[理學]線性代數(shù) 胡覺亮 習題參考答案

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1、習 題 解 答 習 題 一 （A） 1．用消元法解下列線性方程組： （1） 解 由原方程組得同解方程組 得方程組的解為令，得方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． （2） 解 由原方程組得同解方程組 所以方程組無解． （3） 解 由原方程組得同解方程組 得方程組的解為． （4） 解 由原方程組得同解方程組 得方程組的解為． 2．用初等行變換將下列矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣： （1）． 解 ，得 行階梯形：（不唯一）；行最簡形：． （2）． 解 ，得 行階梯形：（不唯一）；行最簡形：． （3）．

2、解 ，得 行階梯形：（不唯一）；行最簡形：． （4）． 解 ，得 行階梯形：（不唯一）；行最簡形：． 3．用初等行變換解下列線性方程組： （1） 解 ， 得方程組的解為 ． （2） 解 ， 得方程組無解． 　 （3） 解 ， 得方程組的解為令，得方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． （4） 解 ， 得方程組的解為令，得方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． （B） 1．當為何值時，線性方程組有無窮多解，并求解． 解 ． 當時，，方程組有無窮多解，且解為 ． 令，得方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． 0.5 B A C 0

3、.2 0.7 0.7 0.2 0.3 0.3 0.1 3．（聯(lián)合收入問題）已知三家公司A、B、C具有如下圖所示的股份關系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外兩家公司控制等等． 3 現(xiàn)設A、B和C公司各自的營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈

4、收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．試確定各公司的聯(lián)合收入及實際收入． 解 A公司的聯(lián)合收入為309390.86元，實際收入為216573.60元； B公司的聯(lián)合收入為137309.64元，實際收入為27461.93元； C公司的聯(lián)合收入為186548.22元，實際收入為55964.47元. 習 題 二 （A） 1．利用對角線法則計算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式． （5）． 解 原式． 2．按定義計算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）．

5、解 原式． 3．利用行列式的性質，計算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式 ． （5），其中． 解 原式． 4．利用行列式展開定理，計算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式 ． （4）． 解 將行列式按第一行展開，得，則 ， 所以． 5．利用行列式展開定理證明：當時，有 ． 證 將行列式按第一行展開，得，則 ， 所以．

6、 （1） 由關于與對稱，得．　　　　　　　　　　　　　　 （2） 由（1）與（2）解得． 6．利用范德蒙德行列式計算行列式． 解 原式 ． 7．設，試求和． 解 ； ． 8．利用克拉默法則解下列線性方程組： （1） 解 經(jīng)計算，得，所以方程組的解為． （2） 解 經(jīng)計算，得，所以方程組的解為 ． 9．試問取何值時，齊次線性方程組有非零解． 解 方程組有非零解，則．又 ， 所以． 10．試問、取何值時，齊次線性方程組有非零解． 解 方程組有非零解，則．又 ， 所以或． （B）

7、1．選擇題： （1）設，則( )． （A） （B） （C） （D） 解 原式． 選（A）． （2）四階行列式的值等于（ ）． 　?。ˋ） （B） （C） （D） 解 將行列式的第4行依次與第3行、第2行交換，再將行列式的第4列依次與第3列、第2列交換，得 ． 選（D）． （3）設線性方程組若，則方程組的解為（ ）． 　　（A） （B） 　?。–） （D） 解 將方程組寫成標準形式：有 ， 所以方程組的解為 ． 選（C）． （4

8、）方程=的根的個數(shù)為（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 方法一：將按第1列展開，知為3次多項式，因此有3個根．選（C）． 方法二：有3個根 ． 選（C）． 2．計算四階行列式． 解 ． 3．計算四階行列式． 解 ． 4．計算階行列式． 解 ． 5．計算五階行列式． 解 方法一：一般地，對于此類階行列式，將其按第一行展開，得 ， 則 ， 有 ， 所以． 方法二：由習題二（A）的第5題，得當時，有 ， 所以． 6．計算階行列式．

9、 解 將行列式按第一行展開，得，則 ． 7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不計算行列式的值，證明能被13整除． 證 ． 由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除． 8．證明:． 證 構造5階行列式 ， 則． （1） 將按第5列展開，得 ． （2） 比較（1）與（2）右邊的系數(shù)，知結論成立． 9．證明：當時，齊次線性方程組有非零解． 證 方程組的系數(shù)行列式 ， 當，即時，方程組有非零解． 10．應用題： （1）1；（2）． 習

10、 題 三 （A） 1．下列矩陣中，哪些是對角矩陣、三角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣． ，，，． 解 是數(shù)量矩陣，也是對角矩陣；、是三角矩陣；都不是． 2．設矩陣． （1）計算； （2）若滿足，求． 解 （1）； （2）． 3．設有3階方陣，，且，，求． 解 　　　 ． 4．計算下列矩陣的乘積： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式． （5）． 解 原式． （6）． 解 原式． 5．已知矩陣，．求： （1）與； （2）與. 解 （1）

