八年級數(shù)學(xué)下冊 第十八章 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 第2課時 矩形的判定教學(xué) 新人教版.ppt

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第十八章 平行四邊形,,,導(dǎo)入新課,,,講授新課,,,,當(dāng)堂練習(xí),,,,課堂小結(jié),,,,,,,,學(xué)練優(yōu)八年級數(shù)學(xué)下（RJ） 教學(xué)課件,18.2.1 矩 形,第2課時 矩形的判定,1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重點） 2.能應(yīng)用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.(難點),復(fù)習(xí)引入,導(dǎo)入新課,問題1 矩形的定義是什么？,有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.,問題2 矩形有哪些性質(zhì)？,矩形,,邊：,角：,對角線：,對邊平行且相等,四個角都是直角,對角線互相平分且相等,思考 工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？,這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.,講授新課,類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.,問題1 除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？,矩形是特殊的平行四邊形.,類似地，那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.,問題2 上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？,我猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.,不對，等腰梯形的對角線也相等.,不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.,思考 你能證明這一猜想嗎？,已知：如圖,在□ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC=DB.求證：□ABCD是矩形. 證明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180, ∴ ∠ABC = 90, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定義）.,證一證,矩形的判定定理： 對角線相等的平行四邊形是矩形.,歸納總結(jié),幾何語言描述： 在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四邊形ABCD是矩形.,思考 數(shù)學(xué)來源于生活，事實上工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？,對角線相等的平行四邊形是矩形.,解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，,∴OA=OC= AC，,OB=OD= BD.,又∵OA=OD，,∴AC=BD，,∴四邊形ABCD是矩形，,∴∠BAD=90.,又∵∠OAD=50，,∴∠OAB=40.,典例精析,例2 如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點,且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.,證明：,∵四邊形ABCD是矩形，,∴AC=BD（矩形的對角線相等)，,AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），,∵ AE=BF=CG=DH，,∴OE=OF=OG=OH，,∴四邊形EFGH是平行四邊形，,∵EO+OG=FO+OH，,即EG=FH， ∴四邊形EFGH是矩形.,練一練,1.如圖，在?ABCD中，AC和BD相交于點O，則下面條件能判定?ABCD是矩形的是 （ ）,A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD,A,2.如圖 ABCD中, ∠1= ∠2中.此時四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？,1,2,,解：四邊形ABCD是矩形. 理由如下： ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ AO=CO,DO=BO. 又∵ ∠1= ∠2， ∴AO=BO， ∴AC=BD， ∴四邊形ABCD是矩形.,問題1 上節(jié)課我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？,逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.,成立,問題2 至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？,猜測：有三個角是直角的四邊形是矩形.,已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90. 求證：四邊形ABCD是矩形.,證明:∵ ∠A=∠B=∠C=90, ∴∠A+∠B=180,∠B+∠C=180， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴四邊形ABCD是矩形.,證一證,矩形的判定定理： 有三個角是直角的四邊形是矩形.,歸納總結(jié),幾何語言描述： 在四邊形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90, ∴四邊形ABCD是矩形.,思考 一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板．為什么？,有三個角是直角的四邊形是矩形.,例3 如圖， □ ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形 EFGH為矩形．,證明：在□ ABCD中，AD∥BC,,∴∠DAB+∠ABC=180.,∵AE與BG分別為∠DAB、 ∠ABC的平分線,,∴四邊形EFGH是矩形．,同理可證∠AED=∠EHG=90,,∴∠AFB=90，,∴∠GFE=90.,∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90.,例4 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．,證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE ＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90, ∴四邊形ADCE為矩形．,練一練,在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動課上，一個合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是 （ ） A．測量對角線是否相等 B．測量兩組對邊是否分別相等 C．測量一組對角是否都為直角 D．測量其中三個角是否都為直角,D,當(dāng)堂練習(xí),1.下列各句判定矩形的說法是否正確？,（1）對角線相等的四邊形是矩形；,（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；,（3）有一個角是直角的四邊形是矩形；,（5）有三個角是直角的四邊形是矩形；,（6）四個角都相等的四邊形是矩形；,（7）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形；,（4）有三個角都相等的四邊形是矩形;,,,,,√,√,√,√,（8）一組對角互補的平行四邊形是矩形.,2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點,AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四邊形 C.矩形 D.不能確定,C,3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．,證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90， ∴∠ADC=90. 又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13， 滿足132=52+122，即 ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90， ∴四邊形ABCD是矩形．,,4.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．,證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD， ∴平行四邊形NDMB為矩形．,5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形．,證明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. ∵AE是∠BAC的外角平分線， ∴∠FAE＝∠EAC. ∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD. 又∵DE∥AB， ∴四邊形AEDB是平行四邊形， ∴AE平行且相等BD.,又∵BD＝DC， ∴AE平行且等于DC， 故四邊形ADCE是平行四邊形. 又∵∠ADC＝90， ∴平行四邊形ADCE是矩形．,6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90，AD＝24cm，BC＝26cm，動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動．點P、Q分別從點A和點C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動． (1)經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？,解：設(shè)經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形， 即PD＝CQ， 所以24－x＝3x， 解得x＝6. 即經(jīng)過6s，四邊形PQCD 是平行四邊形；,能力提升：,(2)經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？,解：設(shè)經(jīng)過ys，四邊形PQBA為矩形， 即AP＝BQ， ∴y＝26－3y， 解得y＝6.5， 即經(jīng)過6.5s，四邊形PQBA是矩形．,課堂小結(jié),,有一個角是直角的平行四邊形是矩形.,對角線相等的平行四邊形是矩形.,有三個角是直角的四邊形是矩形.,運用定理進行計算和證明,矩形的判定,定義,判定定理,,,