宜昌市2016-2017學(xué)年八年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc
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2016-2017學(xué)年湖北省宜昌市八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題(在各小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上指定的位置填涂符合要求的選項(xiàng)前面的字母代號(hào).本大題共15小題,每題3分,計(jì)45分) 1.若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7,則第三邊長(zhǎng)可能是( ?。? A.2 B.3 C.5 D.11 2.甲骨文是我國(guó)的一種古代文字,是漢字的早期形式,下列甲骨文中,不是軸對(duì)稱(chēng)的是( ) A. B. C. D. 3.如圖,過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A,作BC邊上的高,以下作法正確的是( ) A. B. C. D. 4.如圖,在△ABC中,∠A=50,∠C=70,則外角∠ABD的度數(shù)是( ?。? A.110 B.120 C.130 D.140 5.如圖,在方格紙中,以AB為一邊作△ABP,使之與△ABC全等,從P1,P2,P3,P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P,則點(diǎn)P有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 6.如圖,已知∠ABC=∠BAD,添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是( ?。? A.AC=BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D D.BC=AD 7.一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540,則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于( ?。? A.108 B.90 C.72 D.60 8.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4,8,則它的周長(zhǎng)為( ?。? A.12 B.16 C.20 D.16或20 9.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖,四邊形ABCD是一個(gè)箏形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時(shí),得到如下結(jié)論: ①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD, 其中正確的結(jié)論有( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 10.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以頂點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線(xiàn)AP交邊BC于點(diǎn)D,若CD=4,AB=15,則△ABD的面積是( ?。? A.15 B.30 C.45 D.60 11.如圖,在△ABC中,∠ABC=50,∠ACB=60,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,∠ABC的平分線(xiàn)BD與∠ACE的平分線(xiàn)CD相交于點(diǎn)D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是( ) A.∠BAC=70 B.∠DOC=90 C.∠BDC=35 D.∠DAC=55 12.如圖,在△ABC中,AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC、BC于E,D兩點(diǎn),EC=4,△ABC的周長(zhǎng)為23,則△ABD的周長(zhǎng)為( ) A.13 B.15 C.17 D.19 13.如圖,直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸,點(diǎn)P是直線(xiàn)MN上的點(diǎn),下列判斷錯(cuò)誤的是( ?。? A.AM=BM B.AP=BN C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM 14.如圖,AD是△ABC的角平分線(xiàn),則AB:AC等于( ) A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC 15.如圖,△ABC是等邊三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于點(diǎn)R,PS⊥AC于點(diǎn)S,PR=PS,則下列結(jié)論:①點(diǎn)P在∠A的角平分線(xiàn)上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.正確的有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 二.解答題(共9小題) 16.如圖,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線(xiàn),它們相交于點(diǎn)O,∠BAC=80,∠ABC=70.求∠BAD,∠AOF. 17.如圖,AB=AD,CB=CD,求證:AC平分∠BAD. 18.如圖,已知AC=AE,∠BAD=∠CAE,∠B=∠ADE,求證:BC=DE. 19.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F. 求證:DE=DF. 20.如圖,一艘輪船以18海里/時(shí)的速度由西向東航行,在A處測(cè)得小島C在北偏東75方向上,兩小時(shí)后,輪船在B處測(cè)得小島C在北偏東60方向上,在小島周?chē)?5海里處有暗礁,若輪船仍然按18海里/時(shí)的速度向東航行,請(qǐng)問(wèn)是否有觸礁危險(xiǎn)?并說(shuō)明理由. 21.如圖,在等腰三角形ABC中,AC=BC,分別以BC和AC為直角邊向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE,AE與BD相交于點(diǎn)F,連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.求證:CG垂直平分AB. 22.如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使BF=DF,若CD=CF,求證: (1)點(diǎn)F為AC的中點(diǎn); (2)過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)畫(huà)出圖形并證明BD=6CE. 23.如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合),Q是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過(guò)P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D. (1)當(dāng)∠BQD=30時(shí),求AP的長(zhǎng); (2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,求出線(xiàn)段ED的長(zhǎng);如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由. 24.