11、，； （2），． 6．求與矩陣可交換的所有矩陣． 解 設與可交換的矩陣．由，得 令，得，其中為任意常數(shù)． 7．利用歸納法，計算下列矩陣的次冪，其中為正整數(shù)： （1）． 解 令，有 則． （2）． 解 令，有，則 ． （3）． 解 令，有 則． 8．已知矩陣，，令，求，其中為正整數(shù)． 解 ． 9．若為階對稱矩陣，為階矩陣，證明為對稱矩陣． 證 因為，所以為對稱矩陣． 10．利用公式法求下列矩陣的逆矩陣： （1）． 解 ，又，所以． （2）． 解 ，又，所以． （3）． 解 ，又，所以． （4）． 解 ，又，

12、所以． 11．解下列矩陣方程： （1）． 解 ． （2）設，其中，． 解 由，得．又 ， 則可逆，且．經(jīng)計算，得 ． 所以． （3）． 解 ，則 ． 12．設，且矩陣滿足，求矩陣． 解 等式兩邊左乘以，得 ． 又，上式兩邊右乘以，得，即，所以 ． 13．設都是階矩陣，證明：可逆的充分必要條件是都可逆． 證 可逆都可逆． 14．設階方陣滿足，證明可逆，并求． 證 由，得，即 ， 所以可逆，且． 15．設為階矩陣，且，證明及都是可逆矩陣． 證 由，得及，所以及都是可逆矩陣． 16．已知為三階方陣，且，求： （1）； （2）

13、； （3）． 解 （1）原式． （2）原式． （3），有 原式． 17．設，求． 解 ，則． 18．（1）設，證明． （2）設，且，求與． 證 （1）． （2）由，得，且．又 ， 所以． 19．利用分塊矩陣計算下列矩陣的乘積： （1）． 解 將矩陣進行如下分塊： ， 則原式．又 ， 所以原式． （2）． 解 將矩陣進行如下分塊： ， 則原式． 20．利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣： （1）． 解 將矩陣進行如下分塊： ， 則．又，所以 ． （2）． 解 將矩陣進行如下分塊： ， 則．又，所以． （3）

14、． 解 將矩陣進行如下分塊： ， 則．又 ， 所以． 21．設矩陣，利用分塊矩陣計算． 解 將矩陣進行如下分塊： ， 則．又，所以 ． 22．設矩陣，利用分塊矩陣計算． 解 將矩陣進行如下分塊： ， 則，所以． 23．（1）設，且階矩陣和階矩陣均可逆，試證明． 　?。?）設矩陣，其中為非零常數(shù)，求． 證 （1）因為，所以可逆，且 ． （2）將矩陣進行如下分塊： ， 則．又，所以 ． 24．利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆；如可逆，求其逆矩陣． （1）． 解 ． 因為，所以不可逆． （2）． 解 ， 所以可逆，且．

15、 （3）． 解 ， 所以可逆，且． （4）． 解 ， 所以不可逆． 25．利用矩陣的初等行變換解下列矩陣方程： （1）． 解 ， 所以． （2）． 解 將方程兩邊轉置，得．由 ， 得． 26．求下列矩陣的秩： （1）． 解 ，所以． （2）． 解 ． （3）． 解 ． （4）． 解 ． 27．設矩陣，且，求的值． 解 ． 由，得． 28．設矩陣，問取何值時，使得 （1）；（2）；（3）． 解 ，有 當且時，；當時，；當時，． 29．設是矩陣，且的秩為，而，求． 解 ，則． 30．設為

16、階矩陣，滿足，證明：． 證 由，得，所以 . 又 ， 所以. 31．設三階矩陣，試求與． 解 ． 因為． 32．求解下列線性方程組： （1） 解 方程組的系數(shù)矩陣 ． 因為，所以方程組只有零解． （2） 解 方程組的增廣矩陣 ， 所以方程組的解為． （3） 解 方程組的系數(shù)矩陣 ， 得方程組的解為 令，得方程組的通解 ，其中為任意常數(shù)． （4） 解 方程組的增廣矩陣 ． 因為，所以方程組無解． （5） 解 方程組的增廣矩陣 ， 得方程組的解為 令，得方程組的通解 ，其中為任意常數(shù)． （6） 解 方程組

17、的增廣矩陣 ， 得方程組的解為 令，得方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． 33．試問取何值時，下列非齊次線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解． （1） 解 方程組的系數(shù)行列式 ． 當，即且時，方程組有唯一解． 當時， ． 因為，所以方程組無解． 當時， ． 因為，所以方程組有無窮多解． （2） 解 方程組的系數(shù)行列式 ． 當，即且時，方程組有唯一解． 當時， ． 因為，所以方程組無解． 當時， ． 因為，所以方程組有無窮多解． 34．試問取何值時，非齊次線性方程組有解，并求解． 解 方程組的增廣矩陣 ． 當時，

18、 ， 有，則方程組有無窮多解，且解為 令，得方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． 35．求平面上三點共線的充分必要條件． 解 設直線方程為．則 平面上三點共線有非零解 ，即． （B） 1．選擇題： （1）設為階矩陣，以下結論正確的是（ ）． 　　(A)若、是對稱矩陣，則也是對稱矩陣． (B)． 　　(C)若，且可逆，則． (D)若與等價，則與相等． 解 選（C）． （2）設和均為矩陣，則必有（ ）． (A)=+． (B)． (C)=．

