2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題10.1 橢圓試題 理.doc

《2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題10.1 橢圓試題 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題10.1 橢圓試題 理.doc（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題10.1 橢圓試題 理 【三年高考】 1. 【xx浙江，2】橢圓的離心率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，選B． 2. 【xx課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點 ，半徑為 ，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即：，整理可得，即，從而 ，橢圓的離心率，故選A. 3. 【xx課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點. 【解析】（1）由于，兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為. （2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得 由題設(shè)可知.，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=. 而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，，欲使l：，即，所以l過定點（2，） 4. 【xx課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。 (1) 求點P的軌跡方程； (2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。 【解析】（1）設(shè),設(shè), 。由得。因為在C上，所以。因此點P的軌跡方程為。 5. 【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知為坐標(biāo)原點，是橢圓：的左焦點，分別為的左，右頂點.為上一點，且軸.過點的直線與線段交于點，與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由題意設(shè)直線的方程為，分別令與得點，，由，得，即，整理，得，所以橢圓離心率為，故選A． 6．【xx高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點. （I）求橢圓C的方程； （II）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M. （i）求證：點M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時點P的坐標(biāo). 【解析】（Ⅰ）由題意知，可得：.因為拋物線的焦點為，所以， 所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）（i）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程，得，由，得且，因此,將其代入得，因為，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點的縱坐標(biāo)為，即點在定直線上. （ii）由（i）知直線方程為，令得，所以，又，所以，，所以，令，則，當(dāng)，即時，取得最大值，此時，滿足，所以點的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時點的坐標(biāo)為. 7．【xx年高考北京理數(shù)】已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1. （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)的橢圓上一點，直線與軸交于點M，直線PB與軸交于點N.求證：為定值. 【解析】（1）由題意得解得.所以橢圓的方程為. 8．【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，． （Ⅰ）當(dāng)時，求的面積； （Ⅱ）當(dāng)時，求的取值范圍． 【解析】（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時，的方程為，.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積. （II）由題意，，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當(dāng)時上式不成立，因此.等價于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是. 9. 【xx高考新課標(biāo)1，理14】一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 【答案】 【解析】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為. 10.【xx高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且 （1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）若求橢圓的離心率 (2)解法一：如圖(21)圖，設(shè)點P在橢圓上，且，則，求得由,得,從而由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此，于是解得. 解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此,,從而 由,知，因此 【xx考試大綱】 橢圓 (1)了解橢圓的實際背景,了解性質(zhì)求在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. (2)掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì). (3)了解橢圓的簡單應(yīng)用. (4)理解數(shù)形結(jié)合的思想. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 對橢圓的考查，重點考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，高考中以選擇題、填空、解答題的第一小問考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，為容易題或中檔題，解答題的第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是難題. 【xx年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系是高考考試的熱點，考查方面離心率是重點，其它利用性質(zhì)求橢圓方程，求焦點三角形的周長與面積，求弦長，求橢圓的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等．預(yù)測xx年高考，對橢圓的考查，仍重點考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，仍以選擇題、填空、解答題的第一小題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，難度仍為容易題或中檔題，解答題的第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，難度仍難題，分值保持在12-17分.