職高二輪復(fù)習(xí) 《排列、組合與二項(xiàng)式定理》

高考數(shù)學(xué) 排列、組合與二項(xiàng)式定理 第一輪復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理一、高考要求:掌握分類計(jì)數(shù)原理及分步計(jì)數(shù)原理,并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題.二、知識(shí)要點(diǎn):1.分類計(jì)數(shù)原理(又稱加法原理):完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中有種不同的方法,在第2類辦法中有種不同的方法,在第n類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.2.分步計(jì)數(shù)原理(又稱乘法原理):完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.三、典型例題:例1: (1)有紅、黃、白色旗子各n面(n3),取其中一面、二面、三面組成縱列信號(hào),可以有多少不同的信號(hào)？(2)有1元、2元、5元、10元的鈔票各一張,取其中一張或幾張,能組成多少種不同的幣值？(1)解 因?yàn)榭v列信號(hào)有上、下順序關(guān)系,所以是一個(gè)排列問題,信號(hào)分一面、二面、三面三種情況(三類),各類之間是互斥的,所以用加法原理:升一面旗:共有3種信號(hào);升二面旗:要分兩步,連續(xù)完成每一步,信號(hào)方告完成,而每步又是獨(dú)立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重復(fù)使用,故共有33種信號(hào);升三面旗:有N=333種信號(hào),所以共有39種信號(hào).(2)解 計(jì)算幣值與順序無關(guān),所以是一個(gè)組合問題,有取一張、二張、三張、四張四種情況,它們彼此互斥的,用加法原理,因此,不同幣值有N=+=15(種).例4: (1)5本不同的書放在3個(gè)不同的書包中,有多少種不同的方法？(2)3個(gè)旅客在5家旅店住宿,有多少種不同的方法？ (1)解 每本書有3種不同方法,共有35=243種. (2)解 每個(gè)人有5種選擇,共有53=125種.四、歸納小結(jié):兩個(gè)基本原理的共同點(diǎn)是,都是研究“完成一件事,共有多少種不同的方法”,它們的區(qū)別在于一個(gè)與“分類”有關(guān),一個(gè)與“分步”有關(guān).如果完成一件事有n類辦法,這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的,無論哪一種辦法中的哪一種都能單獨(dú)的完成這件事,求完成這件事的方法種數(shù),就用分類計(jì)數(shù)原理;如果完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,各個(gè)步驟都不可缺少,需要完成所有的步驟才能完成這件事,而完成每一個(gè)步驟又各有若干方法,求完成這件事方法的種數(shù),就用分步計(jì)數(shù)原理.五、基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練:(一)選擇題:1. 將5封信投入3個(gè)郵筒,不同的投法共有( )A.種 B.種 C.3種 D.15種2. 將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子,其中每個(gè)盒子都不空的放法共有( )A.種 B.種 C.18種 D.36種3. 已知集合M=1,-1,3,N=-4,5,6,-7,從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A.18 B.10 C.16 D.144. 用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字在任取數(shù)（不重復(fù)?。┳骱?則取出這些數(shù)的不同的和共有( )A.8個(gè) B.9個(gè) C.10個(gè) D.5個(gè)(二)填空題:5. 由數(shù)字2，3，4，5可組成_個(gè)三位數(shù),_個(gè)四位數(shù),_個(gè)五位數(shù).6. 用1，2，3，9九個(gè)數(shù)字,可組成_個(gè)四位數(shù),_個(gè)六位數(shù).7. 從2，3，5，7這四個(gè)數(shù)中,取出兩數(shù)來作假分?jǐn)?shù),這樣的假分?jǐn)?shù)有_ _個(gè).8. 全國移動(dòng)電話號(hào)碼從1999年7月22日零時(shí)開始升到10位,前四位號(hào)碼為1390,剩下的位數(shù)碼從0，1，2，9中任取6個(gè)數(shù)字組成(可以重復(fù)),該方案的移動(dòng)電話用戶最多能容納 戶.9. 商店里有15種上衣,18種褲子,某人要買一件上衣或一條褲子,共有_種不同的選法.要買上衣、褲子各一件,共有_種不同的選法.10. 現(xiàn)有甲組3人,乙組3人,兩組進(jìn)行乒乓球單打?qū)?甲組每人必須和乙組每人賽一場(chǎng)),一共有比賽的場(chǎng)數(shù)是 .(三)解答題:11. 有不同的數(shù)學(xué)書11本,不同的物理書8本,不同的化學(xué)書5本,從中取出不同學(xué)科的書2本,有多少種不同的取法？12. 用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字,(1)組成比1000小的正整數(shù)有多少種不同的方法?(2)組成無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)有多少種不同的方法?13. 五封不同的信投入四個(gè)郵筒,(1)隨便投完五封信,有多少種不同投法?(2)每個(gè)郵筒中至少要有一封信,有多少種不同投法? 排列一、高考要求:理解排列的意義,掌握排列數(shù)的計(jì)算公式,并能用它解決一些簡(jiǎn)單的問題.二、知識(shí)要點(diǎn):1. 一般地,從n個(gè)不同元素中,任取m(mn)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.如果mn,這樣的排列叫做選排列,如果m=n,這樣的排列叫做全排列.2. 一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)(或)表示.3. 排列數(shù)公式:,其中,且mn.全排列的排列數(shù)等于自然數(shù)1到n的連乘積,這個(gè)連乘積叫做n的階乘,用n!表示,即.排列數(shù)公式還可以寫成.規(guī)定0!=1.三、典型例題:例: 7位同學(xué)站成一排,共有多少種不同的排法？