19、 (D)． 解 選（C）． （3）設為階矩陣，是的伴隨矩陣，為常數(shù)，則（ ）． 　　(A)． (B)． (C)． (D)． 解 由伴隨矩陣的定義，知選（C）． （4）設和均為階非零矩陣，且，則和的秩（ ）． (A)必有一個等于零． (B)一個等于，一個小于． (C)都等于． (D)都小于． 解 由，得．又，知．所以，故選（D）． （5）對于非齊次線性方程組，若，則（ ）． 　　(A)當時，有解． (B

20、)當時，有唯一解． (C)當時，有唯一解． (D)當時，有無窮多解． 解 當時，，故選（A）． 2．設矩陣，試求． 解 ，則 ． 3．設矩陣，且，試求． 解 由，得．又，有 ， 兩邊取行列式，得，所以． 4．設矩陣，且，試求． 解 ，則 ． 5．設矩陣，試求． 解 ，所以 ． 6．設矩陣，矩陣滿足，試求矩陣． 解 由，得．又，有． 經(jīng)計算可得，所以． 7．設矩陣，且矩陣滿足，試求矩陣． 解 由，得．（注意）又 ， 得方程組的解為令，得為任意常數(shù)． 8．設階矩陣，試求的秩． 解 ． 當時，為非奇異矩陣，所以； 當時，，則；

21、 當時，的階子式 而，所以． 9．試求取何值時，齊次線性方程組有非零解，并求通解． 解 方程組的系數(shù)矩陣 ． 當時，，方程組有非零解，且 ， 得方程組的解為 令，得方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． 10．試求取何值時，非齊次線性方程組無解、有唯一解或無窮多解，并在有無窮多解時求方程組的通解． 解 方程組的系數(shù)行列式 ． 當且時，方程組有唯一解． 當時， ． 因為，所以方程組有無窮多解，且通解為 ，其中為任意常數(shù)． 當時，方程組無解． 11．設矩陣，為三階非零矩陣．試求常數(shù)，使得． 解 有非零解．又，所以． 12．證明：（1）設

22、為矩陣，則有意義的充分必要條件是為同階矩陣． （2）對任意階矩陣，都有，其中為單位矩陣． 證 （1）設為矩陣，為矩陣，則 有意義， 即為同階矩陣． （2）設，則的主對角線上元素之和為 ， 而的主對角線上元素之和為，所以． 13．證明：任意階矩陣都可表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣的和． 證 設為任意階矩陣，則 ， 其中為對稱矩陣，為反對稱矩陣．（你是否能聯(lián)系到函數(shù)可以表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和） 14．已知階矩陣滿足，試證可逆，并求． 證 由，得 ， 所以可逆，且． 15．設為元素全為1的階方陣，證明：． 證 ．又，故 ， 所以． 16．設階矩陣

23、與等價，且，證明． 證 與等價，則存在階可逆矩陣與，使得，有 ． 注：此結論告訴我們初等變換不改變矩陣的可逆性． 17．設為階方陣，且，證明． 證 因為，所以．又 ， 所以． 18．設是矩陣，是矩陣，其中．若，其中為階單位矩陣．證明方程組只有零解． 證 由，得．又，得，所以方程組只有零解． 習 題 四 （A） 1．設，求和． 解 ，． 2．求解下列向量方程： （1），其中． 解 ． （2），其中． 解 ． 3．試問向量可否由向量組線性表示？若能，求出由線性表示的表達式． （1）． 解 設．由 ， 得，所以可由向量組線性表

24、示，且，得表達式． （2）． 解 設．由 ， 得，所以可由向量組線性表示，且，得表達式． 4．討論下列向量組的線性相關性： （1）． 解 向量組所含向量個數(shù)大于向量的維數(shù)，所以該向量組線性相關． （2），其中全不為零． 解 對應的分量成比例，則線性相關，所以該向量組線性相關． （3）， ，． 解 ． 因為，所以該向量組線性無關． （4）． 解 ． 因為，所以該向量組線性相關． 5．（1）設，證明：線性相關當且僅當． （2）設，證明：線性相關當且僅當它們對應的分量成比例． 證 （１）線性相關． （2）線性相關，其中不全為零．不妨設，則 線性相

25、關，即對應的分量成比例． 6．任取，又記 ，證明必線性相關． 證 顯然，即 ， 所以必線性相關． 7．若向量組由向量組線性表示為 試將向量組由向量組表示． 解 由解得 8．設為一組非零向量，按所給的順序，每一都不能由它前面的個向量線性表示，證明向量組線性無關． 證 用數(shù)學歸納法證明．時，，則線性無關．設時成立，即線性無關．當時，若線性相關，則可由線性表示，矛盾，所以向量組線性無關． 9．設非零向量可由向量組線性表示，證明：表示法唯一當且僅當向量組 線性無關． 證 可由向量組線性表示 ． 則 表示法唯一有唯一解 　　　　　　　 　　　　　線性無

