十堰市丹江口市2016屆九年級上期中數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2015-2016學(xué)年湖北省十堰市丹江口市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（每一道小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項符合題目要求，把符合題目要求的選項的代號直接填在答題框內(nèi)相應(yīng)題號下的方框中，不填、填錯成一個方框內(nèi)填寫的代號超過一個，一律得0分；共10小題，每小題3分，共30分） 1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一個根是0，則m的值是（　?。? A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2 　 2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列變形正確的是（　?。? A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19 　 3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC 　 4．下列一元二次方程有實數(shù)根的是（　?。? A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0 　 5．已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。? A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1 　 6．觀察如下圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照次規(guī)律，第n的圖形中共有210個小棋子，則n等于（　?。? A．20 B．21 C．15 D．16 　 7．若點（﹣1，4），（3，4）是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點，則此拋物線的對稱軸是（　?。? A．直線x=﹣ B．直線x=1 C．直線x=3 D．直線x=2 　 8．如圖，⊙C過原點O，且與兩坐標軸分別交于點A、B，點A的坐標為（0，4），點M是第三象限內(nèi)上一點，∠BMO=120，則⊙O的半徑為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．2 　 9．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，∠ACB的平方線交⊙O于點D，若AB=10，AC=6，則CD的長為（　?。? A．7 B．7 C．8 D．8 　 10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a的取值范圍為（　?。? A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜ 　 　 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 11．拋物線y=﹣（x+3）2+1的頂點坐標是　　　　　?。? 　 12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，則的值為　　　　　?。? 　 13．已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均為常數(shù)，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，則方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是　　　　　　． 　 14．如圖，AB，AC是⊙O，D是CA延長線上的一點，AD=AB，∠BDC=25，則∠BOC=　　　　　?。? 　 15．已知△ABC的三個頂點都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半徑等于10cm，圓心O到BC的距離為6cm，則AB的長等于　　　　　?。? 　 16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，圖象與x軸交于A（x1，0）B（x2，0）兩點，點M（x0，y0）是圖象上另一點，且x0＞1．現(xiàn)有以下結(jié)論：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0． 其中正確的結(jié)論是　　　　　?。ㄖ惶顚懻_結(jié)論的序號） 　 　 三、解答題（本大題共9小題，共72分） 17．解方程： （1）x2+2x﹣15=0 （2）3x（x﹣2）=（2﹣x） 　 18．已知拋物線的頂點是（4，2），且在x軸上截得的線段長為8，求此拋物線的解析式． 　 19．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，求m2+n2的值． 　 20．為響應(yīng)黨中央提出的“足球進校園”號召，我市在今年秋季確定了3所學(xué)校為我市秋季確定3所學(xué)校誒我市足球基地實驗學(xué)校，并在全市開展了中小學(xué)足球比賽，比賽采用單循環(huán)制，即組內(nèi)每兩隊之間進行一場比賽，若初中組共進行45場比賽，問初中共有多少個隊參加比賽？ 　 21．如圖，在⊙O中， =，∠ACB=60． （1）求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）若D是的中點，求證：四邊形OADB是菱形． 　 22．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，且BC=8，當(dāng)△ABC為等腰三角形時，求m的值． 　 23．如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E． （1）求證：CD是⊙O的切線； （2）若正方形ABCD的邊長為10，求⊙O的半徑． 　 24．某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍； （2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？ （3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？ 　 25．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）． （1）求拋物線的解析式； （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標． 　 　  2015-2016學(xué)年湖北省十堰市丹江口市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每一道小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項符合題目要求，把符合題目要求的選項的代號直接填在答題框內(nèi)相應(yīng)題號下的方框中，不填、填錯成一個方框內(nèi)填寫的代號超過一個，一律得0分；共10小題，每小題3分，共30分） 1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一個根是0，則m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即把0代入方程求解可得m的值． 