在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn),BN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N. (1)如圖1,若CM∥BN交AD于點(diǎn)M. ①直接寫(xiě)出圖1中所有與∠MCD相等的角: ?。唬ㄗⅲ核业降南嗟汝P(guān)系可以直接用于第②小題的證明過(guò)程 ②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BN,交BN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,請(qǐng)先在圖1中畫(huà)出輔助線(xiàn),再回答線(xiàn)段AM、CG、BN有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并給予證明. (2)如圖2,若CM∥AB交BN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.請(qǐng)證明:∠MDN+2∠BDN=180. 2016-2017學(xué)年湖北省宜昌市八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(在各小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上指定的位置填涂符合要求的選項(xiàng)前面的字母代號(hào).本大題共15小題,每題3分,計(jì)45分) 1.若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7,則第三邊長(zhǎng)可能是( ?。? A.2 B.3 C.5 D.11 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系. 【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系,兩邊之和第三邊,兩邊之差小于第三邊即可判斷. 【解答】解:設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,由題意得: 7﹣3<x<7+3, 則4<x<10, 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系定理,記住兩邊之和第三邊,兩邊之差小于第三邊,屬于基礎(chǔ)題,中考??碱}型. 2.甲骨文是我國(guó)的一種古代文字,是漢字的早期形式,下列甲骨文中,不是軸對(duì)稱(chēng)的是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)圖形. 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解. 【解答】解:A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故本選項(xiàng)正確. 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念,軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸,圖形兩部分折疊后可重合. 3.如圖,過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A,作BC邊上的高,以下作法正確的是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高. 【分析】根據(jù)三角形高線(xiàn)的定義:過(guò)三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€(xiàn),頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高線(xiàn)解答. 【解答】解:為△ABC中BC邊上的高的是A選項(xiàng). 故選A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高線(xiàn),熟記高線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵. 4.如圖,在△ABC中,∠A=50,∠C=70,則外角∠ABD的度數(shù)是( ) A.110 B.120 C.130 D.140 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì). 【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解. 【解答】解:由三角形的外角性質(zhì)的,∠ABD=∠A+∠C=50+70=120. 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 5.如圖,在方格紙中,以AB為一邊作△ABP,使之與△ABC全等,從P1,P2,P3,P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P,則點(diǎn)P有( ?。? A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【考點(diǎn)】全等三角形的判定. 【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出點(diǎn)P的位置即可. 【解答】解:要使△ABP與△ABC全等,點(diǎn)P到AB的距離應(yīng)該等于點(diǎn)C到AB的距離,即3個(gè)單位長(zhǎng)度,故點(diǎn)P的位置可以是P1,P3,P4三個(gè), 故選C 【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定,關(guān)鍵是利用全等三角形的判定進(jìn)行判定點(diǎn)P的位置. 6.如圖,已知∠ABC=∠BAD,添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是( ) A.AC=BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D D.BC=AD 【考點(diǎn)】全等三角形的判定. 【分析】根據(jù)全等三角形的判定:SAS,AAS,ASA,可得答案. 【解答】解:由題意,得∠ABC=∠BAD,AB=BA, A、∠ABC=∠BAD,AB=BA,AC=BD,(SSA)三角形不全等,故A錯(cuò)誤; B、在△ABC與△BAD中,,△ABC≌△BAD(ASA),故B正確; C、在△ABC與△BAD中,,△ABC≌△BAD(AAS),故C正確; D、在△ABC與△BAD中,,△ABC≌△BAD(SAS),故D正確; 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角. 7.一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540,則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于( ?。? A.108 B.90 C.72 D.60 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角. 【分析】首先設(shè)此多邊形為n邊形,根據(jù)題意得:180(n﹣2)=540,即可求得n=5,再由多邊形的外角和等于360,即可求得答案. 