26、關． 10．設，證明：向量組線性無關當且僅當任一維向量均可由線性表示． 證 必要性：線性無關，任取，則線性相關，所以可由線性表示． 充分性：任一維向量均可由線性表示，則單位坐標向量可由線性表示，有 ， 所以，即線性無關． 11．求下列各向量組的秩及其一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示． （1）． 解 ， 所以，本身為一個極大無關組； （2）． 解 ， 所以，為一個極大無關組，且 ，． （3）． 解 ， 所以，為一個極大無關組，且 ，． 12． 設A：和B：為兩個同維向量組，秩分別為和；向量組 的秩為．證明：． 證 先證．顯然組

27、與組分別可由組線性表示，則，且，所以． 次證．設為組的一個極大無關組，為組的一個極大無關組，則組可由線性表示，有 ． 13．設為階可逆陣，與均為矩陣，且．試證明． 證 由，知的列向量組可由的列向量組線性表示，則． 因為可逆，則，知的列向量組可由的列向量組線性表示，則．所以． 14．設為矩陣，證明：當且僅當． 證 必要性顯然，下證充分性：． 設為的任一列向量，則，所以．由的任意性知． 15．設． （1）求由向量組生成的向量空間的一組基與維數(shù)； （2）求向量在此組基下的坐標． 解 由，得 （1）為由向量組生成的向量空間的一組基，且維數(shù)為2； （2）向量在此組

28、基下的坐標為． 16．設．證明向量組是的一組基，并求向量在這組基下的坐標． 證 由， 得是的一組基，且在這組基下的坐標為． 17．在中取兩組基：； ． （1）求由基到基的過渡矩陣． （2）若向量在基下的坐標為，求向量在基下的坐標． 解 設．由 ， 得（1）由基到基的過渡矩陣． （2）在基下的坐標為 ． 18．在中求一向量，使其在下面兩組基： ； 下有相同的坐標． 解 由，得，即 ． 令．由 ， 得取，得． 19．求下列齊次線性方程組的一個基礎解系及通解． （1） 解 由，得 令

29、，得方程組的一個基礎解系，通解為，其中為任意常數(shù)． （2） 解 由，得 令，得方程組的一個基礎解系，，通解為，其中為任意常數(shù)． （3） 解 由，得 令，得方程組的一個基礎解系，，通解為，其中為任意常數(shù)． （4） 解 由，得 令，得方程組的一個基礎解系 ，，， 通解為，其中為任意常數(shù)． 20． 判斷下列非齊次線性方程組是否有解，若有解，并求其解（在有無窮多解的情況下，用基礎解系表示全部解）． （1） 解 方程組的增廣矩陣 ． 因為，所以方程組有唯一解，且解為． （2） 解 方程組的增廣矩陣 ， 因為，所以方程組有無窮多解，且 令，得通解

30、為 其中為任意常數(shù)． 　 （3） 解 方程組的增廣矩陣 ． 因為，所以方程組有唯一解，且解為． 21．設三元非齊次線性方程組，矩陣的秩為2，且, 是方程組的兩個特解，試求此方程組的全部解． 解 由已知得導出組的基礎解系含個解向量，設為，則可取 ． 所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)． 22．設是齊次線性方程組的基礎解系，求證也是 的基礎解系． 證 顯然是的解，只需證明它們線性無關． ． 由，得 ，所以線性無關． 23．設是階方陣．證明：存在一個階非零矩陣，使的充要條件是． 證 存在，使得有非零解． 24．設是階方陣，為矩陣，且．證明：

31、 （1）若，則； （2）若，則． 證 （1），則．又． （2）．由（１）得． （B） 1．設向量組線性相關，而線性無關，問： （1）能否由線性表示？為什么？ （2）能否由線性表示？為什么？ 解 （1）線性無關，則線性無關；又線性相關，則可由線性表示；所以可由線性表示． （2）若可由線性表示，又可由線性表示，則可由線性表示，有線性相關，矛盾，所以不能由線性表示． 2．若向量組，其中的第個分量為，余皆為．試 討論該向量組的線性相關性． 解 ． 當且時，，向量組線性無關； 當或時，，向量組線性相關． 3．設向量組線性無關，，，…，，

32、試討論的線性相關性．若向量組線性相關呢？ 解 ，且 ． （1）若線性無關，則 當為偶數(shù)時，，有，此時線性相關； 當為奇數(shù)時，，有，此時線性無關． （2）若線性相關，則，此時線性相關． 4．設為維非零向量，為階方陣，若 ，， 試證明線性無關． 證 設． 該式兩邊左乘以，得 依此類推，得．由，得． 同理可證．所以線性無關． 5．設，其中為3階方陣，為3維 向量，且，證明線性無關． 證 設． （1） （1）式兩邊左乘以，得． （2）

33、 （2）減去（1），得． （3） （3）式兩邊左乘以，得． （4） （4）減去（3），得．因為，所以． 代入（３），得，所以．代入（1），得，所以． 所以線性無關． 6．設為階方陣，為維列向量．證明：若存在正整數(shù)，使，而， 則線性無關． 證 設，該式兩邊左乘以，得 ． 因為，所以． 同理可證．所以線性無關． 7．設向量組的秩與向量組相同，且組可由組線性表示，證明組與組等價． 證 設，為組的一個極大無關組，為組的一個極大無關組．由組可

