大學(xué)物理 振動 01哈爾濱工程大學(xué) 孫秋華

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1、H arbin Engineering University 孫 秋 華 振 動 ： 物 體 在 同 一 路 徑 的 一 定 位 置 附 近 作 重 復(fù) 往 返 運 動 稱 為 機 械 振 動 。周 期 性 振 動 在 T 時 間 內(nèi) 運 動 狀 態(tài) 能 完 全 重 復(fù) 。有 平 衡 點 ， 且 具 有 重 復(fù) 性 。非 周 期 性 振 動 在 T 時 間 內(nèi) 運 動 狀 態(tài) 不 能 完 全 重 復(fù) 。 1.1 諧 振 子 運 動1.1.1 諧 振 子 運 動 的 描 述 H arbin Engineering University 孫 秋 華 彈 簧 振 子 :質(zhì) 量 忽 略 不 計 的 彈

2、 簧 與 質(zhì) 點 構(gòu) 成 的 系 統(tǒng) 。 即 ： 將 慣 性 集 中 在 質(zhì) 點 上 ， 將 彈 性 集 中 在 彈 簧 上 。kl0 xmoA A00 Fx 在 無 阻 尼 情 況 下 彈簧 振 子 的 運 動一 、 簡 諧 振 動 動 力 學(xué) 方 程 與 振 動 方 程 H arbin Engineering University 孫 秋 華 makxF xtx 222dd mk2令 xa 2 )sin(dd tAtxv )cos(dd 222 tAtxa積 分 常 數(shù) ， 根 據(jù) 初 始 條 件 確 定)cos( tAx x xF mo H arbin Engineering Unive

3、rsity 孫 秋 華 tx 圖tv 圖ta 圖 TAA 2A 2A xva tttAAo oo TT )cos( tAx 0取2T )2cos( tA )sin( tAv )cos(2 tA )cos(2 tAa H arbin Engineering University 孫 秋 華 二 、 描 述 簡 諧 振 動 的 物 理 量)cos( tAx1. 振 幅 maxxA2. 周 期 、 頻 率 kmT 2彈 簧 振 子 周 期2T 周 期 21 T 頻 率 T22 圓 頻 率 )(cos TtA 周 期 和 頻 率 僅 與 振 動 系 統(tǒng) 本身 的 物 理 性 質(zhì) 有 關(guān)注 意 tx 圖

4、AA x T2T to H arbin Engineering University 孫 秋 華 2） 相 位 在 內(nèi) 變 化 ， 質(zhì) 點 無 相 同 的 運 動 狀 態(tài) ； 1） 存 在 一 一 對 應(yīng) 的 關(guān) 系 ;),( vxt 203. 相 位 t相 差 為 整 數(shù) 質(zhì) 點 運 動 狀 態(tài) 全 同 .（ 周 期 性 ）) (2 nn( 取 或 )3） 初 相 位 描 述 質(zhì) 點 初 始 時 刻 的 運 動 狀 態(tài) . )0( t 20 簡 諧 運 動 中 ， x和 v 間 不存 在 一 一 對 應(yīng) 的 關(guān) 系 . tx 圖AA x T2T to v vv)sin( tAv )cos(

5、tAx H arbin Engineering University 孫 秋 華 22020 v xA 00tan x v000 vv xxt初 始 條 件 cos0 Ax sin0 Av 對 給 定 振 動 系 統(tǒng) ， 周 期 由 系 統(tǒng) 本 身 性 質(zhì) 決 定 ， 振 幅 和初 相 由 初 始 條 件 決 定 . )sin( tAv )cos( tAx三 、 由 初 始 條 件 決 定 振 幅 和 初 相 H arbin Engineering University 孫 秋 華 cos0 A 2 0sin0 Av 2 0sin 取 0,0,0 vxt已 知 求 討 論 xv o)2 cos

6、( tAx AA x T2T to H arbin Engineering University 孫 秋 華 1. 1.2 諧 振 子 運 動 的 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 描 述 以 為原 點 旋 轉(zhuǎn) 矢量 的 端 點在 軸 上 的投 影 點 的 運動 為 簡 諧 運動 .xA oxo Acos0 Ax 當(dāng) 時0t 0 x H arbin Engineering University 孫 秋 華 以 為原 點 旋 轉(zhuǎn) 矢量 的 端 點在 軸 上 的投 影 點 的 運動 為 簡 諧 運動 .xA o xo Att t)cos( tAx 時 H arbin Engineering University 孫

