2019-2020年高三全國高校招生模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題.doc

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2019-2020年高三全國高校招生模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．已知集合，集合，則（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】考查集合的運算。，，考查交集的定義，畫出數(shù)軸可以看出。 2．設(shè)復(fù)數(shù)z=﹣1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1﹣z|=（　?。? A． B． C．2 D．1 【考點】復(fù)數(shù)求模． 【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 【分析】代入復(fù)數(shù)直接利用求模的運算法則求解即可． 【解答】解：復(fù)數(shù)z=﹣1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1﹣z|=|1﹣（﹣1﹣i）|=|2+i|==． 故選：A． 【點評】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，基本知識的考查． 　 3．設(shè){an}是等差數(shù)列，若log2a7=3，則a6+a8等于（　　） A．6 B．8 C．9 D．16 【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)． 【專題】計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】根據(jù)a6+a8=2a7，即可得出結(jié)論． 【解答】解：由題意，log2a7=3，∴a7=8， ∵{an}是等差數(shù)列， ∴a6+a8=2a7=16， 故選：D． 【點評】本題主要考查了等差數(shù)列中的等差中項的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)． 　 4． 已知點在橢圓上，則的最大值為（） A. B.-1 C.2 D.7 【答案】D 5．已知向量=（m，2），向量=（2，﹣3），若|+|=|﹣|，則實數(shù)m的值是（　?。? A．﹣2 B．3 C． D．﹣3 【考點】平面向量數(shù)量積的運算． 【專題】計算題；平面向量及應(yīng)用． 【分析】將等式兩邊平方，運用向量的平方即為模的平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解m的方程，即可得到． 【解答】解：若|+|=|﹣|， 則（+）2=（﹣）2， 即+2=﹣2， 即=0， 由向量=（m，2），向量=（2，﹣3）， 則2m﹣6=0， 解得m=3． 故選：B． 【點評】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題． 　 6．山西陽泉某校三個年級共有24個班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進行調(diào)查，若抽到編號之和為48，則抽到的最小編號為（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考點】系統(tǒng)抽樣方法． 【專題】計算題；概率與統(tǒng)計． 【分析】求出系統(tǒng)抽樣的抽取間隔，設(shè)抽到的最小編號x，根據(jù)編號的和為48，求x即可． 【解答】解：系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為=6． 設(shè)抽到的最小編號x， 則x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48， 所以x=3． 故選：B． 【點評】本題考查了系統(tǒng)抽樣方法，熟練掌握系統(tǒng)抽樣的特征是解答本題的關(guān)鍵． 　 7．如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則圖中執(zhí)行框內(nèi)①處和判斷框中的②處應(yīng)填的語句是（　?。? A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞15 【考點】程序框圖． 【專題】計算題． 【分析】首先分析，要計算需要用到直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照程序執(zhí)行運算． 【解答】解：①的意圖為表示各項的分母， 而分母來看相差2 ∴n=n+2 ②的意圖是為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造滿足跳出循環(huán)的條件 而分母從1到29共15項 ∴i＞15 故選B． 【點評】本題考查程序框圖應(yīng)用，重在解決實際問題，通過把實際問題分析，經(jīng)判斷寫出需要填入的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題． 　 8． 三棱錐及其三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，則 A.B.C.D. 【答案】B 【考點】考查空間幾何體的表面積、棱長。 　 9．已知P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的任意一點，當(dāng)該區(qū)域的面積為4時，z=2x﹣y的 最大值是（　?。? A．6 B．0 C．2 D．2 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【專題】數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】由約束條件作出可行域，求出使可行域面積為4的a值，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合可得最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案． 【解答】解：由作出可行域如圖， 由圖可得A（a，﹣a），B（a，a）， 由，得a=2． ∴A（2，﹣2）， 化目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y為y=2x﹣z， ∴當(dāng)y=2x﹣z過A點時，z最大，等于22﹣（﹣2）=6． 故選：A． 【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題． 　 10．