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2441【經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】綜合練習(xí)及參考答案
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合練習(xí)及參考答案
第三部 線性代數(shù)
一、單項(xiàng)選擇題
1．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運(yùn)算中（ ）可以進(jìn)行.
A．AB B．ABT C．A+B D．BAT
2．設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3．設(shè)為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（ ）．
A. 若AB = I，則必有A = I或B = I
2、 B.
C. 秩秩秩 D.
4．設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（ ）．
A． B． C． D．
5．設(shè)是可逆矩陣，且，則（ ）.
A. B. C. D.
6．設(shè)，，是單位矩陣，則＝（ ）．
A． B． C． D．
7．設(shè)下面矩陣A, B, C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么（ ）成立.
A．AB = AC，A 0，則B = C B．AB = AC，A可逆，
3、則B = C
C．A可逆，則AB = BA D．AB = 0，則有A = 0，或B = 0
8．設(shè)是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（ ?。?
A. B. C. D.
9．設(shè)，則r(A) =（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為（ ）．
A．1 B．2 C．3
4、 D．4
11．線性方程組 解的情況是（ ?。?
A. 無解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有無窮多解
12．若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)＝（ ）時(shí)線性方程組無解．
A． B．0 C．1 D．2
13． 線性方程組只有零解，則（ ）.
A. 有唯一解 B. 可能無解 C. 有無窮多解 D. 無解
14．設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組
5、（ ）．
A．有唯一解 B．無解 C．有非零解 D．有無窮多解
15．設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ ）．
A．無解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能確定
二、填空題
1．兩個(gè)矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 .
2．計(jì)算矩陣乘積= ．
3．若矩陣A = ，B = ，則ATB= ．
4．設(shè)為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運(yùn)算，則有關(guān)系式 ?。?
5．設(shè)，當(dāng) 時(shí)，是對(duì)稱
6、矩陣.
6．當(dāng) 時(shí)，矩陣可逆.
7．設(shè)為兩個(gè)已知矩陣，且可逆，則方程的解
?。?
8．設(shè)為階可逆矩陣，則(A)= ．
9．若矩陣A =，則r(A) = ．
10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b ．
11．若線性方程組有非零解，則 ．
12．設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于 ．
13．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為
7、 .
14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為
則當(dāng) 時(shí)，方程組有無窮多解.
15．若線性方程組有唯一解，則 .
三、計(jì)算題
1．設(shè)矩陣，，求．
2．設(shè)矩陣 ，，，計(jì)算．
3．設(shè)矩陣A =，求．
4．設(shè)矩陣A =，求逆矩陣．
5．設(shè)矩陣 A =，B =，計(jì)算(AB)-1．
6．設(shè)矩陣 A =，B =，計(jì)算(BA)-1．
7．解矩陣方程．
8．解矩陣方程.
9．設(shè)線性方程組
討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程組無解，有唯一解
8、，有無窮多解.
10．設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.
11．求下列線性方程組的一般解：
12．求下列線性方程組的一般解：
13．設(shè)齊次線性方程組
問l取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解.
14．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組 有解？并求一般解.
15．已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為
問取何值時(shí)，方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組的一般解.
四、證明題
1．試證：設(shè)A，B，AB均為n階對(duì)稱矩陣，則AB =BA．
2．試證：設(shè)是n階矩陣，若= 0，則．
3．已知矩陣
9、，且，試證是可逆矩陣，并求.
4. 設(shè)階矩陣滿足，，證明是對(duì)稱矩陣.
5．設(shè)A，B均為n階對(duì)稱矩陣，則AB＋BA也是對(duì)稱矩陣．
試題答案
一、 單項(xiàng)選擇題
1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9.D 10. A 11. A 12. A 13. B 14. B 15. C
二、填空題
1．與是同階矩陣 2．[4] 3． 4． 5．0 6． 7． 8． 9．2 10．無解 1
10、1．-1 12．n – r 13． (其中是自由未知量) 14． 15．只有0解
三、計(jì)算題
1．解 因?yàn)?=
==
所以 ==
2．解：=
= =
3．解 因?yàn)?(A I )=
所以 A-1 =
4．解 因?yàn)?A I ) =
所以 A-1=
5．解
11、 因?yàn)锳B ==
(AB I ) =
所以 (AB)-1=
6．解 因?yàn)锽A==
(BA I )=
所以 (BA)-1=
7．解 因?yàn)?
即
所以，X ==
8．解：因?yàn)?
即
所以，X ===
9．解 因?yàn)?
所以當(dāng)且時(shí)，方程組無解；
當(dāng)時(shí)，方程
12、組有唯一解；
當(dāng)且時(shí)，方程組有無窮多解.
10．解 因?yàn)?
所以 r(A) = 2，r() = 3.
又因?yàn)閞(A) r()，所以方程組無解.
11．解 因?yàn)橄禂?shù)矩陣
所以一般解為 （其中，是自由未知量）
12．解 因?yàn)樵鰪V矩陣
所以一般解為 （其中是自由未知量）
13．解 因?yàn)橄禂?shù)矩陣
A =
所以當(dāng)l = 5時(shí)，方程組有非零解. 且一般解為
（其中
13、是自由未知量）
14．解 因?yàn)樵鰪V矩陣
所以當(dāng)=0時(shí)，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量〕
15．解：當(dāng)=3時(shí)，，方程組有解.
當(dāng)=3時(shí)，
一般解為， 其中, 為自由未知量.
四、證明題
1．證 因?yàn)锳T = A，BT = B，(AB)T = AB
所以 AB = (AB)T = BT AT = BA
2．證 因?yàn)?
= ==
所以
3. 證 因?yàn)?，且，?
，
得，所以是可逆矩陣，且.
4. 證 因?yàn)?
==
所以是對(duì)稱矩陣.
5．證 因?yàn)?，且
所以 AB＋BA是對(duì)稱矩陣．
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