7、 秋 華 )cos( tAx 旋 轉(zhuǎn)矢 量 的端 點 在 軸 上 的 投影 點 的 運動 為 簡 諧運 動 . xA H arbin Engineering University 孫 秋 華 )2 cos( tAv )cos(2 tAa Amv 2n Aa 2 tmv v xy0 A t )cos( tAx naa H arbin Engineering University 孫 秋 華 （ 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 需 的 時 間 ） 用 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 畫 簡 諧 運 動 的 圖tx H arbin Engineering University 孫 秋 華 討 論 相 位 差

8、 ： 表 示 兩 個 相 位 之 差 . 1） 對 同 一 簡 諧 運 動 ， 相 位 差 可 以 給 出 兩 運 動 狀態(tài) 間 變 化 所 需 的 時 間 . )()( 12 tt)cos( 1 tAx )cos( 2 tAx 12 tttAAx2A to a b xAA 0 at 3 TTt 612 3 v 2A bt H arbin Engineering University 孫 秋 華 2） 對 于 兩 個 同 頻 率 的 簡 諧 運 動 ， 相 位 差 表 示 它 們 間 步 調(diào) 上 的 差 異 .（ 解 決 振 動 合 成 問 題 ）)cos( 111 tAx )cos( 222

9、 tAx)()( 12 tt 12 0 x t o 同 步 x to 為 其 它 超 前落 后txo 反 相 H arbin Engineering University 孫 秋 華 例 1 如 圖 所 示 ， 一 輕 彈 簧 的 右 端 連 著 一 物 體 ， 彈 簧 的 勁 度系 數(shù) ， 物 體 的 質(zhì) 量 m=20g.(1)把 物 體 從 平 衡 位 置 向 右 拉 到 x=0.05m處 停 下 后 再 釋 放 ， 求 簡 諧 運 動 方 程 ;(2)求 物 體 從 初 位 置 運 動 到 第 一 次 經(jīng) 過 A/2處 時 的 速 度 ;(3)如 果 物 體 在 x=0.05m處 時 速

10、 度 不 等 于 零 ， 而 是 具 有 向 右 的 初 速 度 ， 求 其 運 動 方 程 . 1mN72.0 k 10 sm30.0 v m/xo 0.05 H arbin Engineering University 孫 秋 華 o x 解 （ 1） 11 s0.6kg02.0 mN72.0 mk m05.0022020 xxA v 0tan 00 x v 0 或 A由 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 可 知 0 )cos( tAx )s0.6cos()m05.0( 1 t H arbin Engineering University 孫 秋 華 解 )cos( tAx )cos( tA 21)co

11、s( Axt 3 5 3 或t 3t tA sinv 1sm26.0 由 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 可 知 o xA2A A（ 負(fù) 號 表 示 速 度 沿 ox軸 負(fù) 方 向 ） （ 2） 求 物 體 從 初 位 置 運 動 到 第 一 次 經(jīng) 過 A/2處 時 的 速 度 ； H arbin Engineering University 孫 秋 華 解 m0707.022020 vxA 1tan 00 x v 4 3 4 或 o xA 4由 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 可 知 )cos( tAx 4)s0.6cos()m0707.0( 1 t4 (3)如 果 物 體 在 x=0.05m處 時 速 度 不

12、等 于 零 ， 而 是 具 有 向 右 的 初 速 度 ， 求 其 運 動 方 程 . 10 sm30.0 v H arbin Engineering University 孫 秋 華 1.1.3 無 阻 尼 自 由 振 動 實 例mgook 以 掛 上 m 后 新 平 衡 位 置 為 坐 標(biāo)原 點 O,向 下 為 正 方 向一 、 豎 直 彈 簧 振 子在 x處 22)( dtxdmmaxookmg 化 簡 得022 xmkdtxd 滿 足 簡 諧 振 動 的 動 力 學(xué) 方 程在 ox系 中 ， 微 分 方 程 為 ： gxmkdtxd 22 H arbin Engineering Uni

13、versity 孫 秋 華 二 、 單 擺則 在 角 位 移 很 小 的 時 候 ， 單擺 的 振 動 是 簡 諧 振 動 。 角 頻率 ,振 動 的 周 期 分 別 為 ： glTlg 2200 022 lgdtd當(dāng) 時 sin sin2 22 mgldtdml gmf l m+- H arbin Engineering University 孫 秋 華 22sin dtdJJmgh J為 m 繞 O點 轉(zhuǎn) 動 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 。三 、 復(fù) 擺 （ 物 理 擺 ）可 見 ， 復(fù) 擺 的 運 動 也 滿 足 諧 振 動方 程 。 且 其 圓 頻 率 與 周 期 為 CO mghOCmghJ

