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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題三 三角函數(shù) 解三角形與平面向量 第3講 平面向量試題
1．(xx課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
2．(xx四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點(diǎn)M，N滿足＝3，＝2，則等于( )
A．20 B. 15 C．9 D．6
3．(xx江蘇)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．
4．(xx湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________．
1.考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算，多以熟知的平面圖形為背景進(jìn)行考查，多為選擇題、填空題、難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，以選擇題、填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn).
熱點(diǎn)一 平面向量的線性運(yùn)算
(1)在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化；
(2)在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)所在的向量；在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量．
例1 (1)(xx陜西)設(shè)0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝______.
(2)如圖，在△ABC中，AF＝AB，D為BC的中點(diǎn)，AD與CF交于點(diǎn)E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，則x＋y＝________.
思維升華 (1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底；同時(shí)注意共線向量定理的靈活運(yùn)用．(2)運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系．
跟蹤演練1 (1)(xx黃岡中學(xué)期中)已知向量i與j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是( )
A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1
C．mn＝1 D．mn＝－1
(2)(xx北京)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________.
熱點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積
(1)數(shù)量積的定義：ab＝|a||b|cos θ.
(2)三個(gè)結(jié)論
①若a＝(x，y)，則|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
||＝.
③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，
則cos θ＝＝.
例2 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是________．
(2)在△AOB中，G為△AOB的重心，且∠AOB＝60，若＝6，則||的最小值是________．
思維升華 (1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算．
跟蹤演練2 (1)(xx山東)過點(diǎn)P(1，)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則＝________________________________________________________________________.
(2)(xx課標(biāo)全國Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若＝(＋)，則與的夾角為________．
熱點(diǎn)三 平面向量與三角函數(shù)
平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運(yùn)算作為題目條件．
例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α
c，已知＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
1．如圖，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量.則等于( )
A.(a＋b) B.(a＋b)
C.(a＋b) D.(a＋b)
2．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b，則tan(2α＋)＝________.
4．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則最小值是_______________________________________________________．
二輪專題強(qiáng)化練
專題三
第3講 平面向量
A組 專題通關(guān)
1．(xx佛山月考)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則等于( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(1,1) D．(－1，－1)
2．(xx安徽)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是( )
A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥b
C．a(chǎn)b＝1 D．(4a＋b)⊥
3．在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且＝，P是BN邊上的一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A. B.
C．1 D．3
4．(xx福建)已知⊥，||＝，||＝t，若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝＋，則的最大值等于( )
A．13 B．15 C．19 D．21
5．(xx湖北)已知向量⊥，||＝3，則＝________.
6．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比值為________．
7．(xx天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則的值為________．
8．設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量積a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，點(diǎn)P(x，y)在y＝sin x的圖象上運(yùn)動(dòng)，Q是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)，且滿足＝m?＋n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)y＝f(x)的值域是________．
9．(xx惠州二調(diào))設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]．
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值．
10．已知向量a＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函數(shù)f(x)＝ab的圖象與直線y＝－2＋的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π.
(1)求ω的值；
(2)求函數(shù)f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
B組 能力提高
11．已知非零單位向量a與非零向量b滿足|a＋b|＝|a－b|，則向量b－a在向量a上的投影為( )
A．1 B.
C．－1 D．－
12．已知a，b是單位向量，ab＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
13．(xx江蘇)設(shè)向量ak＝(k＝0,1,2，…，12)，則(akak＋1)的值為________．
14．(xx陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
學(xué)生用書答案精析
第3講 平面向量
高考真題體驗(yàn)
1．A [∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋.]
2．C [＝＋，
＝－＝－＋，
∴＝(4＋3)(4－3)
＝(162－92)＝(1662－942)＝9，選C.]
3．－3
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.
4.＋1
解析 設(shè)D(x，y)，由＝(x－3，y)及
||＝1知(x－3)2＋y2＝1，
即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓．
又O＋＋
＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)
＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝
.
問題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，－)間距離的最大值．
∵圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，－)之間的距離為＝，
故的最大值為＋1.
熱點(diǎn)分類突破
例1 (1) (2)－
解析 (1)因?yàn)閍∥b，
所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ.
因?yàn)?<θ<，所以cos θ>0，
得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.
(2)如圖，設(shè)FB的中點(diǎn)為M，連接MD.
因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，M為FB的中點(diǎn)，所以MD∥CF.
因?yàn)锳F＝AB，所以F為AM的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．
方法一 因?yàn)椋絘，＝b，D為BC的中點(diǎn)，
所以＝(a＋b)．
所以＝＝(a＋b)．
所以＝＋＝－＋
＝－b＋(a＋b)
＝a－b.
所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.
方法二 易得EF＝MD，MD＝CF，
所以EF＝CF，所以CE＝CF.
因?yàn)椋剑剑剑璪＋a，
所以＝(－b＋a)＝a－b.
所以x＝，y＝－，則x＋y＝－.
