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1、北 京 交 通 大 學(xué)
2012-2013學(xué)年 第一學(xué)期 《幾何與代數(shù)》 期中考試卷(A) 答案
一．填空題（本題滿分24分，共8道小題，每道小題3分，少填、多填或填錯(cuò)均不得分）
1．設(shè)矩陣，且，則，．
2．向量，滿足，，則內(nèi)積 ．
3．若三點(diǎn)，，共線，則、．
4．．
5．設(shè)、為階方陣，且，，則．
6．若4階行列式，則．
7．是矩陣，其秩，，則．
8．階行列式．
二．應(yīng)用題（每題8分，共40分）
9．計(jì)算階行列式
．
解：
10．已知，證明：及都可逆，并求及．
解：由，得，因此，可逆，且
；
由，得，因此，可逆，
2、且
．
11．當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組 有唯一解，并求出該解．
解：線性方程組的增廣矩陣
因此，當(dāng)且時(shí)，，方程組有唯一解，且
因此，
12．已知向量為單位向量，垂直于，垂直于，試求向量與向量的夾角．
解：由條件，得
即
得，，故，
因此，．
13．設(shè)階方陣滿足：．證明：可以表示成個(gè)秩為的矩陣之和．
解：由已知，存在階可逆陣、，使得
因此，，
且，．
三．應(yīng)用題（每題12分，共36分）
14．求通過(guò)直線且垂直于的平面方程．
3、
解：顯然，待求平面過(guò)點(diǎn)，而其法向量及，
即 ．
故所求平面方程為 或 ．
15．平面與是否相交？若相交，求出它們的交線在平面上的投影的直線方程；若不相交，請(qǐng)給出證明．
解：因?yàn)?，，因此，與相交．
設(shè)交線為，并設(shè)為通過(guò)直線且垂直于的平面，則交線在平面上的投影直線就是與的交線．
設(shè)通過(guò)直線的平面的方程為
，
即 ．
由于與垂直，故
，
解得，，因此，得平面的方程為
：，
因此，所求投影直線方程為
16．已知矩陣 ， ，且矩陣滿足：
，其中為三階單位陣，求．
解：化簡(jiǎn)矩陣方程，有
，即 ．
由于 ，所以可逆，且
所以，．
附加題：（滿分10分）已知階方陣，下列等式是否成立，若成立，證明之；若不成立，說(shuō)明原因或給出其成立的條件．
．
解：成立．因?yàn)?
．
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《幾何與代數(shù)》期中試卷(答案)729617751115083223