34、由組線性表示，得 . 又，則，即為可逆矩陣，有 ， 即可由線性表示，所以組可由組線性表示.故組與組等價． 8．設向量組：線性無關，向量組：能由線性表示為 ， 其中，證明：向量組線性無關當且僅當?shù)闹龋? 證 向量組線性無關只有零解 只有零解 　 　 　 　 　 　 只有零解． 9．設都是矩陣，試證明：． 證 先證．顯然的列向量組可由的列向量組和的列向量組線性表示，則． 此證．設，與分別為與的列向量組的一個極大無關組，則的列向量組可由與線性表示，有 ， 即． 10．設是的一組基，，，． （1）證明是的一組基；

35、 （2）求由基到基的過渡矩陣； （3）若向量在基下的坐標為，求向量在基下的坐標． 證 ．　　　　　　　　　　　　　　?。ǎ保? （１）由，得，則線性無關，所以是的一組基． （2）由（１）式，得由基到基的過渡矩陣． （3）在基下的坐標 ． 11．當為何值時，齊次線性方程組只有零解？有非零解？在方程組有非零解時，求其全部解． 解 方程組的系數(shù)行列式 ． 當，即時只有零解. 當，即時有非零解，且通解為 ，其中為任意常數(shù)． 12．設是的三個特解，則（　?。┮彩堑慕猓? （A）；　　　 （B），； （C）；　　　　?。―)． 解 B．實質上，一般地有：若為的

36、解，則 也是的解． 13．考慮線性方程組問取什么值時有解？當有解時，求它的通解． 解 方程組的增廣矩陣 ， 則當時方程組有解，且 ， 所以方程組的通解為 ， 其中為任意常數(shù) 14．設矩陣，其中線性無關，且．向量 ． 試求方程組的通解． 解 由線性無關，且，得是的一個極大無關組，則，即，從而的基礎解系含 個線性無關的解向量，設為．由，得 ， 則是的解，故可取． 由，得是的一個特解．所以的通解為，其中為任意常數(shù)． 15．設為矩陣，為矩陣，且．求證： （1）的各列向量是齊次線性方程組的解； （2）若，則； （3）若，則的各列向量線性

37、相關． 證 （1）令．由，得 ， 即，所以的各列向量是齊次線性方程組的解． （2）若，則只有零解，所以． （3）若，則有非零解，所以的各列向量線性相關． 16．設為階方陣（），證明： （1）當時，； （2）當時，； （3）當時，． 證 （1）當時，，所以． （2）當時，由，得有．又中至少有一個階子式不為零，則，所以． （3）當時，則中所有一個階子式全為零，有． 習 題 五 (A) 1．求下列矩陣的特征值和特征向量： （1）． 解 的特征多項式 ， 所以的特征值為． 當時，解特征方程組．由 ， 得，令，得屬于的

38、線性無關的特征向量，全部特征向量為． 當時，解特征方程組． ， 得，令，得屬于的線性無關的特征向量是，全部特征向量為． （2） ． 解 的特征多項式 ， 所以的特征值為． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于的線性無關的特征向量是，全部特征向量為． 當時，解特征方程組． ， 得令，得屬于的線性無關的特征向量是，全部特征向量為． （3） ． 解 的特征多項式 ， 所以的特征值為． 當時，解特征方程組．由 ， 得，令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為不全為零）． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于的線性無關的特征向量

39、是，全部特征向量為． （4） ． 解 的特征多項式 ， 所以的特征值為． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為． （5） ． 解 的特征多項式 ， 所以的特征值為，，． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向

40、量為，全部特征向量為． （6）． 解 的特征多項式 ， 所以的特征值為． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為不全為0． 當時，解特征方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為． 2． 已知矩陣的特征值為，求的值． 解 由，得，則． 3． 已知矩陣 的特征值為，求x的值． 解 ．由，得，解得． 4． 已知三階方陣的三個特征值分別為，矩陣．求矩陣的特征值及的行列式． 解 令，則的特征值分別為，且 ． 5．已知3階矩陣的特征值為，求及的伴隨矩陣的特征值． 解 令，則的特

41、征值為 ． 又，則特征值為． 6．設，求： （1）的特征值與特征向量；　（2）的特征值；　（3）的特征值． 解 （1）的特征多項式 ， 則的特征值為；屬于特征值全部特征向量為 ，、不全為0； 屬于特征值全部特征向量為，． （2），則的特征值為． （3）令，則的特征值為 ，． 7．設矩陣滿足等式，試證明的特征值只能取值或4． 解 設為的特征值．由，得滿足，解得 或． 8．設方陣滿足，其中是的轉置矩陣，為單位陣．試證明的實特征向量所對應的特征值的模等于1． 解 設為的實特征向量，對應的特征值為，則．由，得 ， 即，有．又，則，所以． 9．已知，