解:問題可以看作:7個(gè)元素的全排列5040 7位同學(xué)站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？解:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:76543217！5040 7位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？解:問題可以看作:余下的6個(gè)元素的全排列=720 7位同學(xué)站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:第一步 甲、乙站在兩端有種;第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種,則共有=240種排列方法 7位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一(直接法):第一步 從(除去甲、乙)其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法;第二步 從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列(全排列)有種方法 所以一共有2400種排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排頭有種方法;若乙站在排尾有種方法;若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法.所以甲不能站在排頭,乙不能排在排尾的排法共有=2400種.小結(jié)一:對(duì)于“在”與“不在”的問題,常使用“直接法”或“排除法”,對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.(6)7位同學(xué)站成一排,甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解:先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素(同學(xué))一起進(jìn)行全排列有種方法;再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法.所以這樣的排法一共有1440種.(7) 7位同學(xué)站成一排,甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解:方法同上,一共有720種.(8) 7位同學(xué)站成一排,甲、乙兩同學(xué)必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾,有種方法;將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法;最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法.所以這樣的排法一共有960種方法.解法二:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,若丙站在排頭或排尾有2種方法,所以丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法.解法三:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因丙不能站在排頭和排尾,所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有種方法,再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有種方法,最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”,所以這樣的排法一共有960種方法.小結(jié)二:對(duì)于相鄰問題,常用“捆綁法”(先捆后松).(9) 7位同學(xué)站成一排,甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一:(排除法)解法二:(插空法)先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法,此時(shí)他們留下六個(gè)位置(就稱為“空”吧),再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置(空)有種方法,所以一共有種方法.(10) 7位同學(xué)站成一排,甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解:先將其余四個(gè)同學(xué)排好有種方法,此時(shí)他們留下五個(gè)“空”,再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有種方法,所以一共有1440種.小結(jié)三:對(duì)于不相鄰問題,常用“插空法”(特殊元素后考慮).四、歸納小結(jié):1.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一樣,只是元素排列的順序不完全相同.2.對(duì)有約束條件的排列問題,應(yīng)注意如下類型: 某些元素不能在或必須排列在某一位置;某些元素要求連排(即必須相鄰);某些元素要求分離(即不能相鄰);3.基本的解題方法:有特殊元素或特殊位置的排列問題,通常是先排特殊元素或特殊位置,稱為優(yōu)先處理特殊元素(位置)法(優(yōu)限法);某些元素要求必須相鄰時(shí),可以先將這些元素看作一個(gè)元素,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列,這種方法稱為“捆綁法”;某些元素不相鄰排列時(shí),可以先排其他元素,再將這些不相鄰元素插入空擋,這種方法稱為“插空法”;在處理排列問題時(shí),一般可采用直接和間接兩種思維形式,從而尋求有效的解題途徑,這是學(xué)好排列問題的根基.五、基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練:(一)選擇題:1. (96高職-4)等于( )A. B. C.64 D.2. 某段鐵路共有6個(gè)站,共需準(zhǔn)備普通客票的種數(shù)是( )A.30 B.24 C.15 D.123. 有4本不同的書分給4位同學(xué),每人一本,不同的分法有( )A.64種 B.24種 C.16種 D.8種4. 5人中選出4人完成4項(xiàng)不同的工作,不同的選法種數(shù)為( )A.5 B. C. D.5. 用0,1,2,9這十個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)不可能是( )A. B. C. D.6. 