【解答】解:設(shè)此多邊形為n邊形, 根據(jù)題意得:180(n﹣2)=540, 解得:n=5, 故這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于: =72. 故選C. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí).注意掌握多邊形內(nèi)角和定理:(n﹣2)?180,外角和等于360. 8.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4,8,則它的周長(zhǎng)為( ?。? A.12 B.16 C.20 D.16或20 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系. 【分析】由于題中沒(méi)有指明哪邊是底哪邊是腰,則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析. 【解答】解:①當(dāng)4為腰時(shí),4+4=8,故此種情況不存在; ②當(dāng)8為腰時(shí),8﹣4<8<8+4,符合題意. 故此三角形的周長(zhǎng)=8+8+4=20. 故選C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系,解答此題時(shí)注意分類(lèi)討論,不要漏解. 9.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖,四邊形ABCD是一個(gè)箏形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時(shí),得到如下結(jié)論: ①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD, 其中正確的結(jié)論有( ?。? A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì). 【專(zhuān)題】新定義. 【分析】先證明△ABD與△CBD全等,再證明△AOD與△COD全等即可判斷. 【解答】解:在△ABD與△CBD中, , ∴△ABD≌△CBD(SSS), 故③正確; ∴∠ADB=∠CDB, 在△AOD與△COD中, , ∴△AOD≌△COD(SAS), ∴∠AOD=∠COD=90,AO=OC, ∴AC⊥DB, 故①②正確; 故選D 【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明△ABD與△CBD全等和利用SAS證明△AOD與△COD全等. 10.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以頂點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線(xiàn)AP交邊BC于點(diǎn)D,若CD=4,AB=15,則△ABD的面積是( ?。? A.15 B.30 C.45 D.60 【考點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì). 【分析】判斷出AP是∠BAC的平分線(xiàn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解. 【解答】解:由題意得AP是∠BAC的平分線(xiàn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E, 又∵∠C=90, ∴DE=CD, ∴△ABD的面積=AB?DE=154=30. 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的畫(huà)法,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 11.如圖,在△ABC中,∠ABC=50,∠ACB=60,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,∠ABC的平分線(xiàn)BD與∠ACE的平分線(xiàn)CD相交于點(diǎn)D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是( ?。? A.∠BAC=70 B.∠DOC=90 C.∠BDC=35 D.∠DAC=55 【考點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理. 【專(zhuān)題】計(jì)算題. 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出∠BAC=70,再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠ABO,然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DOC=∠AOB,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線(xiàn)的定義求出∠DCO,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可∠BDC,判斷出AD為三角形的外角平分線(xiàn),然后列式計(jì)算即可求出∠DAC. 【解答】解:∵∠ABC=50,∠ACB=60, ∴∠BAC=180﹣∠ABC﹣∠ACB=180﹣50﹣60=70, 故A選項(xiàng)正確, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABO=∠ABC=50=25, 在△ABO中, ∠AOB=180﹣∠BAC﹣∠ABO=180﹣70﹣25=85, ∴∠DOC=∠AOB=85, 故B選項(xiàng)錯(cuò)誤; ∵CD平分∠ACE, ∴∠ACD=(180﹣60)=60, ∴∠BDC=180﹣85﹣60=35, 故C選項(xiàng)正確; ∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線(xiàn), ∴AD是△ABC的外角平分線(xiàn), ∴∠DAC=(180﹣70)=55, 故D選項(xiàng)正確. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線(xiàn)的定義,熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵. 12.如圖,在△ABC中,AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC、BC于E,D兩點(diǎn),EC=4,△ABC的周長(zhǎng)為23,則△ABD的周長(zhǎng)為( ) A.13 B.15 C.17 D.19 【考點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得出AD=DC,AE=CE=4,求出AC=8,AB+BC=15,求出△ABD的周長(zhǎng)為AB+BC,代入求出即可. 【解答】解:∵AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC、BC于E,D兩點(diǎn), ∴AD=DC,AE=CE=4, 即AC=8, ∵△ABC的周長(zhǎng)為23, ∴AB+BC+AC=23, ∴AB+BC=23﹣8=15, ∴△ABD的周長(zhǎng)為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15, 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用,能熟記線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵,注意:線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 13.