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則下列關(guān)系一定不成立的是（　?。? A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2 【考點】余弦定理． 【專題】解三角形． 【分析】利用余弦定理表示出cosA，將已知第一個等式代入求出cosA的值，確定出A度數(shù)，再利用正弦定理化簡第二個等式，求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，進而求出C的度數(shù)，確定出三角形ABC形狀，即可做出判斷． 【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc， ∴cosA==， ∴A=30， 由正弦定理化簡b=a，得到sinB=sinA=， ∴B=60或120， 當(dāng)B=60時，C=90，此時△ABC為直角三角形， 得到a2+b2=c2，2a=c； 當(dāng)B=120時，C=30，此時△ABC為等腰三角形， 得到a=c， 綜上，b=c不一定成立， 故選：B． 【點評】此題考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵． 　 11．已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)， ?=2（其中O為坐標(biāo)原點），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是（　?。? A． B． C． D． 【考點】拋物線的簡單性質(zhì)． 【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題． 【分析】先設(shè)直線方程和點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及?=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題． 【解答】解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB與x軸的交點為M（m，0）， x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根據(jù)韋達定理有y1?y2=﹣m， ∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2，從而（y1?y2）2+y1?y2﹣2=0， ∵點A，B位于x軸的兩側(cè)， ∴y1?y2=﹣2，故m=2． 不妨令點A在x軸上方，則y1＞0， 又F（，0）， ∴S△BFO+S△AFO=??y1+??|y2 =（y1+） ≥?2 = 當(dāng)且僅當(dāng)y1=，即y1=時，取“=”號， ∴△BFO與△AFO面積之和的最小值是， 故選：B． 【點評】求解本題時，應(yīng)考慮以下幾個要點： 1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式． 2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高． 3、利用基本不等式時，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”． 　 12．已知函數(shù)f（x）=g（x）=，則函數(shù)f[g（x）]的所有零點之和是（　?。? A． B． C． D． 【考點】函數(shù)的零點． 【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】先求得f[g（x）]的解析式，x≥0時，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0時，由=0，可解得：x=﹣，從而可求函數(shù)f[g（x）]的所有零點之和． 【解答】解：∵f（x）=g（x）=， ∴f[g（x）]=，且f[g（x）]=x2﹣2x+2，（ 0＜x＜2） 分情況討論：①x≥2或x=0時，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）； ②x＜0時，由=0，可解得：x=﹣． ③當(dāng) 0＜x＜2時，由x2﹣2x+2=0，無解． ∴函數(shù)f[g（x）]的所有零點之和是1=． 故選：B． 【點評】本題主要考察了函數(shù)的零點，函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于基本知識的考查． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷中的橫線上。 13．已知tanα=，則tan（α+）=　﹣?。? 【考點】兩角和與差的正切函數(shù)． 【專題】三角函數(shù)的求值． 【分析】由兩角和與差的正切函數(shù)公式即可求值． 【解答】解：tan（）===﹣． 故答案為：﹣． 【點評】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查． 　 14．若是等差數(shù)列，首項，則使成立的最大正整數(shù)是____________. 　【答案】4030 15．某次測量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)（xi，yi）具有較強的相關(guān)性，并計算得=x+1，其中數(shù)據(jù)（1，y0）因書寫不清，只記得y0是[0，3]任意一個值，則該數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值不大于1的概率為　?。埐?真實值﹣預(yù)測值） 【考點】回歸分析． 【專題】計算題；概率與統(tǒng)計． 【分析】求出預(yù)測值，再求出該數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值不大于1時y0的取值范圍，用幾何概型解答． 【解答】解：由題意，其預(yù)估值為1+1=2， 該數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值不大于1時，1≤y0≤3， 其概率可由幾何概型求得， 即該數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值不大于1的概率P==． 故答案為：． 【點評】本題考查了幾何概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題． 　 16．點 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積的最大值為　?。? 【考點】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積． 【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積． 