從若干個(gè)元素中,每次取出2個(gè)元素的排列種數(shù)為210,則元素的個(gè)數(shù)是( )A.20 B.15 C.30 D.147. 有n()件不同產(chǎn)品排成一排,若其中A、B兩件產(chǎn)品排在一起的不同排法有48種,則n=( )A.4 B.5 C.6 D.7(二)填空題:8. 若=30,則n= .9. 已知從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)等于從n-4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)的7倍,則n= .10. 從4種蔬菜品種中選出3種,分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn),共有 種種植方法.11. 從6人中選出4人參加4100米接力賽,甲必須跑第一棒,乙必須跑第四棒,不同的安排方案種數(shù)是 . 12. 某班有3名男同學(xué)和4名女同學(xué)外出隨機(jī)站成一排照相,但4名女同學(xué)要站在一起,其排法有種 .13. 國內(nèi)某汽車生產(chǎn)廠有六種不同型號(hào)的環(huán)保型電動(dòng)汽車參加國際博覽會(huì)展覽,排成一排,其中甲、乙兩型號(hào)必須相鄰的排法總數(shù)是(用數(shù)字回答) .(三)解答題:14. 從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單,如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上,則共有多少種不同的排法？ 解法一:(從特殊位置考慮) 解法二:(從特殊元素考慮)若選:;若不選:,則共有 136080.解法三:(間接法)13608015. 八個(gè)人排成前后兩排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,則共有多少種不同的排法？略解:甲、乙排在前排;丙排在后排;其余進(jìn)行全排列.所以一共有5760種方法.不同的五種商品在貨架上排成一排,其中a, b兩種商品必須排在一起,而c, d兩種商品不排在一起, 則不同的排法共有多少種？略解:(“捆綁法”和“插空法”的綜合應(yīng)用)a, b捆在一起與e進(jìn)行排列有;此時(shí)留下三個(gè)空,將c, d兩種商品排進(jìn)去一共有;最后將a, b“松綁”有.所以一共有24種方法.6張同排連號(hào)的電影票,分給3名教師與3名學(xué)生,若要求師生相間而坐,則不同的坐法有多少種？略解:(分類)若第一個(gè)為老師則有;若第一個(gè)為學(xué)生則有,所以一共有272種方法.16. 由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？略解:由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字,并且比13 000大的正整數(shù)？解法一:分成兩類,一類是首位為1時(shí),十位必須大于等于3有種方法;另一類是首位不為1,有種方法.所以一共有個(gè)數(shù)比13 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整數(shù)有個(gè),所以比13 000大的正整數(shù)有114個(gè).17. 求證:.18. 學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序,除第1個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目已確定外,4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置,3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3,6,9的位置,2個(gè)曲藝節(jié)目要求跑在第4,8的位置,共有多少種不同的排法? 組合一、高考要求:理解組合的意義,掌握組合數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì),并能用它解決一些簡(jiǎn)單的問題.二、知識(shí)要點(diǎn):1. 一般地,從n個(gè)不同元素中,任取m(mn)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2. 一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.3. 組合數(shù)公式:,其中,且mn.組合數(shù)公式還可以寫成:.4. 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):;.三、典型例題:例1:100件產(chǎn)品中有合格品90件,次品10件,現(xiàn)從中抽取4件檢查. 都不是次品的取法有多少種？ 至少有1件次品的取法有多少種？ 不都是次品的取法有多少種？ 解: ; ; .例2:從編號(hào)為1,2,3,10,11的共11個(gè)球中,取出5個(gè)球,使得這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù),則一共有多少種不同的取法？ 解:分為三類:1奇4偶有 ;3奇2偶有;5奇1偶有 所以一共有+.例3:現(xiàn)有8名青年,其中有5名能勝任英語翻譯工作;有4名青年能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任),現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù),其中3名從事英語翻譯工作,2名從事德語翻譯工作,則有多少種不同的選法？解:我們可以分為三類: 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作,有; 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作,有; 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作,有. 所以一共有+42種方法.例4:甲、乙、丙三人值周,從周一至周六,每人值兩天,但甲不值周一,乙不值周六,問可以排出多少種不同的值周表 ？解法一:(排除法)解法二:分為兩類:一類為甲不值周一,也不值周六,有;另一類為甲不值周一,但值周六,有.所以一共有+42種方法.例5:6本不同的書全部送給5人,每人至少1本,有多少種不同的送書方法？解:第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法;第二步將5個(gè)“不同元素(書)”分給5個(gè)人有種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,一共有1800種方法. 變題1:6本不同的書全部送給5人,有多少種不同的送書方法？