八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十八章 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.2 第2課時(shí) 菱形的判定教學(xué) 新人教版.ppt

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第十八章 平行四邊形,,,導(dǎo)入新課,,,講授新課,,,,當(dāng)堂練習(xí),,,,課堂小結(jié),,,,,,,,學(xué)練優(yōu)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（RJ） 教學(xué)課件,18.2.2 菱 形,第2課時(shí) 菱形的判定,1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過(guò)程，掌握菱形的判 定定理．（重點(diǎn)） 2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算. （難點(diǎn)）,,一組鄰邊相等,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形,,菱形的性質(zhì),,菱形,兩組對(duì)邊平行,四條邊相等,兩組對(duì)角分別相等,鄰角互補(bǔ),兩條對(duì)角線互相垂直平分 每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角,,,邊,角,對(duì)角線,,復(fù)習(xí)引入,導(dǎo)入新課,問(wèn)題 菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？,根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個(gè)判定的方法：,AB=AD，,∵四邊形ABCD是平行四邊形，,∴四邊形ABCD是菱形.,數(shù)學(xué)語(yǔ)言,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.,思考 還有其他的判定方法嗎？,講授新課,前面我們用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想？,,,,,,猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.,你能證明這一猜想嗎？,已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O ，AC⊥BD. 求證：□ABCD是菱形.,證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是線段AC的垂直平分線. ∴BA=BC. ∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.,證一證,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,幾何語(yǔ)言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD,,∴ □ABCD是菱形.,菱形的判定定理：,歸納總結(jié),又∵四邊形ABCD是平行四邊形，,∵ OA=4,OB=3,AB=5，,證明：,即AC⊥BD，,∴ AB2=OA2+OB2，,∴△AOB是直角三角形，,典例精析,∴四邊形ABCD是菱形.,例2 如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．,,,,,,A,B,C,D,E,F,O,,1,,2,證明: ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO =FO. ∴四邊形AFCE是平行四邊形. 又∵EF⊥AC ∴ 四邊形AFCE是菱形.,練一練,在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個(gè)條件可以是 （ ） A．∠ABC=90 B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD,B,小剛：分別以A、C為圓心,以大于 AC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩條 弧分別相交于點(diǎn)B , D,依次連接A、B、C、D四點(diǎn).,已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD,使AC為菱形的一條對(duì)角線嗎？,,C,A,,B,D,,,,想一想：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗(yàn)證小剛的作法對(duì)嗎？,猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.,證明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形. 又∵AB=BC, ∴四邊形ABCD是菱形.,已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求證：四邊形ABCD是菱形.,證一證,四條邊都相等的四邊形是菱形,,AB=BC=CD=AD,幾何語(yǔ)言描述： ∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，,∴四邊形 ABCD是菱形.,菱形的判定定理：,歸納總結(jié),下列命題中正確的是 （ ） A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B.三條邊相等的四邊形是菱形 C.四條邊相等的四邊形是菱形 D.四個(gè)角相等的四邊形是菱形,C,練一練,證明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四邊形ABCD是菱形.,2,例3 如圖,在△ABC中, AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求證：四邊形CDEF是菱形.,,,,,,,,A,C,B,E,D,F,,,1,典例精析,例4 如圖，在△ABC中，∠B＝90，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．,證明：由平移變換的性質(zhì)得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四邊形ACFD是菱形．,四邊形的條件中存在多個(gè)關(guān)于邊的等量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用四條邊都相等來(lái)判定一個(gè)四邊形是菱形比較方便．,,,證明：連接AC、BD.,∵四邊形ABCD是矩形，,∴AC=BD.,∵點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，,∴EF=FG=GH=HE，,∴四邊形EFGH是菱形.,例5 如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.,【變式題】 如圖，順次連接對(duì)角線相等的四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？,解：四邊形EFGH是菱形.,又∵AC=BD,,∵點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，,∴EF=FG=GH=HE，,∴四邊形EFGH是菱形.,順次連接對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，得到四邊形是菱形.,理由如下：連接AC、BD,拓展1 如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？,解：連接AC、BD.,∵點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，,∴四邊形EFGH是平行四邊形.,拓展2 如圖，若四邊形ABCD是菱形，順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？,四邊形EFGH是矩形.,同學(xué)們自己去解答吧,思考 在學(xué)平行四邊形的時(shí)候我們知道把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起得到的四邊形是平行四邊形，你能進(jìn)一步判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？,A,C,D,B,,,分析：易知四邊形ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.,由題意可知BC邊上的高和CD邊上的高相等，,然后通過(guò)證△ABE≌△ADF，即得AB=AD.,請(qǐng)補(bǔ)充完整的證明過(guò)程,,,E,F,例3 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連接CF. (1)求證：四邊形BCFE是菱形；,(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四邊形BCFE是平行四邊形． 又∵EF＝BE， ∴四邊形BCFE是菱形；,(2)解：∵∠BCF＝120， ∴∠EBC＝60， ∴△EBC是等邊三角形， ∴菱形的邊長(zhǎng)為4，高為 ， ∴菱形的面積為 .,(2)若CE＝4，∠BCF＝120，求菱形BCFE的面積．,判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，要結(jié)合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，可以先嘗試證出這個(gè)四邊形是平行四邊形．,練一練,如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng).,解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四邊形ABCD為菱形， ∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=42=8．,當(dāng)堂練習(xí),1.判斷下列說(shuō)法是否正確 (1)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形； (2)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形； (3)對(duì)角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的 四邊形是菱形； (4)兩條鄰邊相等，且一條對(duì)角線平分一組 對(duì)角的四邊形是菱形．,√,╳,╳,╳,2.一邊長(zhǎng)為5cm平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 24cm和26cm，那么平行四邊形的面積是 .,312cm2,3.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（ ） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60 D．∠ACB=60,B,解析：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC∥DE，AC=DE， ∴四邊形ABED為平行四邊形. 當(dāng)AC=BC時(shí)， 平行四邊形ACED是菱形． 故選B．,4.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC, CE ∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.,證明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四邊形OCED是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四邊形OCED是菱形．,證明：∵M(jìn)N是AC的垂直平分線， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC， ∴四邊形ADCE是平行四邊形 又∵∠AOD=90，∴四邊形ADCE是菱形．,5.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.,B,C,（1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的平分線的過(guò)程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形， ∵AB=AF， ∴四邊形ABEF為菱形；,6.如圖,在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的 平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF． （1）求證：四邊形ABEF為菱形； （2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若BF=6，AB=5，求AE的長(zhǎng)．,（2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若BF=6，AB=5，求AE的長(zhǎng)．,解：∵四邊形ABEF為菱形， ∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4， ∴AE=2AO=8．,課堂小結(jié),,有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.,四邊相等的四邊形是菱形.,運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和證明,菱形的判定,定義法,判定定理,,,