42、，且與相似，求常數(shù)． 解 顯然的特征值為．與相似，則的特征值為．由 ， 解得． 10．已知矩陣與矩陣相似，求常數(shù)與． 解 與相似，則． （1） 又，由，得，代入（1）式，得． 所以． 11． 設矩陣．問為何值時，矩陣可相似對角化． 解 顯然的特征值為．對， 可相似對角化． 由，得． 12．已知是矩陣的特征向量． （1）求參數(shù)及特征向量所對應的特征值； （2）問能否相似對角化？并說明理由． 解 （1）設特征向量所對應的特征值為.由，得 . （2）的特征多項式

43、 ， 則的特征值為．所以能相似對角化，即． 顯然，所以不能相似對角化. 13．判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似；若與對角矩陣相似，求一個可逆矩陣，使 為對角矩陣． （1）． 解 的特征多項式 ， 則的特征值為． 當時，解方程組．由 ， 得，所以不能與對角矩陣相似． （2）． 解 的特征多項式 ， 則的特征值為． 當時，解方程組．由 ， 得，所以與對角矩陣相似，且．令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為． 當時，解方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為． 令，則． （3）． 解 的特征多項式 ， 則的特征值為． 當時，解

44、方程組．由 ， 得，所以與對角矩陣相似，且．令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為． 當時，解方程組．由 ， 得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為． 令，則． 14．設矩陣．求可逆矩陣，使為對角矩陣，并計算，其中為正整數(shù)． 解 的特征多項式，則的特征值為． 屬于特征值的線性無關的特征向量為． 屬于特征值的線性無關的特征向量為． 令，則．且 ． 又，，所以 ． 15．設3階方陣有特征值，對應特征向量依次為 ， 求． 解 有3個不同的特征值，則能相似對角化．令，則 ， 有．又，所以． 16．設矩陣與相似，試證： （1）與相似；　?。?）當可逆時，

45、與相似． 證 與相似，則存在可逆矩陣，使得． （1）． 因為也可逆，所以與相似． （2），所以與相似． 17．設向量，求的長度及它們的夾角． 解 ,，． 18．已知三元向量，試求一個非零向量，使為正交向量組． 解 顯然正交．令，要使為正交向量組，只需 由，得取，得． 19．已知向量，試求與向量都正交的向量． 解 設，依題意，得 由，得 令，所以 ，其中、為任意常數(shù)． 20.用施密特正交化方法將下列向量組化為標準正交向量組： （1）． 解 正交化，得，，． 單位化，得，，． （2）． 解 正交化，得，，． 單位化，得,,．

46、 21．試求一個正交矩陣，使為對角陣： （1）． 解 的特征多項式 ， 則的特征值為． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；單位化，得 ． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；單位化，得 ． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；單位化，得 ． 令正交矩陣，則 ． （2）． 解 的特征多項式 ， 則的特征值為． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；顯然正交，單位化，得 ． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；單位化，得 ． 令正交矩陣，則 ． （3）． 解 的特征多項式 ， 則的特征值為． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；正交化，得；單位化，

47、得 ． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；單位化，得 ． 令正交矩陣，則 ． （4）． 解 的特征多項式 ， 則的特征值為． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；正交化，得；單位化，得 ． 屬于特征值的線性無關的特征向量為；單位化，得 ． 令正交矩陣，則 ． 22．設3階實對稱矩陣的特征值為6、3、3，與特征值6對應的特征向量為，求與特征值3對應的特征向量． 解 設為屬于特征值3的特向量，有，即 ， 其基礎解系為 ．所以屬于特征值3的特征向量為 ，、不全為0． 23．設三階實對稱矩陣的特征值為，對應的特征向量為，求． 解 設對應的特征向量為，有．

48、所以屬于特征值的線性無關的特征向量為． 令，則．所以 ． 24．設三階實對稱矩陣的秩為2，是的二重特征值．若 ，, 都是的屬于特征值6的特征向量． （1）求的另一特征值和對應的特征向量； （2）求矩陣． 解 （1）因為是的二重特征值，故的屬于特征值6的線性無關的特征向量有2個．由題設知，為的屬于特征值6的線性無關特征向量． 又的秩為2，于是，所以的另一特征值．設所對應的特征向量為，則有，即 得基礎解系為，故的屬于特征值全部特征向量為 ，． （2） 令矩陣，則，所以 ． 25．設都是階實對稱矩陣，證明與相似的充要條件是與有相同的特

49、征值． 證 必要性：與相似，則存在可逆陣，使得．有 ， 所以與有相同的特征多項式，即有相同的特征值． 充分性：若實對稱矩陣與有相同的特征值，設為它們的特征值．令 ． 則與相似，與相似，所以與相似． （B） 一、選擇題： 1．設，則以下向量中是A的特征向量的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 當時，有．選（A）． 2．設為階方陣，且（為某一正整數(shù)），則（ ）． 　　(A) (B)有一個不為零的特征值 (C)的特征值全為零

50、 (D)有個線性無關的特征向量 解 設為的特征值，則，有．選（C）． 3．設為階矩陣，且與相似，則（ ）． （A） （B）與有相同的特征值與特征向量 （C）與都相似于對角矩陣 （D）對于任意常數(shù)，相似 解 由與相似，知存在可逆陣，使，由此，故與相似．選（D）． 4．設，且的特征值為，則（ ）． (A) (B)3 (C)4 (D) 解 由，得．選（C）． 5．設為階可逆陣，為的一個特征值，則的伴隨陣的一個特征值是 （ ）． (A) (B)