變題2: 5本不同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 變題3: 5本相同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 答案:1.; 2.; 3.例6:身高互不相同的7名運(yùn)動(dòng)員站成一排,甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？解:(插空法)現(xiàn)將其余4個(gè)同學(xué)進(jìn)行全排列一共有種方法,再將甲、乙、丙三名同學(xué)插入5個(gè)空位置中(但無需要進(jìn)行排列)有種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,一共有240種方法.例7: 四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中,一共有多少種不同的放法？ 四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解: 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:一共有種方法.(捆綁法)第一步從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法,第二步從四個(gè)不同的盒取其中的三個(gè)將球放入有種方法.所以一共有144種方法.四、歸納小結(jié):如果兩個(gè)組合中的元素完全相同,那么不管元素的順序如何,它們是相同的組合;只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí),才是不同的組合.五、基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練:(一)選擇題:1. 在下列問題中:(1)從1,2,3三個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè),可以組成多少個(gè)和?(2)從1,2,3三個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè),可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)?(3)將3個(gè)乒乓球投入5個(gè)容器,每個(gè)容器只能容納一個(gè)乒乓球,問有多少種投法?(4)將3張編號(hào)的電影票給三個(gè)同學(xué),每人一張,有多少種分法?屬于組合問題的是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)2. 從10名同學(xué)中選出3名代表,所有可能的不同選法種數(shù)是( )A.120 B.240 C.720 D.303. (2000-13)凸10邊形共有對(duì)角線( ) A.90條 B.70條 C.45條 D.35條4. 某班有50名學(xué)生,其中有一名正班長,一名副班長,現(xiàn)選派5人參加一個(gè)游覽活動(dòng),其中至少有一名班長(正、副均可)參加,共有幾種不同的選法,其中錯(cuò)誤的一個(gè)是( )A.n=+ B. n=-C. n= D.n=-5. 從7名男隊(duì)員和5名女隊(duì)員中選出4人進(jìn)行乒乓球男女混合雙打,不同的組隊(duì)數(shù)有( )A. B. 4 C. 2 D. A(二)填空題:6. = .7. 平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),其中任意3點(diǎn)不在同一直線上,以每3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形,一共可畫三角形的個(gè)數(shù)是 .8. 從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)中取出2個(gè)數(shù),使它們的和是偶數(shù),共有 種選法.9. 有13個(gè)隊(duì)參加籃球賽,比賽時(shí)先分成二組,第一組7個(gè)隊(duì),第二組6個(gè)隊(duì),各組都進(jìn)行單循環(huán)賽(即每隊(duì)都要與本組其它各隊(duì)比賽一場(chǎng)),然后由各組的前兩名共4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽決定冠、亞軍,共需要比賽的場(chǎng)數(shù)是 .10. 4個(gè)男同學(xué)進(jìn)行乒乓球雙打比賽,有 種配組方法.(三)解答題:11. 某賑災(zāi)區(qū)醫(yī)療隊(duì)由4名外科醫(yī)生和8名內(nèi)科醫(yī)生組成,現(xiàn)需從中選派5名醫(yī)生去執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù).(1)若某內(nèi)科醫(yī)生必須參加,而某外科醫(yī)生因故不能參加,有多少種選派方法？(2)若選派的5名醫(yī)生中至少有1名內(nèi)科和外科醫(yī)生參加,有多少中選派方法？解: (1)依題意,只須從剩余的10名醫(yī)生中選出4名醫(yī)生與內(nèi)定的一名內(nèi)科醫(yī)生組成醫(yī)療隊(duì).故共有=210種選派方法. (2)方法一:5名醫(yī)生全由內(nèi)科醫(yī)生組成,有種方法,故符合題意的方法為=936種; 方法二:我們將內(nèi)科、外科醫(yī)生分別當(dāng)作一組有序?qū)崝?shù)對(duì)的前后兩實(shí)數(shù),則按題意組隊(duì)方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四種,故共有+=736種.12. 九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,8,從中取出三張排成一排組成一個(gè)三位數(shù),如果6可以當(dāng)作9使用,問可以組成多少個(gè)三位數(shù)？解:可以分為兩類情況: 若取出6,則有種方法;若不取6,則有種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,一共有+602種方法.13. 在產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查,現(xiàn)從10件產(chǎn)品中任意抽3件.(1) 一共有多少種不同的抽法?(2) 如果10件產(chǎn)品中有3件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3) 如果10件產(chǎn)品中有3件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種? 