在備戰(zhàn)xx年高考中，要熟記橢圓的定義，會利用定義解決橢圓上一點與橢圓的焦點構(gòu)成的三角形問題，會根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì)，會用設(shè)而不求思想處理直線與橢圓的位置關(guān)系，重點掌握與橢圓有關(guān)的最值問題、定點與定值問題、范圍問題的處理方法，注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應(yīng)用. 【xx年高考考點定位】 高考對橢圓的考查有三種主要形式：一是直接考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；二是考查橢圓的幾何性質(zhì)；三是考查直線與橢圓的位置關(guān)系，從涉及的知識上講，常平面幾何、直線方程與兩直線的位置關(guān)系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識相聯(lián)系，字母運算能力和邏輯推理能力是考查是的重點. 【考點1】橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 【備考知識梳理】 1.橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫焦距，符號表述為：(). 注意：（1）當(dāng)時，軌跡是線段.(2)當(dāng)時，軌跡不存在. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.給定橢圓，要根據(jù)的大小判定焦點在那個坐標(biāo)軸上，焦點在分母大的那個坐標(biāo)軸上.(2)橢圓中關(guān)系為：. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點到兩焦點的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對橢圓上一點與其兩焦點構(gòu)成的三角形問題，常用橢圓的定義與正余弦定理去處理. 2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法 (1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點到兩定點的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于兩點之間的距離），符合橢圓的定義，該曲線是以這兩定點為焦點，定值為長軸長的橢圓，從而求出橢圓方程中的參數(shù)，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般分三步完成，①定性-確定它是橢圓；②定位判定中心在原點，焦點在哪條坐標(biāo)軸上；③定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式，解出參數(shù)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3.若若橢圓的焦點位置不定，應(yīng)分焦點在x軸上和焦點在y軸上，也可設(shè)橢圓方程為，可避免分類討論和繁瑣的計算. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【xx年馬鞍山市高三第三次模擬】已知橢圓 的右焦點為，過點的直線交于兩點．若 的中點坐標(biāo)為，則的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè) ，直線的斜率 ， ，兩式相減得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故選D. 2. 【江蘇省如皋市xx屆高三聯(lián)考（二）】已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于，兩點．若的周長為，則橢圓的方程為____． 【答案】 【考點2】橢圓的幾何性質(zhì) 【備考知識梳理】 1.橢圓的幾何性質(zhì) 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點 (c,0) (0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2) 范圍 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a 頂點 長軸頂點(a,0)，短軸頂點(0，b) 長軸頂點(0，a)，短軸頂點(b,0) 對稱性 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 離心率 e＝∈(0，1)，其中c＝ 2.點與橢圓關(guān)系（1）點在橢圓內(nèi)；（2）點在橢圓上；（3）點在橢圓外. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，即使不畫圖形，思考時也要聯(lián)想到圖像.當(dāng)涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓取值范圍實質(zhì)實質(zhì)是橢圓上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用. 3.求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為：=. 4.橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離的取值范圍為[]. 4.橢圓的通徑（過焦點垂直于焦點所在對稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為，是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【貴州省遵義市xx屆高三模擬】已知橢圓， 是橢圓的右焦點， 為左頂點，點在橢圓上， 軸，若，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【福建泉州xx屆質(zhì)量檢查】已知是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且點為線段的中點，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】連接PF1，OQ，由OQ為中位線,可得OQ∥PF1,|OQ|=|PF1|，圓x2+y2=b2,可得|OQ|=b,即有|PF1|=2b， 由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a?2b，又OQ⊥PF2,可得PF1⊥PF2，即有(2b)2+(2a?2b)2=(2c)2，即為b2+a2?2ab+b2=c2=a2?b2，化為2a=3b,即，,即有，則，當(dāng)且僅當(dāng),即時, 取得最小值.則的最小值為 .本題選擇C選項. 【考點3】直線與橢圓的位置關(guān)系 【備考知識梳理】 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若判別式Δ＞0，則直線與橢圓交；若△=0，則直線與橢圓相切；若△＜0，則直線與橢圓相離. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，常設(shè)出交點坐標(biāo)，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標(biāo)之和與之積表示出來，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)． 2．直線y＝kx＋b(k≠0)與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 3．