xiàn)有 16 張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各 4 張從中任取 3 張，要求這 3 張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多 1 張不同取法的種數(shù)為( ) A232 B252 C472 D484 C 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 41 解析：解析：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選 3 張， 若都不同色則有 C14C14C1464

17、種； 若 2 張顏色相同，則有 C23C12C24C14144；若紅色卡片有 1 張，則剩余 2 張若不同色，有 C14C23C14C14192 種；若同色則有 C14C23C2472，所以共有 6414419272472，故選C. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 42 4.(2012 全國卷)將字母 a，a，b，b，c，c 排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有( ) A12 種 B18 種 C24 種 D36 種 A 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 43 解析：解析：第一步先排第一列有 A336，再排第二列，當(dāng)?shù)谝涣写_定時，第二列有兩種方法，如圖，

18、所以共有 62種，故選 A. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 44 5.(2013 四川卷)從 1,3,5,7,9 這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為 a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的個數(shù)是( ) A9 B10 C18 D20 C 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 45 解析：解析：首先從 1,3,5,7,9 這五個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)排列， 共有A2520種排法， 因為3193，1339， 所以從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為 a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的個數(shù)是 20218，故選 C. 高考四元聚焦 理 數(shù) 學(xué)海網(wǎng) 46 謝謝觀看！謝謝觀看！