排列、組合的應(yīng)用一、高考要求:熟練應(yīng)用排列、組合知識(shí)解排列組合應(yīng)用題.二、知識(shí)要點(diǎn):排列問題與組合問題的根本區(qū)別在于,取出元素后是否按一定順序排列.元素需要按一定順序排列,屬排列問題;不需要考慮元素順序,屬組合問題.三、典型例題:例1:完成下列選擇題與填空題:(1)有三個(gè)不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有 種.A.81B.64C.24D.4(2)四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( )A.81B.64C.24D.4(3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽,每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽,則有不同的參賽方法有 ;每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則有不同的參賽方法有 ;每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽,每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則不同的參賽方法有 .解析 (1)完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行,是選用基本原理的關(guān)鍵.將“投四封信”這件事分四步完成,每投一封信作為一步,每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法,因此:N=3333=34=81,故答案選A.本題也可以這樣分類完成,四封信投入一個(gè)信箱中,有C31種投法;四封信投入兩個(gè)信箱中,有C32(C41A22+C42C22)種投法;四封信投入三個(gè)信箱,有兩封信在同一信箱中,有C42A33種投法、,故共有C31+C32(C41A22+C42C22)+C42A33=81(種).故選A.(2)因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍,故學(xué)生可重復(fù)排列,將4名學(xué)生看作4個(gè)“店”,3項(xiàng)冠軍看作“客”,每個(gè)“客”都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家,即每個(gè)“客”有4種住宿法.由分步計(jì)數(shù)原理得:N=444=64.故答案選B.(3)學(xué)生可以選擇項(xiàng)目,而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無條件限制,所以類似(1)可得N=34=81(種);競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生,而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì),每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生,共有N=43=64(種);等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽,每人參加一項(xiàng),故共有C43A33=24(種).注 本題有許多形式,一般地都可以看作下列命題:設(shè)集合A=a1,a2,an,集合B=b1,b2,bm,則f:AB的不同映射是mn,f:BA的不同映射是nm.若nm,則f:AB的單值映射是:Amn.例2:同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則四張賀年卡不同的分配方式有( )A.6種B.9種C.11種D.23種解法一 由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),這個(gè)數(shù)目不大,化為填數(shù)問題之后,可用窮舉法進(jìn)行具體的填寫:再按照題目要求檢驗(yàn),最終易知有9種分配方法.解法二 記四人為甲、乙、丙、丁,則甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3種分配方式;以乙收到為例,其他人收到卡片的情況可分為兩類:第一類:甲收到乙送出的卡片,這時(shí)丙、丁只有互送卡片1種分配方式;第二類:甲收到的不是乙送出的卡片,這時(shí),甲收到卡片的方式有2種(分別是丙和丁送出的).對(duì)每一種情況,丙、丁收到卡片的方式只有一種.因此,根據(jù)乘法原理,不同的分配方式數(shù)為 (1+2)=9.解法三 給四個(gè)人編號(hào):1,2,3,4,每個(gè)號(hào)碼代表1個(gè)人,人與號(hào)碼之間的關(guān)系為一對(duì)一的關(guān)系;每個(gè)人送出的賀年卡賦給與其編號(hào)相同的數(shù)字作為代表,這樣,賀年卡的分配問題可抽象為如下“數(shù)學(xué)問題”:將數(shù)字1,2,3,4,填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)方格里,每格填寫一個(gè)數(shù)字,且每個(gè)方格的編號(hào)與所填數(shù)字都不同的填法共有多少種(也可以說成:用數(shù)字1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的4位數(shù),而且每位數(shù)字都不等于位數(shù)的4位數(shù)共有多少個(gè))？這時(shí),可用乘法原理求解答案:首先,在第1號(hào)方格里填寫數(shù)字,可填上2、3、4中的任一個(gè)數(shù),有3種填法;其次,當(dāng)?shù)?號(hào)方格填寫的數(shù)字為i(2i4)時(shí),則填寫第i種方格的數(shù)字,有3種填法; 最后,將剩下的兩個(gè)數(shù)填寫到空著的兩個(gè)空格里,只有1種填法(因?yàn)槭Ｏ碌膬蓚€(gè)數(shù)中,至少有1個(gè)與空著的格子的序號(hào)相同).因此,根據(jù)乘法原理,得不同填法:331=9注 本題是“亂坐問題”,也稱“錯(cuò)排問題”,當(dāng)元素較大時(shí),必須用容斥原理求解,但元素較小時(shí),應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理便可以求解,或可以窮舉.例3:宿舍樓走廊上有有編號(hào)的照明燈一排8盞,為節(jié)約用電又不影響照明,要求同時(shí)熄掉其中3盞,但不能同時(shí)熄掉相鄰的燈,問熄燈的方法有多少種？解法一 我們將8盞燈依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8.