如圖,直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸,點(diǎn)P是直線(xiàn)MN上的點(diǎn),下列判斷錯(cuò)誤的是( ?。? A.AM=BM B.AP=BN C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸,得到點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)應(yīng),根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可得到結(jié)論. 【解答】解:∵直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸, ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)應(yīng), ∴AM=BM,AN=BN,∠ANM=∠BNM, ∵點(diǎn)P時(shí)直線(xiàn)MN上的點(diǎn), ∴∠MAP=∠MBP, ∴A,C,D正確,B錯(cuò)誤, 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 14.如圖,AD是△ABC的角平分線(xiàn),則AB:AC等于( ?。? A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC 【考點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì). 【專(zhuān)題】壓軸題. 【分析】先過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,由于BE∥AC,利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論、平行線(xiàn)的性質(zhì),可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性質(zhì)可有=,而利用AD時(shí)角平分線(xiàn)又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代換即可證. 【解答】解:如圖 過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E, ∵BE∥AC, ∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD, ∴△BDE∽△CDA, ∴=, 又∵AD是角平分線(xiàn), ∴∠E=∠DAC=∠BAD, ∴BE=AB, ∴=, ∴AB:AC=BD:CD. 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線(xiàn)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論.關(guān)鍵是作平行線(xiàn). 15.如圖,△ABC是等邊三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于點(diǎn)R,PS⊥AC于點(diǎn)S,PR=PS,則下列結(jié)論:①點(diǎn)P在∠A的角平分線(xiàn)上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.正確的有( ?。? A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì);全等三角形的判定;角平分線(xiàn)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上可得AP平分∠BAC,從而判斷出①正確,然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠APQ=∠PAQ,然后得到∠APQ=∠PAR,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行可得QP∥AB,從而判斷出②正確,然后證明出△APR與△APS全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到③正確,④由△BPR≌△CPS,△BRP≌△QSP,即可得到④正確. 【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS, ∴P在∠A的平分線(xiàn)上,故①正確; 由①可知,PB=PC,∠B=∠C,PS=PR, ∴△BPR≌△CPS, ∴AS=AR,故②正確; ∵AQ=PQ, ∴∠PQC=2∠PAC=60=∠BAC, ∴PQ∥AR,故③正確; 由③得,△PQC是等邊三角形, ∴△PQS≌△PCS, 又由②可知,④△BRP≌△QSP,故④也正確, ∵①②③④都正確, 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì),準(zhǔn)確識(shí)圖并熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 二.解答題(共9小題) 16.如圖,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線(xiàn),它們相交于點(diǎn)O,∠BAC=80,∠ABC=70.求∠BAD,∠AOF. 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理;三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高. 【分析】在直角三角形中,根據(jù)兩銳角互余即可得到∠BAD=20,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可求出∠BAO和∠ABO,最后由三角形外角的性質(zhì)求得∠AOF=75. 【解答】解:∵AD是高,∠ABC=70, ∴∠BAD=90﹣70=20, ∵AE、BF是角平分線(xiàn),∠BAC=80,∠ABC=70, ∴∠ABO=35,∠BAO=40, ∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,外角的性質(zhì),三角形的高線(xiàn)與角平分線(xiàn)的性質(zhì),熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵. 17.如圖,AB=AD,CB=CD,求證:AC平分∠BAD. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì). 【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推出△BAC≌△DAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC即可. 【解答】解:在△BAC和△DAC中, , ∴△BAC≌△DAC(SAS), ∴∠BAC=∠DAC, ∴AC平分∠BAD. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)定義和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,關(guān)鍵是推出△BAC≌△DAC,全等三角形的判定方法有SAS、ASA、AAS. 18.如圖,已知AC=AE,∠BAD=∠CAE,∠B=∠ADE,求證:BC=DE. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì). 【分析】先通過(guò)∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE,從而證明△ABC≌△ADE,得到BC=DE. 