【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0， 解得：m=2， 故選D． 【點評】本題考查的是一元二次方程解的定義．能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方程的概念． 　 2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列變形正確的是（　　） A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】計算題． 【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可． 【解答】解：x2﹣8x=﹣3， x2﹣8x+16=13， （x﹣4）2=13． 故選C． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法． 　 3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC 【考點】垂徑定理． 【分析】先根據(jù)垂徑定理得CM=DM，，，得出BC=BD，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=∠ADC，而OM與BM的關(guān)系不能判斷． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB， ∴CM=DM，，， ∴BC=BD，∠ACD=∠ADC． 故選：B． 【點評】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，圓周角定理；熟練掌握垂徑定理，由垂徑定理得出相等的弧是解決問題的關(guān)鍵． 　 4．下列一元二次方程有實數(shù)根的是（　?。? A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0 【考點】根的判別式． 【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根判斷即可． 【解答】解：A、∵△=（﹣2）2﹣41（﹣2）＞0， ∴原方程有兩個不相等實數(shù)根； B、∵△=22﹣412＜0， ∴原方程無實數(shù)根； C、∵△=（﹣2）2﹣412＜0， ∴原方程無實數(shù)根； D、∵△=﹣412＜0， ∴原方程無實數(shù)根； 故選A． 【點評】此題考查了根的判別式與方程解的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＜0時，方程無解． 　 5．已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。? A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，可得出判別式大于0，再求得k的取值范圍． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴△=4+4（k﹣2）＞0， 解得k＞﹣1， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2， ∴k的取值范圍k＞﹣1且k≠2， 故選C． 【點評】本題考查了根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 6．觀察如下圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照次規(guī)律，第n的圖形中共有210個小棋子，則n等于（　?。? A．20 B．21 C．15 D．16 【考點】規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】由題意可知：排列組成的圖形都是三角形，第一個圖形中有1個小棋子，第二個圖形中有1+2=3個小棋子，第三個圖形中有1+2+3=6個小棋子，…由此得出第n個圖形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），由此聯(lián)立方程求得n的數(shù)值即可． 【解答】解：∵第一個圖形中有1個小棋子， 第二個圖形中有1+2=3個小棋子， 第三個圖形中有1+2+3=6個小棋子， … ∴第n個圖形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1）， ∴n（n+1）=210， 解得：n=20． 故選：A． 【點評】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出點的排列規(guī)律，利用規(guī)律解決問題． 　 7．若點（﹣1，4），（3，4）是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點，則此拋物線的對稱軸是（　?。? A．直線x=﹣ B．直線x=1 C．直線x=3 D．直線x=2 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】因為兩點的縱坐標都為4，所以可判此兩點是一對對稱點，利用公式x=求解即可． 【解答】解：∵兩點的縱坐標都為4， ∴此兩點是一對對稱點， ∴對稱軸x===1． 故選B． 【點評】本題考查了如何求二次函數(shù)的對稱軸，對于此類題目可以用公式法也可以將函數(shù)化為頂點式或用公式x=求解． 　 8．如圖，⊙C過原點O，且與兩坐標軸分別交于點A、B，點A的坐標為（0，4），點M是第三象限內(nèi)上一點，∠BMO=120，則⊙O的半徑為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．2 【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；圓周角定理． 【分析】連接OC，由圓周角定理可知AB為⊙C的直徑，再根據(jù)∠BMO=120可求出∠BAO的度數(shù)，證明△AOC是等邊三角形，即可得出結(jié)果． 【解答】解：連接OC，如圖所示： ∵∠AOB=90， ∴AB為⊙C的直徑， ∵∠BMO=120， ∴∠BCO=120，∠BAO=60， ∵AC=OC，∠BAO=60， ∴△AOC是等邊三角形， ∴⊙C的半徑=OA=4． 故選：A． 【點評】本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，∠ACB的平方線交⊙O于點D，若AB=10，AC=6，則CD的長為（　?。? A．7 B．7 C．8 D．8 【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】作DF⊥CA，交CA的延長線于點F，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD． 【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB． 在Rt△AFD和Rt△BGD中， ， ∴△AFD≌△BGD（HL）， ∴AF=BG． 在△CDF和△CDG中， ， ∴△CDF≌△CDG（AAS）， ∴CF=CG． ∵AC=6，AB=10， ∴BC==8， ∴AF=1， ∴CF=7， ∵△CDF是等腰直角三角形， ∴CD=7． 故選B． 【點評】本題主要考查了圓周角的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的對等關(guān)系，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識點的運用．