在所熄的三盞燈中,若第一盞熄1號(hào)燈,第二盞熄3號(hào)燈,則第3盞可以熄5,6,7,8號(hào)燈中的任意一盞,共有4種熄法.若第一盞熄1號(hào)燈,第2盞熄4號(hào)燈,則第3盞可以熄6,7,8號(hào)燈中的任意一盞.依次類推,得若1號(hào)燈熄了,則共有4+3+2+1=10種熄法.若1號(hào)燈不熄,第一盞熄的是2號(hào)燈,第二盞熄的是4號(hào)燈,則第三盞可以熄6,7,8號(hào)燈中的任意一盞,共有3種熄法.依次類推得,若第一盞燈熄的是2號(hào)燈,則共有3+2+1=6種熄法.同理,若第一盞熄的是3號(hào)燈,則共有2+1=3種熄法.同理,若第一盞熄的是4號(hào)燈,則有1種熄法.綜上所述共有:10+6+3+1=20種熄法.解法二 我們可以假定8盞燈還未安裝,其中5盞燈是亮著的,3盞燈不亮.這樣原問題就等價(jià)于:將5盞亮著的燈與3盞不亮的燈排成一排,使3盞不亮的燈不相鄰(燈是相同的).5盞亮著的燈之間產(chǎn)生6個(gè)間隔(包括兩邊),從中插入3個(gè)作為熄滅的燈就是我們經(jīng)常解決的“相鄰不相鄰”問題,采用“插入法”,得其答案為C63=20種.注 解法一是窮舉法,將所有可能的情況依次逐一排出.這種方法思路清晰,但有時(shí)較繁.方法二從另外一個(gè)角度審題,認(rèn)清其數(shù)學(xué)本質(zhì),抽象成數(shù)學(xué)模型,解題時(shí)有一種豁然開朗的感覺.例4:平面上給定10個(gè)點(diǎn),任意三點(diǎn)不共線,由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中,無三條直線交于同一點(diǎn)(除原10點(diǎn)外),無兩條直線互相平行.求:(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)(除原10點(diǎn)外).(2)這些直線交成多少個(gè)三角形.解法一 (1)由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條.這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn),由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn),共有C452個(gè)交點(diǎn).而在原來10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此.所以,在原來點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù).所以這些直線交成新的點(diǎn)是:C452-10C92=630.(2)這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求:因?yàn)槊總€(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn),這三個(gè)點(diǎn)來自上述630個(gè)點(diǎn)或原來的10個(gè)點(diǎn).所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合,即C6403=43 486080(個(gè)).解法二 (1)如圖對(duì)給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn),四點(diǎn)連成6條直線,這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn).故原題對(duì)應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍,即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是:3C104=630.(2)同解法一.四、歸納小結(jié):1.解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律(1)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種:單獨(dú)使用;聯(lián)合使用.(2)將具體問題抽象為排列問題或組合問題,是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步.(3)對(duì)于帶限制條件的排列問題,通常從以下三種途徑考慮:元素分析法:先考慮特殊元素要求,再考慮其他元素.位置分析法:先考慮特殊位置的要求,再考慮其他位置.整體排除法:先算出不帶限制條件的排列數(shù),再減去不滿足限制條件的排列數(shù).(4)對(duì)解組合問題,應(yīng)注意以下三點(diǎn):對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算,是解組合題的常用方法.是用“直接法”還是“間接法”解組合題,其原則是“正難則反”.設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在.2.解排列、組合題的常用基本策略與方法:(1)去雜法對(duì)有限制條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉.這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法.(2)分類處理某些問題總體不好解決時(shí),常常分成若干類,再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論.這是解排列組合問題的基本策略之一.注意的是:分類不重復(fù)不遺漏,即:每?jī)深惖慕患癁榭占?所有各類的并集為全集.(3)分步處理與分類處理類似,某些問題總體不好解決時(shí),常常分成若干步,再由分步計(jì)數(shù)原理解決.在處理排列組合問題時(shí),常常既要分類,又要分步,其原則是先分類,后分步.(4)插入法(插空法)某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插入法.即先安排好沒有限制條件的元素,然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.(5)“捆綁”法把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”.將特殊元素在這些位置上全排列,即是“捆綁法”.(6)窮舉法:將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一排列出來.(7)探索法:對(duì)于復(fù)雜的情況,不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題,需仔細(xì)分析,從特殊到一般,或一般到特殊,探索出其中規(guī)律,再給予解決.