【解答】證明:∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC. 即∠BAC=∠DAE, 在△ABC和△ADE中, ∴△ABC≌△ADE(AAS). ∴BC=DE. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì),判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:AAS、SSS、SAS、SSA、HL.注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角 19.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F. 求證:DE=DF. 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì). 【專(zhuān)題】證明題. 【分析】D是BC的中點(diǎn),那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線(xiàn),根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的特性,可知道AD也是∠BAC的角平分線(xiàn),根據(jù)角平分線(xiàn)的點(diǎn)到角兩邊的距離相等,那么DE=DF. 【解答】證明: 證法一:連接AD. ∵AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn) ∴AD平分∠BAC(三線(xiàn)合一性質(zhì)), ∵DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F. ∴DE=DF(角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等). 證法二:在△ABC中, ∵AB=AC ∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角) …(1分) ∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn) ∴BD=DC …(2分) ∵DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F ∴∠BED=∠CFD=90… 在△BED和△CFD中 ∵, ∴△BED≌△CFD(AAS), ∴DE=DF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等). 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì);利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵. 20.如圖,一艘輪船以18海里/時(shí)的速度由西向東航行,在A處測(cè)得小島C在北偏東75方向上,兩小時(shí)后,輪船在B處測(cè)得小島C在北偏東60方向上,在小島周?chē)?5海里處有暗礁,若輪船仍然按18海里/時(shí)的速度向東航行,請(qǐng)問(wèn)是否有觸礁危險(xiǎn)?并說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題. 【分析】作CE⊥AB,利用直角三角形性質(zhì)求出CE長(zhǎng),和15海里比較即可看出船不改變航向是否會(huì)觸礁. 【解答】解:作CE⊥AB于E, ∵A處測(cè)得小島P在北偏東75方向, ∴∠CAB=15, ∵在B處測(cè)得小島P在北偏東60方向, ∴∠ACB=15, ∴AB=PB=218=36(海里), ∵∠CBD=30, ∴CE=BC=18>15, ∴船不改變航向,不會(huì)觸礁. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用,關(guān)鍵找出題中的等腰三角形,然后再根據(jù)直角三角形性質(zhì)求解. 21.如圖,在等腰三角形ABC中,AC=BC,分別以BC和AC為直角邊向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE,AE與BD相交于點(diǎn)F,連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.求證:CG垂直平分AB. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì);等腰直角三角形. 【分析】求證△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF,根據(jù)等腰三角形底邊三線(xiàn)合一即可解題. 【解答】證明:∵CA=CB ∴∠CAB=∠CBA ∵△AEC和△BCD為等腰直角三角形, ∴∠CAE=∠CBD=45,∠FAG=∠FBG, ∴∠FAB=∠FBA, ∴AF=BF, 在三角形ACF和△CBF中, , ∴△AFC≌△BCF(SSS), ∴∠ACF=∠BCF ∴AG=BG,CG⊥AB(三線(xiàn)合一), 即CG垂直平分AB. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì),考查了等腰三角形底邊三線(xiàn)合一的性質(zhì). 22.如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使BF=DF,若CD=CF,求證: (1)點(diǎn)F為AC的中點(diǎn); (2)過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)畫(huà)出圖形并證明BD=6CE. 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖;等邊三角形的性質(zhì). 【專(zhuān)題】作圖題. 【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB=60,利用∠CFD=∠D,則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ACB=2∠D,即∠D=∠ACB=30,然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30,則BF平分∠ABC,于是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到點(diǎn)F為AC的中點(diǎn); (2)如圖,過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD于E,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CF=2CE,而CD=CF,則CF=2CE,再利用BC=2CF,所以BD=6CE. 【解答】解:(1)∵△ABC為等邊三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60, ∵CF=CD, ∴∠CFD=∠D, ∴∠ACB=2∠D,即∠D=∠ACB=30, ∵FB=FD, ∴∠FBD=∠D=30, ∴BF平分∠ABC, ∴AF=CF,即點(diǎn)F為AC的中點(diǎn); (2)如圖, 在Rt△EFC中,CF=2CE, 而CD=CF, ∴CF=2CE, 在Rt△BCF中,BC=2CF, ∴BC=4CE, ∴BD=6CE. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖:熟練掌握基本作圖(作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段.