14、T 2Jmgh 0 02 2 Jmghdtd當(dāng) 時 sin H arbin Engineering University 孫 秋 華 簡 諧 振 動 的 判 斷 式平 動 轉(zhuǎn) 動 BMkxF 合 2222 dtdJJMdtxdmmaF 合 00 222222 dtdxdt xd JBmk 22 )cos()cos( 00 ttAx H arbin Engineering University 孫 秋 華 1.1.4 簡 諧 振 動 的 能 量 )(sin2121 2222k tAmmE v )(cos2121 222p tkAkxE線 性 回 復(fù) 力 是 保 守 力 ， 作 簡 諧 運 動 的

15、 系 統(tǒng) 機 械 能 守 恒 以 彈 簧 振 子 為 例 )sin( )cos( tA tAxvkxF 22pk 21 AkAEEE mk/2 （ 振 幅 的 動 力 學(xué) 意 義 ） H arbin Engineering University 孫 秋 華 簡 諧 運 動 能 量 圖 221 kAE 0 tAx cos tA sinv 4T 2T 43T能 量 o T t tkAE 22p cos21 tAmE 222k sin21tx tvv,x to T H arbin Engineering University 孫 秋 華 簡 諧 運 動 勢 能 曲 線 簡 諧 運 動 能 量 守 恒

16、 ， 振 幅 不 變 kE pEx 221 kAE E BC AA pE x O H arbin Engineering University 孫 秋 華 能 量 守 恒 簡 諧 運 動 方 程推 導(dǎo) 常 量 22 2121 kxmE v 0)2121(dd 22 kxmt v 0dddd txkxtm vv 0dd 22 xmktx H arbin Engineering University 孫 秋 華 例 1 一 質(zhì) 點 沿 x 軸 作 簡 諧 振 動 ， 其 圓 頻 率 為 =10rad/s， 試 分 別寫 出 以 下 兩 種 初 始 狀 態(tài) 下 的 振 動 方 程 。(1) t =0

17、時 ， x0=7.5cm, v0=75.0cm/s;(2) t =0時 ， x0=7.5cm, v0=-75.0cm/s。 H arbin Engineering University 孫 秋 華 解 ： 兩 種 情 況 在 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 中 處 于 對 稱 的 位 置 ， 其 振 幅 相 同 ， 均 為 : )m(106.0)101075()105.7( 222222020 vxA其 振 動 方 程 為 )m)(10cos(106.0)( ttx兩 種 情 況 下 的 初 始 位 相 分 別 滿 足 11075 105.710tan 2 200 vx（ 1） H arbin Engin

18、eering University 孫 秋 華 O A x 21且 由 x00, v00, 得 1在 第 四 象限 ， 且 1 = -/4 )m)(410cos(106.0)(1 ttx同 理 ， 對 (2)中 的 初 始 條 件 有且 由 x00, v00, 得 2在 第 一 象 限 ， 且 2=/4)m)(410cos(106.0)( 2 ttx H arbin Engineering University 孫 秋 華 例 2 有 一 沿 x 軸 方 向 運 動 的 彈 簧 振 子 ， 振 子 相 鄰 兩 次 通 過 - A/2處 所 經(jīng) 歷 的 時 間 為 1/150秒 。 令 第 一

19、次 通 過 該 點 作 初 始時 刻 ， 第 二 次 通 過 該 點 時 ， 運 動 方 向 與 x 軸 正 方 向 一 致 ，振 子 通 過 平 衡 位 置 時 的 vmax =10 m/s。 求 ： 該 振 子 的 振 動方 程 。 H arbin Engineering University 孫 秋 華 解 ： 如 圖 所 示 ， 由 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 法 可 知 ： 320 10015032 t 10.0 max A Av )32100cos(10.0 tx振 動 方 程 為 ： xO 0-A/2 H arbin Engineering University 孫 秋 華 例 3 倔 強

20、系 數(shù) 分 別 為 k1、 k2的 兩 根 彈 簧 和 質(zhì) 量 為 m 的 物 體相 連 （ 如 圖 ） ， 求 該 系 統(tǒng) 的 振 動 周 期 。 k1 m k2 x1 x2 H arbin Engineering University 孫 秋 華 解 ： 設(shè) 在 平 衡 狀 態(tài) 下 ， 兩 彈 簧 的 伸 長 量 分 別 為 x1和 x2， 則 k1x1=k2x2 。 以 平 衡 位 置 為 原 點 ， 向 右 為 x軸 正 方 向 ， 得 k1 m k2 x1 x x2 x O 222211 )()( dtxdmmaxxkxxk H arbin Engineering University 孫 秋 華 化 簡 得 ： 02122 xmkkdtxd則 該 系 統(tǒng) 的 固 有 角 頻 率 為 ：mkk 210 振 動 周 期 為 ： 210 22 kk mT H arbin Engineering University 孫 秋 華 若 有 不 當(dāng) 之 處 ， 請 指 正 ， 謝 謝 ！