(8)消序處理對(duì)均勻分組問題的解決,一定要區(qū)分開是“有序分組”還是“無序分組”,若是“無序分組”,一定要清除均勻分組無形中產(chǎn)生的有序因素.(9)“住店”法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素:一類元素可以重復(fù),另一類不能重復(fù).把不能重復(fù)的元素看作“客”,能重復(fù)的元素看作“店”,再利用分步計(jì)數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店”法.(10)等價(jià)命題轉(zhuǎn)換法將陌生、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問題.這是解數(shù)學(xué)題的主要思想方法之一,也是解較難的排列、組合題的重要策略.在排列組合中,常對(duì)同一問題可有不同的分類辦法去解,可得到有關(guān)排列數(shù)與組合數(shù)的不同關(guān)系式.五、基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練:(一)選擇題:1. 從4個(gè)班中確定3個(gè)班,分別到三個(gè)工廠進(jìn)行專業(yè)實(shí)習(xí),則不同的安排方案種數(shù)是( ) A. B. C. D.2. 在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中,可用數(shù)字0、1組成不同數(shù)長表示不同的信息,其中八位數(shù)長表示的信息個(gè)數(shù)是( ) A. B. C.82 D.283. 某校推薦4名優(yōu)秀畢業(yè)生分別到三所高校去學(xué)習(xí),每個(gè)高校至少一名,不同的安排方法種數(shù)是( ) A.12 B.24 C.36 D.72(二)填空題:4. 在5名男生、3名女生中選3名男生和2名女生擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表,不同的選法有_種(用數(shù)字作答).5. 有5種不同的不同的試驗(yàn)園地.現(xiàn)要選3種小麥種子種在3塊園地里進(jìn)行試驗(yàn),共有_種安排試驗(yàn)方案.(三)解答題:6. 從5名男生、3名女生中選5名擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表,求符號(hào)下列條件的不同選法.(1) 3名男生和2名女生擔(dān)任課代表;(2) 女生甲擔(dān)任語文課代表;(3) 男生乙任課代表,但不任數(shù)學(xué)課代表,女生甲擔(dān)任語文課代表.7. 把5個(gè)人排成一排,求符合下列要求的不同的排法有多少種?(1) 甲、乙兩人必須相鄰;(2) 甲、乙兩人不相鄰;(3) 甲不在排頭,乙不在排尾.8. 用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)(1) 可組成多少個(gè)不同的4位數(shù)(允許數(shù)字重復(fù));(2) 可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的4位數(shù);(3) 可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù);(4) 可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的4位偶數(shù).9. 某學(xué)校新年晚會(huì),同學(xué)們準(zhǔn)備了12個(gè)歌舞節(jié)目和8個(gè)小品、相聲節(jié)目,要從中選出9個(gè)歌舞節(jié)目和5個(gè)小品、相聲節(jié)目,排一個(gè)節(jié)目單,試問:節(jié)目單共有多少種不同的排法?二項(xiàng)式定理一、高考要求:掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問題.二、知識(shí)要點(diǎn):1.二項(xiàng)式定理:一般地,有下面的公式:這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式,其中(m=0,1,2,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù),式中的叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng),用表示,即=.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):(1)除每行兩端的1以外,每個(gè)數(shù)字都等于它肩上兩個(gè)數(shù)之和,即;(2)在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即;(3)如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n,那么二項(xiàng)展開式有(2n+1)個(gè)奇數(shù)項(xiàng),且中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)2n-1,那么二項(xiàng)展開式有2n個(gè)偶數(shù)項(xiàng),且中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大.三、典型例題:例1: (1)如果(x+)2n展開式中,第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等.求n,并求展開式中的常數(shù)項(xiàng);(2)求(-)8展開式中的所有的有理項(xiàng).解 (1)由C2n3=C2n5,可得3+5=2n, n=4.設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則 Tk+1=C8kx8-kx-k=C8kx8-2k8-2k=0,即k=4,常數(shù)項(xiàng)為T5=C84=70.(2)設(shè)第k+1項(xiàng)有理項(xiàng),則因?yàn)?k8,要使Z,只有使k分別取0,4,8.所以所求的有理項(xiàng)應(yīng)為:T1=x4,T5=x,T9=x-2.注 (1)二項(xiàng)式展開中,要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別;(2)在二項(xiàng)展開式中求得k后,對(duì)應(yīng)的項(xiàng)應(yīng)該是k+1項(xiàng).例2:已知(1-ax)n展開式的第p,p+1,p+2三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,第n+1-p與第n+2-p項(xiàng)的系數(shù)之和為0,而(1-ax)n+1展開式的第p+1與p+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為12.