關(guān)鍵是正確作出輔助線． 　 10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a的取值范圍為（　　） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜ 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)開口判斷a的符號，根據(jù)y軸的交點判斷c的符號，根據(jù)對稱軸b用a表示出的代數(shù)式，進而根據(jù)當(dāng)x=2時，得出4a+2b+c=0，用a表示c＞﹣1得出答案即可． 【解答】解：拋物線開口向上，a＞0 圖象過點（2，4），4a+2b+c=4 則c=4﹣4a﹣2b， 對稱軸x=﹣=﹣1，b=2a， 圖象與y軸的交點﹣1＜c＜0， 因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0， 實數(shù)a的取值范圍是＜a＜． 故選：D． 【點評】此題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，對于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點，是解決本題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 11．拋物線y=﹣（x+3）2+1的頂點坐標是?。ī?，1）　． 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標． 【解答】解：∵拋物線y=﹣（x+3）2+1， ∴頂點坐標是（﹣3，1）． 故答案為：（﹣3，1）． 【點評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h，是解決問題的關(guān)鍵． 　 12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，則的值為　﹣1或4?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】把a2﹣3ab﹣4b2=0看作關(guān)于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=﹣b，然后利用分式的性質(zhì)計算的值． 【解答】解：（a﹣4b）（a+b）=0， a﹣4b=0或a+b=0， 所以a=4b或a=﹣b， 當(dāng)a=4b時， =4； 當(dāng)a=﹣b時， =﹣1， 所以的值為﹣1或4． 故答案為﹣1或4． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）． 　 13．已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均為常數(shù)，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，則方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是　x1=﹣2，x2=3　． 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】把后面一個方程中的x﹣1看作整體，相當(dāng)于前面一個方程中的x，從而可得x﹣1=﹣3或x﹣1=2，再求解即可． 【解答】解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x1=﹣3，x2=2（a，m，c均為常數(shù)，a≠0）， ∴方程a（x+m﹣1）2+c=0變形為a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2， 解得x=﹣2或x=3． 故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解為x1=﹣2，x2=3． 故答案是：x1=﹣2，x2=3． 【點評】此題主要考查了方程解的定義．注意由兩個方程的特點進行簡便計算． 　 14．如圖，AB，AC是⊙O，D是CA延長線上的一點，AD=AB，∠BDC=25，則∠BOC=　100?。? 【考點】圓周角定理． 【分析】由AD=AB，∠BDC=25，可求得∠ABD的度數(shù)，然后由三角形外角的性質(zhì)，求得∠BAC的度數(shù)，又由圓周角定理，求得答案． 【解答】解：∵AD=AB，∠BDC=25， ∴∠ABD=∠BDC=25， ∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50， ∴∠BOC=2∠BAC=100． 故答案為：100． 【點評】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 　 15．已知△ABC的三個頂點都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半徑等于10cm，圓心O到BC的距離為6cm，則AB的長等于　8或4?。? 【考點】垂徑定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理． 【專題】分類討論． 【分析】此題分情況考慮：當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時，根據(jù)勾股定理求得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長；當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時，根據(jù)勾股定理求得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長． 【解答】解：如圖1，當(dāng)△ABC是銳角三角形時，連接AO并延長到BC于點D， ∵AB=AC，O為外心， ∴AD⊥BC， 在Rt△BOD中， ∵OB=10，OD=6， ∴BD===8． 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB===8（cm）； 如圖2，當(dāng)△ABC是鈍角或直角三角形時，連接AO交BC于點D， 在Rt△BOD中， ∵OB=10，OD=6， ∴BD===8， ∴AD=10﹣6=4， 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB===4（cm）． 故答案為：8或4． 【點評】本題考查的是垂徑定理，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解． 　 16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，圖象與x軸交于A（x1，0）B（x2，0）兩點，點M（x0，y0）是圖象上另一點，且x0＞1．現(xiàn)有以下結(jié)論：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0． 其中正確的結(jié)論是?、?、④　．（只填寫正確結(jié)論的序號） 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】推理填空題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】由拋物線的開口方向可確定a的符號，由拋物線的對稱軸相對于y軸的位置可得a與b之間的符號關(guān)系，由拋物線與y軸的交點位置可確定c的符號；根據(jù)拋物線的對稱軸與x=﹣1的大小關(guān)系可推出2a﹣b的符號；由于x=1時y=a+b+c，因而結(jié)合圖象，可根據(jù)x=1時y的符號來確定a+b+c的符號，根據(jù)a、x0﹣x1、x0﹣x2的符號可確定a（x0﹣x1）（x0﹣x2）的符號． 