【解答】解：根據(jù)題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設(shè)小圓的圓心為Q，球的半徑為r， 因為球的表面積為， 所以4πr2= 所以r=， 四面體ABCD的體積的最大值，底面積S△ABC不變，高最大時體積最大， 就是D到底面ABC距離最大值時，h=r+=2． 四面體ABCD體積的最大值為S△ABCh==， 故答案為：． 【點評】本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵． 　 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。 17． 已知函數(shù)． （1）若，求的值； （2）在銳角中，，，分別是角，，的對邊；若 的面積，求的值． 【答案】： ……2分 （1），則 ， … (2). ,所以. 又∵,所以,所以,即. 又∵為,且，所以. 由余弦定理得. 解得（舍負），所以. 18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求證：AC⊥PD； （Ⅱ）在線段PA上，是否存在點E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由． 【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定． 【專題】空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（I）利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明； （II）線段PA上，存在點E，使BE∥平面PCD．在△PAD中，分別取PA、PD靠近點P的三等分點E、F，連接EF．由平行線分線段成比例定理在三角形中的應(yīng)用，即可得到EF∥AD，．利用已知條件即可得到，得到四邊形BCFE為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明． 【解答】（Ⅰ）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥平面PCD， ∵PD?平面PCD， ∴AC⊥PD． （Ⅱ）線段PA上，存在點E，使BE∥平面PCD．下面給出證明： ∵AD=3， ∴在△PAD中，分別取PA、PD靠近點P的三等分點E、F，連接EF． ∵，∴EF∥AD，． 又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF， ∴四邊形BCFE是平行四邊形， ∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD， ∴BE∥平面PCD． 【點評】熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理在三角形中的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵． 　 19．某機械廠今年進行了五次技能考核，其中甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等，成績統(tǒng)計情況如莖葉圖所示（其中a是0﹣9的某個整數(shù) （1）若該廠決定從甲乙兩人中選派一人去參加技能培訓(xùn)，從成績穩(wěn)定性角度考慮，你認為誰去比較合適？ （2）若從甲的成績中任取兩次成績作進一步分析，在抽取的兩次成績中，求至少有一次成績在（90，100]之間的概率． 【考點】古典概型及其概率計算公式；莖葉圖． 【專題】概率與統(tǒng)計． 【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等，可得a值，求出方差比較后，可得結(jié)論； （2）先計算從甲的成績中任取兩次成績的抽法總數(shù)，和至少有一次成績在（90，100]之間的抽法數(shù)，代入古典概型概率計算公式可得答案． 【解答】解：（1）由已知中的莖葉圖可得： 甲的平均分為：（88+89+90+91+92）=90， 由甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等， 故乙的平均分：（84+88+89+90+a+96）=90， 解得：a=3， 則= [（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2， = [（84﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（93﹣90）2+（96﹣90）2]=17.2， ∵甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等，但＞， ∴從成績穩(wěn)定性角度考慮，我認為甲去比較合適， （2）若從甲的成績中任取兩次成績作進一步分析，共有=10種不同抽取方法， 其中至少有一次成績在（90，100]之間有： =7種方法， 故至少有一次成績在（90，100]之間的概率P= 【點評】本題考查了平均數(shù)與方差以及概率的計算問題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，解答時要注意第二問范圍不包括90在內(nèi)． 　 20． 已知橢圓的離心率為，右焦點為（，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（﹣3，2）． （Ⅰ）求橢圓G的方程； （Ⅱ）求△PAB的面積． 【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【專題】綜合題． 【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，右焦點為 （，0），知，由此能求出橢圓G的方程． （Ⅱ）設(shè)l：y=x+b，代入，得4x2+6bx+3b2﹣12=0，根據(jù)韋達定理，，故yA+yB=，由此能求出△PAB的面積． 【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為，右焦點為 （，0）， ∴，解得a=2， ∴b==2， ∴橢圓G的方程為． （Ⅱ）設(shè)l：y=x+b， 代入，得4x2+6bx+3b2﹣12=0， 根據(jù)韋達定理，， ∴yA+yB=， 設(shè)M為AB的中點，則M（﹣，），AB的中垂線的斜率k=﹣1， ∴AB的中垂線：x+y+=0，將P（﹣3，2）代入，得b=2， ∴l(xiāng)：x﹣y+2=0，根據(jù)弦長公式可得AB=3，d=， ∴S△PAB==． 【點評】本題考查橢圓方程和三角形面積的求法，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、中垂線方程的求法、弦長公式等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的靈活運用． 