(1)求(1-ax)n+1展開式的中間項(xiàng);(2)求(1-ax)n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解 由題設(shè)得:由得,2Cnp=Cnp+Cnp,兩邊約去Cnp,可得:2=+,由得,2Cn+1p=Cn+1p,約去Cn+1p可得,n=3p+1解方程組,得:n=7,p=2.將p=2,n=7代入得:C57(-a)5+C76(-a)6=0,解之得:a=0或3.若a=0 ,則(1-0x)8的中間項(xiàng)T5=0,(1-0x)7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T1=1.若a=3,則(1-3x)8的中間項(xiàng)T5=C84(-3x)4=5670x4,(1-3x)7的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正,令 1,解之得:k6.故(1-3x)7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T7=C76(-3)6x6=5103x6.注: 一般地,求(a+bx)n展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)的方法是:設(shè)第k+1項(xiàng)為系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng),則由求出k的取值范圍,從而確定第幾項(xiàng)最大.四、歸納小結(jié):1.重要結(jié)論:; ;(n為偶數(shù)); (n為奇數(shù));=.2.二項(xiàng)式的應(yīng)用(1)求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和.(2)證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式.(3)證明整除性.求數(shù)的末位;數(shù)的整除性及求系數(shù);簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問題.(4)近似計(jì)算.當(dāng)|x|充分小時(shí),我們常用下列公式估計(jì)近似值:(1+x)n1+nx(1+x)n1+nx+x2(5)證明不等式.五、基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練:(一)選擇題:1. 已知等差數(shù)列中,在的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ) A.第10項(xiàng) B.第11項(xiàng) C.第10項(xiàng)和第11項(xiàng) D.第10項(xiàng)和第12項(xiàng)2. 二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是( ) A.-240 B.240 C.-160 D.603. 的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為( ) A.17 B.15 C.13 D.114. 已知,那么等于( )A.-27 B.-1 C.0 D.85. 的展開式中,第五項(xiàng)是( ) A. B. C. D.6. 的展開式中,不含a的項(xiàng)是第( )項(xiàng) A.7 B.8 C.9 D.67. 的展開式中的整數(shù)項(xiàng)是( ) A.第12項(xiàng) B. 第13項(xiàng) C. 第14項(xiàng) D. 第15項(xiàng)8. 展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng),則n的值是( ) A.13 B.12 C.11 D.109. (x-2)9的展開式中,第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是( ) A.4032 B.-4032 C.126 D.-12610. 若的展開式中的第三項(xiàng)系數(shù)等于6,則n等于( ) A.4 B.4或-3 C.12 D.311. 多項(xiàng)式(1-2x)5(2+x)含x3項(xiàng)的系數(shù)是( ) A.120 B.-120 C.100 D.-10012. 在的展開式中,x6的系數(shù)是( ) A.-27 B.27 C.-9 D.9 13. 在(x2+3x+2)5的展開式中,x的系數(shù)為( ) A.160 B.240 C.360 D.80014. (1+x)3+(1+x)4+(1+x)50展開式中x3的系數(shù)是( ) A. B. C. D. 15. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展開式中,含x8的系數(shù)是( ) A.10 B.45 C.54 D.5516. 5n+13n(n)除以3的余數(shù)是( )A.0 B.0或1 C.0或2 D.217. (a+b)n展開式中第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等,則n為( ) A.8 B.9 C.10 D.1118. 二項(xiàng)式(1-x)4n+1的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ) A.第2n+1項(xiàng) B. 第2n+2項(xiàng) C. 第2n項(xiàng) D第2n+1項(xiàng)或2n+2項(xiàng) (二)填空題:19. 從1997件不同的物品中,任取1件、2件、3件、998件,一共有 種取法.20. 在展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,則n的值為 .21. 已知一數(shù)列為(n1),則此數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ,并計(jì)算= .22. 在的展開式中,的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng),若實(shí)數(shù)a1,則a= .23. 從n件不同的物品中,任取1件,2件,3件,n-1件,n件,其取法一共有 種.(三)解答題:24. 計(jì)算:(1)(0.997)3的近似值(精確到0.001); (2)(1.002)6的近視值(精確到0.001).25. 若(1-2x)5展開式中的第2項(xiàng)小于第1項(xiàng),且不小于第3項(xiàng),求實(shí)數(shù)x的取值范圍.26. 用二項(xiàng)式定理證明6363+17能被16整除.- 18 -