【解答】解：由拋物線的開口向下可得a＜0， 由拋物線的對稱軸在y軸的左邊可得x=﹣＜0，則a與b同號，因而b＜0， 由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可得c＞0， ∴abc＞0，故①正確； 由拋物線的對稱軸x=﹣＞﹣1（a＜0），可得﹣b＜﹣2a，即b＞2a，故②錯誤； 由圖可知當(dāng)x=1時y＜0，即a+b+c＜0，故③錯誤； ∵a＜0，x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故④正確． 綜上所述：①、④正確． 故答案為①、④． 【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，其中a決定于拋物線的開口方向，b決定于拋物線的開口方向及拋物線的對稱軸相對于y軸的位置，c決定于拋物線與y軸的交點位置，2a與b的大小決定于a的符號及﹣與﹣1的大小關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想準確獲取相關(guān)信息是解決本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（本大題共9小題，共72分） 17．解方程： （1）x2+2x﹣15=0 （2）3x（x﹣2）=（2﹣x） 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先把方程變形得到3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）（x+5）（x﹣3）=0， x+5=0或x﹣3=0， x+5=0或x﹣3=0， 所以x1=﹣5，x2=3； （2）3x（x﹣2）+（x﹣2）=0， （x﹣2）（3x+）=0， x﹣2=0或3x+=0， 所以x1=2，x2=﹣． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）． 　 18．已知拋物線的頂點是（4，2），且在x軸上截得的線段長為8，求此拋物線的解析式． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的兩交點坐標為（0，0），（8，0），則可設(shè)交點式y(tǒng)=ax（x﹣8），然后把頂點坐標代入求出a即可． 【解答】解：根據(jù)題意得拋物線的對稱軸為直線x=4， 而拋物線在x軸上截得的線段長為8， 所以拋物線與x軸的兩交點坐標為（0，0），（8，0）， 設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣8）， 把（4，2）代入得a?4?（﹣4）=2，解得a=﹣， 所以拋物線解析式為y=﹣x（x﹣8），即y=﹣x2+x． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．本題的關(guān)鍵是利用對稱性確定拋物線與x軸的交點坐標． 　 19．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，求m2+n2的值． 【考點】根的判別式；一元二次方程的解． 【專題】新定義． 【分析】根據(jù)x2+mx+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，列出方程組，求出m，n的值，再代入計算即可． 【解答】解：根據(jù)題意得： 解得：， 則m2+n2=（﹣2）2+12=5． 【點評】本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件列出方程組，用到的知識點是一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 20．為響應(yīng)黨中央提出的“足球進校園”號召，我市在今年秋季確定了3所學(xué)校為我市秋季確定3所學(xué)校誒我市足球基地實驗學(xué)校，并在全市開展了中小學(xué)足球比賽，比賽采用單循環(huán)制，即組內(nèi)每兩隊之間進行一場比賽，若初中組共進行45場比賽，問初中共有多少個隊參加比賽？ 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），每個小組x個球隊比賽總場數(shù)=x（x﹣1），由此可得出方程． 【解答】解：設(shè)初中組共有x個隊參加比賽，依題意列方程 x（x﹣1）=45， 解得：x1=10，x2=﹣19（不合題意，舍去）， 答：初中組共有10個隊參加比賽． 【點評】此題考查一元二次方程的實際運用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球隊之間的關(guān)系． 　 21．如圖，在⊙O中， =，∠ACB=60． （1）求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）若D是的中點，求證：四邊形OADB是菱形． 【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；菱形的判定；圓周角定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由=得AB=AC，加上∠ACB=60，則可判斷△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，于是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）連接OD，如圖，由D是的中點得=，則根據(jù)圓周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60，易得△OAD和△OBD都是等邊三角形，則OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以O(shè)A=AD=DB=BO，于是可判斷四邊形OADB是菱形． 【解答】證明：（1）∵=， ∴AB=AC， ∵∠ACB=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=CA， ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）連接OD，如圖， ∵D是的中點， ∴=， ∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60， 又∵OD=OA，OD=OB， ∴△OAD和△OBD都是等邊三角形， ∴OA=AD=OD，OB=BD=OD， ∴OA=AD=DB=BO， ∴四邊形OADB是菱形． 【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理． 　 22．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，且BC=8，當(dāng)△ABC為等腰三角形時，求m的值． 