51、 (C) (D) 解 選（B）． 6．設為階方陣，以下結論中成立的是（ ）． （A）若可逆，則矩陣的屬于特征值的特征向量也是矩陣的屬于特征值的特征向量． （B）的特征向量為方程的全部解． （C）的特征向量的線性組合仍為特征向量． （D）與有相同的特征向量． 解 選（A）． 7．當滿足( )時，方陣與相似． (A)且 (B)或 (C) (D) 解 選（A）． 8．設是階實對稱矩陣，是階可逆矩陣．已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是（

52、）． （A） （B） （C） （D） 解 由于，即矩陣屬于特征值的特征向量為．選（B）． 9．設是可逆矩陣的一個特征值，則矩陣有一個特征值等于（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 有特征值．選（B）． 10．設，且的特征值為，則有（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 選（B）． 11．如果階矩陣任意一行的元素之和都是，那么有一個特征值（ ）． （A） （B）

53、（C）0 （D） 解 取，有．選（A）． 12．若階矩陣的特征值全為零，則不正確的結論是（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 取，但的特征值全為零，而．選（C）． 13．已知（為非零向量），為可逆矩陣，則（ ）． （A）的特征值為，其對應的特征向量為 （B）的特征值為，其對應的特征向量為 （C）的特征值為，其對應的特征向量為 （D）的特征值為，其對應的特征向量為 解 由, 得，故是P-1AP的特征值，其對應的特征向量為．選（D）． 14．設，且的特征值為，則的值為（ ）． （A）2

54、 （B） （C）4 （D） 解 ，得．選（B）． 15．已知矩陣有一個特征向量，則等于（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 由＝，得 ，．選（B）． 16．設矩陣與相似，則（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 選（B）． 17．設是矩陣的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 由于，則 ，線性無關，即． 選(B)． 18．設為3階

55、矩陣，的特征值為，那么齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數(shù)為（ ）． (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解 注意，則的基礎解系所含解向量的個數(shù)等于的屬于特征值0的線性無關的特征向量的個數(shù)．選(B)． 19．設3階矩陣的特征值互不相同，若行列式，則的秩為（ ）． （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解 注意：若與對角陣，則 中不為零的個數(shù)． 由3階矩陣的特征值互不相同，且行列式，知只有一個特征值等于零，則．選（C）． 20．設是4階實對稱矩陣，且。若，則相似

56、于（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 設為的特征值，由，得，所以的特征值只能是或 ．是4階實對稱矩陣，知能相似對角化；，知有3個不為零的特征值；所以的特征值為．選（D）． 二、計算題： 1．設，，其中為三階可逆矩陣，求． 解 ．又 , 所以． 2. 設矩陣，已知有三個線性無關的特征向量,是的二重特征根． （1）求；　?。?）求可逆矩陣，使得為對角矩陣． 解 （1）因為有三個線性無關的特征向量,是的二重特征根，所以 ． 由，得． （2），其特征多項式，得的特征值為． 屬于的線性無關的

57、特征向量為． 屬于的線性無關的特征向量為． 令，則． 3. 設矩陣． （1）求的特征值； （2）利用(1)中結果求的特征值，其中為三階單位矩陣． 解 （1）的特征多項式，得的特征值為 ． （2）令，得的特征值為 ． 4．設有三個線性無關的特征向量，求和應滿足的條件． 解 的特征多項式． （1）當時，A有3個不同的特征值，從而必有3個線性無關特征向量． （2）當時，A有特征值． 對于要有二個線性無關的特征向量，則有．由 ， 得． 綜上，當時或時，有三個線性無關的特征向量． 5．設為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足． （1）證明線性無關；

58、 （2）令，求． 證 （1）設， （1） （1）式兩邊左乘以，得．　　　　　　　　　?。?） （1）-（2），得．顯然線性無關，則．代入（１），得，有，所以線性無關． （2） ， 即．由第一部分知可逆，所以． 6．設3階實對稱矩陣的各行元素之和都為3，向量都是齊次線性方程組的解． （1）求的特征值和特征向量； （2）求正交矩陣和對角矩陣，使得． 解 （1）的各行元素之和都為，則有特征值，且是其對應的特征向量．又 ， 且線性無關，知有特征值，且是其對應的線性無關

59、的特征向量．因此，有 的特征值為．屬于的線性無關的特征向量為；屬于的線性無關的特征向量為． （2）將正交單位化，得，； 將單位化，得． 令正交矩陣，有． 7．已知矩陣與相似． （1）求之值；　　 （2）求可逆矩陣，使為對角矩陣； 　?。?）求． 解 （1）與相似，則，即 ． 將代入有，將代入有． （2）顯然的特征值為． 屬于的線性無關的特征向量為； 屬于的線性無關的特征向量為； 屬于的線性無關的特征向量為． 令，有． （3）．又 ， 所以． 8．設為2階矩陣，為線性無關的2維列向量，．求的特征值． 解 ．線性無關，則可