作一個(gè)角等于已知角;作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn);作已知角的角平分線(xiàn);過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)).記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系. 23.如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合),Q是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過(guò)P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D. (1)當(dāng)∠BQD=30時(shí),求AP的長(zhǎng); (2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,求出線(xiàn)段ED的長(zhǎng);如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形. 【專(zhuān)題】壓軸題;動(dòng)點(diǎn)型. 【分析】(1)由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,可知∠ACB=60,再由∠BQD=30可知∠QPC=90,設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30,PC=QC,即6﹣x=(6+x),求出x的值即可; (2)作QF⊥AB,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F,連接QE,PF,由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同,可知AP=BQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四邊形PEQF是平行四邊形,進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB,由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6可得出DE=3,故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變. 【解答】解:(1)∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形, ∴∠ACB=60, ∵∠BQD=30, ∴∠QPC=90, 設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x, ∴QC=QB+BC=6+x, ∵在Rt△QCP中,∠BQD=30, ∴PC=QC,即6﹣x=(6+x),解得x=2, ∴AP=2; (2)當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí),線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.理由如下: 作QF⊥AB,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F,連接QE,PF, 又∵PE⊥AB于E, ∴∠DFQ=∠AEP=90, ∵點(diǎn)P、Q速度相同, ∴AP=BQ, ∵△ABC是等邊三角形, ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60, 在△APE和△BQF中, ∵∠AEP=∠BFQ=90, ∴∠APE=∠BQF, , ∴△APE≌△BQF(AAS), ∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF, ∴四邊形PEQF是平行四邊形, ∴DE=EF, ∵EB+AE=BE+BF=AB, ∴DE=AB, 又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6, ∴DE=3, ∴點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí),線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵. 24.在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn),BN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N. (1)如圖1,若CM∥BN交AD于點(diǎn)M. ①直接寫(xiě)出圖1中所有與∠MCD相等的角: ∠CAD,∠CBN ;(注:所找到的相等關(guān)系可以直接用于第②小題的證明過(guò)程 ②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BN,交BN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,請(qǐng)先在圖1中畫(huà)出輔助線(xiàn),再回答線(xiàn)段AM、CG、BN有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并給予證明. (2)如圖2,若CM∥AB交BN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.請(qǐng)證明:∠MDN+2∠BDN=180. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;作圖—基本作圖. 【分析】(1)①結(jié)論:∠CAD、CBN.利用同角的余角相等,平行線(xiàn)的性質(zhì)即可證明. ②由△ACM≌△BCG,推出CM=CG,AM=BG,由∠CMN=∠MNG=∠G=90,推出四邊形MNGC是矩形,推出CM=GN=CG,由此即可證明. (2)過(guò)點(diǎn)C作CE平分∠ACB,交AD于點(diǎn)E.由△ACE≌△BCM(ASA),推出CE=CM,又因?yàn)椤?=∠2,CD=CD,推出∠CDE=∠CDM,由∠BDN=∠CDE,∠MDN+∠CDE+∠CDM=180,即可證明. 【解答】解:(1)①∵CM∥BN,BN⊥AN, ∴∠CMD=∠N=90,∠MCD=∠CBN, ∵∠ACB=90, ∴∠ACM+∠CAD=90,∠MCD+∠ACM=90, ∴∠MCD=∠CAD, 故答案為∠CAD、∠CBN. ②在圖1中畫(huà)出圖形,如圖所示, 結(jié)論:AM=CG+BN, 證明:在△ACM和△BCG中, , ∴△ACM≌△BCG, ∴CM=CG,AM=BG, ∵∠CMN=∠MNG=∠G=90, ∴四邊形MNGC是矩形, ∴CM=GN=CG, ∴AM=BG=BN+GN=BN+CG. (2)過(guò)點(diǎn)C作CE平分∠ACB,交AD于點(diǎn)E. ∵在△ACD和△BDN中,∠ACB=90,AN⊥ND ∴∠4+∠ADC=90=∠5+∠BDN 又∵∠ADC=∠BDN ∴∠4=∠5, ∵∠ACB=90,AC=BC,CE平分∠ACB, ∴∠6=45,∠2=∠3=45 又∵CM∥AB, ∴∠1=∠6=45=∠2=∠3, 在△ACE和△BCM中, , ∴△ACE≌△BCM(ASA) ∴CE=CM 又∵∠1=∠2,CD=CD ∴∠CDE=∠CDM 又∵∠BDN=∠CDE,∠MDN+∠CDE+∠CDM=180 ∴∠MDN+2∠BDN=180. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)、構(gòu)造全等三角形,屬于中考??碱}型. 第28頁(yè)(共28頁(yè))- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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