【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）先根據(jù)題意求出△的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系即可得出答案； （2）根據(jù)△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，設(shè)AB=x1=8，得出82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0， ∴不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根． （2）由于無論m為何值，方程恒有兩個不等實根，故若要△ABC為等腰三角形，那么必有一個解為8； 設(shè)AB=x1=8，則有： 82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m2﹣15m+56=0， 解得：m1=7，m2=8． 則當(dāng)△ABC為等腰三角形時，m的值為7或8． 【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 23．如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E． （1）求證：CD是⊙O的切線； （2）若正方形ABCD的邊長為10，求⊙O的半徑． 【考點】切線的判定；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）首先連接OE，并過點O作OF⊥CD，由OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC為正方形ABCD的對角線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切線； （2）由正方形ABCD的邊長為10，可求得其對角線的長，然后由設(shè)OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=r，則可得方程r+r=10，繼而求得答案． 【解答】（1）證明：連接OE，并過點O作OF⊥CD． ∵BC切⊙O于點E， ∴OE⊥BC，OE=OA， 又∵AC為正方形ABCD的對角線， ∴∠ACB=∠ACD， ∴OF=OE=OA， 即：CD是⊙O的切線． （2）解：∵正方形ABCD的邊長為10， ∴AB=BC=10，∠B=90，∠ACB=45， ∴AC==10， ∵OE⊥BC， ∴OE=EC， 設(shè)OA=r，則OE=EC=r， ∴OC==r， ∵OA+OC=AC， ∴r+r=10， 解得：r=20﹣10． ∴⊙O的半徑為：20﹣10． 【點評】此題考查了切線的判定、正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵． 　 24．某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍； （2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？ （3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【專題】綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意可知y與x的函數(shù)關(guān)系式． （2）根據(jù)題意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，當(dāng)x=5.5時y有最大值． （3）設(shè)y=2200，解得x的值．然后分情況討論解． 【解答】解：（1）由題意得：y=（50+x﹣40） =﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x為整數(shù)）； （2）由（1）中的y與x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5． ∵a=﹣10＜0，∴當(dāng)x=5.5時，y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15，且x為整數(shù)， 當(dāng)x=5時，50+x=55，y=2400（元），當(dāng)x=6時，50+x=56，y=2400（元） ∴當(dāng)售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元． （3）當(dāng)y=2200時，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10． ∴當(dāng)x=1時，50+x=51，當(dāng)x=10時，50+x=60． ∴當(dāng)售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元． 當(dāng)售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元． 當(dāng)售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2200元（或當(dāng)售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）． 【點評】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實際問題，是一道綜合題． 　 25．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）． （1）求拋物線的解析式； （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可； （2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D； （3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），點C（4，3）， ∴， 解得， 所以，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3； （2）∵點A、B關(guān)于對稱軸對稱， ∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小， 設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）， 則， 解得， 所以，直線AC的解析式為y=x﹣1， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴拋物線的對稱軸為直線x=2， 當(dāng)x=2時，y=2﹣1=1， ∴拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最??； （3）如圖，設(shè)過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m， 聯(lián)立， 消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0， △=（﹣5）2﹣41（3﹣m）=0， 解得：m=﹣， 即m=﹣時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大， 此時x=，y=﹣=﹣， ∴點E的坐標為（，﹣）， 設(shè)過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0）， ∴AF=﹣1=， ∵直線AC的解析式為y=x﹣1， ∴∠CAB=45， ∴點F到AC的距離為AF?sin45==， 又∵AC==3， ∴△ACE的最大面積=3=，此時E點坐標為（，﹣）． 【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，利用平行線確定點到直線的最大距離問題． 　  2016年3月10日 第24頁（共24頁）