跟蹤演練1 (1)C (2)?。?
解析 (1)因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以
＝λ?i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i與j不共線，所以所以mn＝1.
(2)如圖，＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝－，
∴x＝，y＝－.
例2 (1)22 (2)2
解析 (1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因?yàn)椋?，所以(＋
)(－)＝2，即2－
－2＝2.又因?yàn)?＝25，2＝64，所以＝22.
(2)如圖，在△AOB中，＝＝(＋)
＝(＋)，
又＝||||cos 60＝6，
∴||||＝12，
∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2)＝(||2＋||2＋12)≥(2||||＋12)＝36＝4(當(dāng)且僅當(dāng)||＝||時(shí)取等號(hào))．
∴||≥2，故||的最小值是2.
跟蹤演練2 (1) (2)90
解析 (1)由題意，圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，
∵P(1，)，∴PA⊥x軸，PA＝PB＝.
∴△POA為直角三角形，其中OA＝1，AP＝，則OP＝2，
∴∠OPA＝30，∴∠APB＝60.
∴＝||||cos∠APB＝cos 60＝.
(2)∵＝(＋)，
∴點(diǎn)O是△ABC中邊BC的中點(diǎn)，
∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈，〉＝90.
例3 解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，
c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝bc
＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α
＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x，
則2sin xcos x＝t2－1，且－1c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝ ＝，
由正弦定理，
得sin C＝sin B＝＝.
因?yàn)閍＝b>c，
所以C為銳角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝＋＝.
高考押題精練
1．C [因?yàn)镈E∥BC，所以DN∥BM，則△AND∽△AMB，所以＝.
因?yàn)椋?，所以?
因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，
所以＝(＋)＝(a＋b)，
所以＝＝(a＋b)．
故選C.]
2．B [∵＝2，圓O的半徑為1，
∴||＝，
∴＝(＋)(＋)＝2＋(＋)＋＝()2＋0－1＝－.]
3．－
解析 因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b，
所以cos α＋2sin α＝0，
則tan α＝－.
所以tan 2α＝＝－.
所以tan(2α＋)＝＝＝＝－.
4．－
解析 因?yàn)椋剑?，所以?＋)＝＋()2.又因?yàn)椤螦OB＝60，OA＝OB，
∴∠OBA＝60.OB＝1.所以＝||cos 120＝－||.所以＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故當(dāng)且僅當(dāng)||＝時(shí)，最小值是－.
二輪專題強(qiáng)化練答案精析
第3講 平面向量
1．C [＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]
2．D [在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，
得|b|＝2.
又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1，所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2＝4(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D.]
3．B [如圖，因?yàn)椋剑裕剑?
＝m＋＝m＋，因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，
所以m＋＝1，所以m＝.]
4.A [建立如圖所示坐標(biāo)系，則
B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，
＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，＝(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，
故選A.]
5．9
解析 因?yàn)椤停裕?.所以＝(＋)＝2＋＝||2＋0＝32＝9.
6.
解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，
由5＝＋3，得3－3
＝2－2，
即3＝2.
如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，
且＝，
也就是△ABM與△ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為3∶5，
則△ABM與△ABC的面積比值為.
7.
解析 在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，
∠ABC＝60，∴CD＝1，＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴＝＝＋＋＋＝21cos 60＋2＋1cos 60＋cos 120＝.
8．[－，]
解析 令Q(c，d)，由新的運(yùn)算可得＝m?＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)，
∴消去x得d＝sin(c－)，
∴y＝f(x)＝sin(x－)，
易知y＝f(x)的值域是[－，]．
9．解 (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈[0，]，從而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，
當(dāng)x＝∈[0，]時(shí)，sin(2x－)取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
10．解 (1)因?yàn)橄蛄縜＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函數(shù)f(x)＝ab＝4sin(ωx＋)cos ωx＝4[sin ωx(－)＋cos ωx]cos ωx＝2cos2ωx－2sin ωxcos ωx＝(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos(2ωx＋)＋，
由題意，可知f(x)的最小正周期為T＝π，所以＝π，即ω＝1.
(2)易知f(x)＝2cos(2x＋)＋，當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，2x＋∈[，4π＋]，
故2x＋∈[π，2π]或2x＋∈[3π，4π]時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[，]和[，]．
11．C [因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，
所以(a＋b)2＝(a－b)2，
解得ab＝0，所以向量b－a在向量a上的投影為|b－a|cos〈a，b－a〉＝＝
＝－|a|＝－1.]
12．A [∵ab＝0，且a，b是單位向量，
∴|a|＝|b|＝1.
又∵|c－a－b|2＝c2－2c(a＋b)＋2ab＋a2＋b2＝1，
∴2c(a＋b)＝c2＋1.
∵|a|＝|b|＝1且ab＝0，
∴|a＋b|＝，
∴c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c與a＋b的夾角)．
又－1≤cos θ≤1，∴0
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