對中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【四川省大教育聯(lián)盟xx屆三診】已知橢圓： （）的一個焦點為，離心率為，過點的動直線交于， 兩點，若軸上的點使得總成立（為坐標(biāo)原點），則（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】在橢圓中， 得，故，故橢圓的方程為，設(shè)， ，由題意可知，當(dāng)直線斜率不存在時， 可以為任意實數(shù)，當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，得，∴， ，使得總成立，即使得為的平分線，即有直線和的斜率之和為0，即有，由， ，即有，代入韋達(dá)定理，可得，化簡可得，故選B. 2. 【xx屆河南省鄭州一中高三百校聯(lián)考】已知橢圓： 的離心率為，且過點. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓相交于， 兩點，試問在軸上是否存在定點，使得直線與直線關(guān)于軸對稱？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【解析】（Ⅰ）由題意得，，故橢圓的方程為. （Ⅱ）假設(shè)存在點滿足題設(shè)條件.當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)的方程為， 代入橢圓方程化簡得： ，設(shè)， ，則， ，所以 ， 因為 ，所以當(dāng)時， ，直線與直線關(guān)于軸對稱，當(dāng)軸時，由橢圓的對稱性可知恒有直線與直線關(guān)于軸對稱，綜上可得，在軸上存在定點，使得直線與直線關(guān)于軸對稱. 【應(yīng)試技巧點撥】 １．焦點三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點三角形，就是以橢圓的焦點為頂點，另一個頂點在橢圓上的三角形． (2)解決此類問題要注意應(yīng)用三個方面的知識：①橢圓的定義；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式與三角形的面積公式． ２．離心率的求法 橢圓的離心率就是的值，有些試題中可以直接求出的值再求離心率，在有些試題中不能直接求出的值，由于離心率是個比值，因此只要能夠找到一個關(guān)于或的方程，通過這個方程解出或，利用公式求出，對雙曲線來說，，對橢圓來說，. 3． 有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長問題，要重視橢圓定義的運用，以簡化運算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： ，. ②當(dāng)斜率不存在時，可求出交點坐標(biāo)，直接運算(利用兩點間距離公式)． (2)弦的中點問題 有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運算． 4.直線與橢圓的位置關(guān)系 在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點，如果過焦點，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時一定要注意判別式的限制條件. 5.避免繁復(fù)運算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復(fù)的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標(biāo)系下運算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會簡單“所謂尋求”. 6．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)時，則，這往往在求與點有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易忽略導(dǎo)致求最值錯誤的原因． 7．注意橢圓上點的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某一點坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題求解，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值有重要意義． 1. 【安徽省亳州市xx屆高三質(zhì)量檢測】已知橢圓的左、右焦點分別為過作一條直線（不與軸垂直）與橢圓交于兩點，如果恰好為等腰直角三角形，該直線的斜率為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)，則， ，于是，又，所以，所以， ，因此， ，直線斜率為，由對稱性，還有一條直線斜率為，故選C． 2. 【河南省新鄉(xiāng)市xx屆高三三?！恳阎獧E圓（）的右頂點和上頂點分別為、，左焦點為.以原點為圓心的圓與直線相切，且該圓與軸的正半軸交于點，過點的直線交橢圓于、兩點.若四邊形是平行四邊形，則該橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3.【河北省武邑xx屆高三四?！恳阎菣E圓上的一點， 是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由題意可知： ，則： ，點 在橢圓上，則： ，故： ，解得： ，即的取值范圍是 .本題選擇A選項. 4. 【陜西省西安市長安區(qū)學(xué)xx屆高三4月模擬】設(shè)橢圓的方程為右焦點為，方程的兩實根分別為，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，因為方程的兩根分別為， ，則 ， 的取值范圍是，故選D. 5. 【河北省衡水中學(xué)xx屆高三二摸】橢圓的左焦點為，上頂點為，右頂點為，若的外接圓圓心在直線的左下方，則該橢圓離心率的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)，且的外接圓的方程為，將分別代入可得，由可得，即，所以，即，所以，應(yīng)選答案A。 6. 【湖南省長沙市xx屆高考模擬試卷（二）】已知是橢圓的左焦點，設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率大于，則直線（為原點）的斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由橢圓方程 ，可求得 ，由 ，得 ，過 作 軸垂線與橢圓交于 ，則 在弧 上時，符合題意， ， 斜率的取值范圍是 ，故選C. 7. 【重慶市xx屆高三適應(yīng)性卷（八）】已知橢圓的右焦點為，上頂點為，點是該橢圓上的動點，當(dāng)?shù)闹荛L最大時， 的面積為__________． 【答案】 8. 【福建省泉州市xx屆高三適應(yīng)性模擬（二）】橢圓的左,右焦點分別為,,過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于, 兩點,則△的內(nèi)切圓面積最大值是________. 【答案】 【解析】令直線： ，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設(shè)，則， ．可知，又，故．三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑，其面積最大值為．故本題應(yīng)填． 9. 【安徽省巢湖市xx屆高三最后一次模擬】已知橢圓： 的長軸長為，且橢圓與圓： 的公共弦長為. （1）求橢圓的方程. （2）經(jīng)過原點作直線（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于， 兩點， 軸于點，點在橢圓上，且，求證： ， ， 三點共線.. 【解析】（1）由題意得，則.由橢圓與圓： 的公共弦長為， 其長度等于圓的直徑，可得橢圓經(jīng)過點，所以，解得. 所以橢圓的方程為. （2）設(shè)， ，則， .因為點， 都在橢圓上，所以所以 ，即. 又 ，所以，即， 所以，所以，又 ， 所以，所以， ， 三點共線. 10.【河北省武邑xx屆高三四?！