21．已知函數(shù)f（x）=ex﹣x﹣m（m∈R）． （1）當(dāng)x＞0時，f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍； （2）當(dāng)m=﹣1時，證明：（）f（x）＞1﹣． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】（1）令g（x）=ex﹣x，從而化恒成立問題為函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解； （2）化簡：（）f（x）=（x﹣lnx）（1﹣）；從而令h（x）=x﹣lnx，n（x）=1﹣，分別利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值，從而證明不等式． 【解答】解：（1）由題意得，ex﹣x﹣m＞0恒成立對x＞0恒成立， 令g（x）=ex﹣x， 則g′（x）=ex﹣1， 當(dāng)x＞0時，g′（x）=ex﹣1＞0， 故g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)， 故當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）=1； 故若使ex﹣x﹣m＞0恒成立對x＞0恒成立， 則只需使m≤1； （2）證明：（）f（x）=（x﹣lnx）（1﹣）； 令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=； 當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＜0， 當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0； 即h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)， ∴h（x）≥h（1）=1①． 令n（x）=1﹣，n′（x）=， 故n（x）=1﹣在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)； 故n（x）≥n（2）=1﹣②． 故由①②可得， （）f（x）＞1﹣． 【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化為最值問題的處理方法，屬于中檔題． 　 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答。注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一個題目計分，做答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選做題號后的方框涂黑。 22．如圖，△ABO三邊上的點C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB． （l）求證：直線AB是⊙O的切線； （2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半徑r的長． 【考點】與圓有關(guān)的比例線段． 【專題】立體幾何． 【分析】（1）如圖所示，連接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直線AB是EO的切線． （2）延長AO交⊙O于點F，連接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割線定理可得：AC2=AD?（AD+2r），即可得出． 【解答】（1）證明：如圖所示，連接OC． ∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直線AB是EO的切線． （2）解：延長AO交⊙O于點F，連接CF．由（1）可得∠ACD=∠F． ∵tan∠ACD=，∴tan∠F=． ∵△ACD∽△AFC， ∴， 而AD=2，∴AC=4． 由切割線定理可得：AC2=AD?（AD+2r）， ∴42=2（2+2r），解得r=3． 【點評】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 　 23． 選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為． （Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A，B，若點P的坐標(biāo)為（3，），求|PA|+|PB|． 【答案】（Ⅰ）由得 x2+y2﹣2y=0 即 x2+=5． （Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得+=5，即 t2﹣3t+4=0． 由于△=﹣44=2＞0，故可設(shè) t1、t2是上述方程的兩實根，所以． 直線l過點P（3，），故由上式及t的幾何意義得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3． 24．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a （Ⅰ）當(dāng)a=0時，解不等式f（x）≥g（x）； （Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【考點】絕對值不等式的解法；帶絕對值的函數(shù)． 【專題】不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=0時，由f不等式可得|2x+1|≥x，兩邊平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集． （Ⅱ）由f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，則 h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到從而所求實數(shù)a的范圍． 【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，兩邊平方整理得3x2+4x+1≥0， 解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集為 （﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞） （Ⅱ）由f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，即 h（x）=， 故 h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求實數(shù)a的范圍為[﹣，+∞）． 【點評】本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．