60、逆，有 ， 即與相似．而的特征多項式 ， 所以的特征值為，故的特征值為． 9．設3階對稱矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量．記，其中為3階單位矩陣． （1）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量； （2）求矩陣． 解 （1）設為的屬于特征值的特征向量，即，則 ， 即為的特征值，為相應的特征向量．所以是矩陣的特征向量． 令，則的特征值為 ． 的屬于的線性無關的特征向量為，全部特征向量為． 設的屬于的特征向量為．為對稱矩陣，顯然也是對稱矩陣，則 ， 方程組的基礎解系為，就是的屬于的線性無關的特征向量，全部特征向量為不全為零． （2）令，有，

61、所以．又 ， 則． 10．設向量都是非零向量，且滿足條件．記階矩陣，求： （1）； （2）矩陣的特征值和特征向量． 解 （1）． （2）設為的任一特征值．由，得，有，即的特征值全為零． 不妨設向量中分量，，考慮齊次線性方程組．由 ， 得基礎解系 ， 即屬于特征值0的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù)． 11．設4階方陣滿足條件．試求方陣的伴隨矩陣的一個特征值． 解 由，得為的特征值． 由，得．又，則．所以有特征值． 12．設．已知線性方程組有無窮多解，試求： （1）的值； （2）正交矩陣，使得為對角矩陣． 解 （1）對線性方程組的增

62、廣矩陣施行初等行變換： ， 方程組有無窮多解． （2），的特征多項式，得矩陣的特征值為． 對應的特征向量分別為． 將單位化，得 ． 令, 則有． 13．設三階矩陣的三個特征值分別為，對應特征向量依次為 ． （1）將用向量組線性表示；　?。?）求． 解 （1）設．由 ， 得，所以． （2） ． 14．設矩陣的特征多項式有一個二重根，求的值，并討論是否可相似對角化． 解 的特征多項式． （1）若是特征多項式的二重根，則，解得．此時的特征值為．對，由 ， 得，所以可相似對角化． （2）若不是特征多項式的二重根，則 ， 解得．此

63、時的特征值為．對，由 ， 得，所以不能相似對角化． 15．某生產(chǎn)線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其它生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊．新、老非熟練工經(jīng)過培養(yǎng)及實踐至年終考核有成為熟練工．設第年1月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記成向量． （1）求與的關系式，并寫成矩陣形式； （2）驗證，是的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值； （3）當時，求． 解 （1）由題設，得即所以 ， （1） 其中． （2）由，，得是的屬于特征值的特征向量，是的屬于特征值的特征向量；又，所以,線

64、性無關． （3）由（1）式，可得． 由（2）知可相似對角化．令，有．所以 ． 又，有 ， 從而． 16．設矩陣． （1）k為何值時，存在可逆矩陣，使得為對角矩陣？ （2）求出和相應的對角矩陣． 解 的特征多項式 ， 所以的特征值為． （1）對，由 ， 得時，，此時可相似對角化． （2）的屬于的線性無關的特征向量為； 的屬于的線性無關的特征向量為． 令，有． 17．已知是的特征向量． （1）確定常數(shù)； （2）確定特征向量對應的特征值； （3）能否相似對角化？并說明理由． 解 （1）設是的特征向量對應的特征值．由，解得 ． （2），其特征多

65、項式 ， 所以對應的特征值為． （3）對，由 ， 的，所以不能相似對角化． 18．設矩陣，，．求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣，為3階單位矩陣． 解 ．設的特征值對應的特征向量為，則有．于是有. ， 即為的特征值，對應的特征向量為． 的特征多項式，所以的特征值為，． 的屬于特征值的線性無關的特征向量為，． 的屬于特征值的線性無關的特征向量為． 由，得 ，，． 令，則的特征值分別為 ， 且對應于特征值的全部特征向量為，其中是不全為零的常數(shù)；對應于特征值的全部特征向量為，． 19．設，存在正交矩陣，使得為對角矩陣．若的第一列為，求常數(shù)、正交矩陣及對角矩

66、陣． 解 由題意，得的第一列是的特征向量，即存在數(shù)，使得 ， 解得． ，其特征多項式，所以的特征值為． 屬于的正交單位化的特征向量為；屬于的正交單位化的特征向量為；屬于的正交單位化的特征向量為． 令正交矩陣，有． 三、證明題： 1．設均為階方陣，且．試證：有公共的特征向量． 證 考慮方程組，其系數(shù)矩陣的秩 ， 則方程組有非零解，即，故 ， 即是的公共特征值，是屬于特征值的公共的特征向量． 2．設是階方陣，且滿足．試證:． 證 設． （1） 若，則，即，有． （2）若，則，即，有． （3）若，則的基礎解系就是的屬于特征值的線性無關特征向量；又，則的基礎解系就是的屬于特征值1的線性無關特征向量；從而有個線性無關特征向量：，所以能相似對角化． 令，有 ， 則，所以． 3．階矩陣滿足，證明不是的特征值． 證 由，得，所以可逆，有，所以不是的特征值． 習 題 六 （A） 1．寫出下列二次型的矩陣． （1）． 解 ． （2）． 解 ． （3）． 解 ． （4） 解 ． 2．已知二次型的秩為2，求．