恳阎獔A： ，定點， 是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點. （Ⅰ）求點的軌跡的方程； （Ⅱ）四邊形的四個頂點都在曲線上，且對角線， 過原點，若，求證：四邊形的面積為定值，并求出此定值. 【解析】（1）因為在線段的中垂線上，所以.所以 ，所以軌跡是以， 為焦點的橢圓，且， ，所以，故軌跡的方程. （2）證明：不妨設(shè)點、位于軸的上方，則直線的斜率存在，設(shè)的方程為， ， .聯(lián)立，得 ， 則， .① 由，得 .② 由①、②，得.③ 設(shè)原點到直線的距離為， ， ④ 由③、④，得，故四邊形的面積為定值，且定值為. 11. 【xx屆海南省農(nóng)墾中學(xué)高三第九次月考】設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P,Q，若點P、Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】設(shè)點在軸上的射影分別為焦點，，從而，得. 12. 【xx屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】已知某橢圓的方程為，上頂點為，左頂點為，設(shè)是橢圓上的任意一點，且面積的最大值為，若已知，，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】設(shè)，因此面積為，從而，， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，選B. 13.【xx屆湖南省郴州市高三第四次教學(xué)質(zhì)量檢測理】 已知橢圓的左、右焦點分別為、,點是橢圓與圓在第一象限的交點, 且點到的距離等于.若橢圓上一動點到點與到點的距離之差的最大值為,則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)點為橢圓上的動點，則．當(dāng)三點共線時，取得最大值，此時．又，所以點是線段上靠近的一個三等分點，所以，代入橢圓方程，得，即，解得，即，故選B． 14. 【xx屆廣西來賓高中高三5月模擬理】如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線交圓于兩點，若，則的值為___________． 【答案】 【解析】由已知， ，所以．故答案為. 15. 【xx屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一模】已知橢圓的左焦點為，離心率為，直線與橢圓相交于兩點，當(dāng)軸時，的周長最大值為8. （1）求橢圓的方程； （2）若直線過點，求當(dāng)面積最大時直線的方程. 【解析】（1）設(shè)橢圓的右焦點為，由橢圓的定義，得，而的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)過點時，等號成立，所以，即，又離心率為，所以，所以橢圓的方程為. （2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得.設(shè)，則，且，，所以②，令，則②式可化為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立. 所以直線的方程為或. 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1. 已知橢圓：的左右焦點分別為，圓以為圓心，短軸長為直徑，過點作圓的切線，切點分別為，若四邊形的面積，則橢圓的離心率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)，則、，.圓的半徑.所以.所以四邊形的面積.即，也就是，整理得，即，整理得，即，解得或.又，所以，故，所以.所以.故選D. 【入選理由】本題考查橢圓的方程、圓的性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力．以及運算求解能力，直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考考查的熱點，故選此題. 2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為 ． 【答案】 【入選理由】本題考查橢圓的方程，向量的坐標(biāo)運算，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是高考考查的熱點，故選此題. 3. 已知是橢圓：的左，右焦點． （1）當(dāng)時，若是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點，且，求點的坐標(biāo)； （2）當(dāng)橢圓的焦點在軸上且焦距為2時，若直線：與橢圓相交于兩點，且，求證：的面積為定值． 【解析】（1）當(dāng)時，橢圓方程為，則．設(shè)，則，由，得，與橢圓方程聯(lián)立解得，即點的坐標(biāo)為． （2）當(dāng)橢圓的焦距為2時，，則，所以橢圓的方程為．由得： ∵，∴，∴，，∴，由，得，∴． ∵．又點到直線的距離， ∴．即的面積為定值． 【入選理由】本題主要考查橢圓方程與幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維與推證能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，本題是一個常規(guī)題，定值定點問題是高考常考題型，故選此題. 4. 已知橢圓的長半軸為，短半軸為.橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為方程的一個根，且長半軸為，短半軸為.若，. （1）求橢圓的方程； （2）若動直線交橢圓于不同的兩點，設(shè)，為坐標(biāo)原點.當(dāng)以線段為直徑的圓恰好過點時，求證：的面積為定值，并求出該定值. 【解析】（1）由可得橢圓的離心率為，故解得，.所以，所以所求的橢圓的方程為； （2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，因為以線段為直徑的圓過原點，所以，即，所以，即，又因為點在橢圓上，所以，可得，所以.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，， 因為交于不同的兩點，所以，即，即， 由根與系數(shù)的關(guān)系得：，由題意知，即，又，所以，即，整理得①.又 ，點到直線的距離為，所以，將①代入得.綜上，的面積為定值 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的面積等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，綜合分析問題、解決問題的能力，推理能力和運算能力．本題構(gòu)思巧妙，是一個好題，故選此題. 5. 已知橢圓：的左焦點為，設(shè)是橢圓的兩個短軸端點，是橢圓的長軸左端點． （Ⅰ）當(dāng)時，設(shè)點，直線交橢圓于，且直線的斜率分別為，求的值； （Ⅱ）當(dāng)時，若經(jīng)過的直線與橢圓交于兩點，O為坐標(biāo)原點，求與的面積之差的最大值． 【解析】（Ⅰ）由條件，不妨設(shè)，則直線的斜率為，所以直線的方程為，代入，得，解得，所以，，所以． （Ⅱ）設(shè)與的面積分別為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，此時不妨設(shè)，則，的面積相等，即．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，和橢圓方程聯(lián)立得，消掉得，顯然，方程有實根，且．此時．因為，上式（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以的最大值為． 【入選理由】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運算求解能力、方程思想與分類討論的思想．本題是一個常規(guī)題，直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考考查的熱點，故選此題.