2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題08 含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題解題方法.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題08 含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題解題方法 一、陷阱類型 1.導(dǎo)數(shù)與不等式證明 2.極值點(diǎn)偏移問題 3.導(dǎo)函數(shù)為0的替換作用 4.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明 5.變形后求導(dǎo) 6.討論參數(shù)求參數(shù) 7.與三角函數(shù)有關(guān)的含參數(shù)的求導(dǎo)問題 8.構(gòu)造函數(shù)問題 9.恒成立求參數(shù) 二、陷阱類型分析及練習(xí) 1.導(dǎo)數(shù)與不等式證明 例1. 已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1)x． （1）討論的單調(diào)性； （2）當(dāng)a﹤0時(shí)，證明． （2）由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為 . 所以等價(jià)于，即. 設(shè)g（x）=lnx-x+1，則. 當(dāng)x∈（0,1）時(shí)， ；當(dāng)x∈（1，+）時(shí)， .所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時(shí)， ，即. 【放陷阱措施】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式. （2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). 練習(xí)1設(shè)函數(shù),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2. (1)求 (2)證明: 【答案】（I）；（II）詳見解析. 試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? . 由題意可得， .故， . （2）證明：由（1）知， ， 從而等價(jià)于. 設(shè)函數(shù)，則. 所以當(dāng)， ； 當(dāng)時(shí)， . 故在上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為. 設(shè)函數(shù)，則. 所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為. 綜上，當(dāng)時(shí)， ，即. 2.極值點(diǎn)偏移問題 例2. ．函數(shù) . （1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性； （2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明： . 【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【解析】試題分析： (2)由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知： 是方程的兩根，結(jié)合所給的不等式構(gòu)造對稱差函數(shù) ，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍即可證得題中的不等式. 試題解析： 函數(shù)的定義域?yàn)椋? （1）令，開口向上， 為對稱軸的拋物線， 當(dāng)時(shí)， ①，即時(shí)， ，即在上恒成立， ②當(dāng)時(shí)，由，得， 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)， ，即， （2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且， 則必有，且，且在上遞減，在和上遞增， 則， 因?yàn)槭欠匠痰膬筛? 所以，即， 要證 又 ， 即證對恒成立， 設(shè) 則 當(dāng)時(shí)， ，故， 所以在上遞增， 故， 所以， 所以. 【防陷阱措施】：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 練習(xí)1. 已知函數(shù)（其中）在點(diǎn)處的切線斜率為1. （1）用表示； （2）設(shè)，若對定義域內(nèi)的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）在（2）的前提下，如果，證明： . 【答案】（1）；（2）；（III）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）由題意即得； （2）在定義域上恒成立，即，由恒成立，得，再證當(dāng)時(shí)， 即可； （3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，要證明，等價(jià)于，需要證明，令，可證得在上單調(diào)遞增， 即可證得. 試題解析： （1），由題意 （2）在定義域上恒成立，即。 解法二：（分離變量）恒成立，分離變量可得 對恒成立， 令，則。 這里先證明，記，則， 易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，所以。 因此， ，且時(shí)， 所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是。 （3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，要證明，等價(jià)于， 只需要證明，這里， 令 ，求導(dǎo)得 . 注意當(dāng)時(shí)， ， ，（可由基本不等式推出）又 因此可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。 所以在上單調(diào)遞增， ，也即， 因此，此時(shí)都在單調(diào)遞增區(qū)間上， 所以，得 練習(xí)2已知常數(shù),函數(shù). (1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性; (2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍. 【答案】(1)詳見解析 (2) (2)利用第(1)可得到當(dāng)時(shí),導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)根,根據(jù)題意即為兩個(gè)極值點(diǎn),首先導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關(guān)于的表達(dá)式帶入,得到關(guān)于的不等式,然后利用導(dǎo)函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題. (1)對函數(shù)求導(dǎo)可得 ,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),即時(shí), 恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的. (2)函數(shù)的定義域?yàn)?由(1)可得當(dāng)時(shí), ,則 ,即,則為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),代入可得 = 令,令,由知: 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), ,對求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即不符合題意. 當(dāng)時(shí), ,對求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即恒成立, 綜上的取值范圍為. 3.導(dǎo)函數(shù)為0的替換作用 例3. （本小題滿分12分）設(shè)函數(shù). （Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí). 【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（Ⅱ）見解析 【解析】 試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí),，沒有零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn). （Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，. 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為. 由于，所以. 故當(dāng)時(shí)，. 【防陷阱措施】：證明不等式時(shí)注意使用導(dǎo)函數(shù)為0的式子作為已知條件證明不等式. 練習(xí)1已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性； （3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）， ． （2）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減．（3） 【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上符號變化規(guī)律，確定函數(shù)最值（2）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號是否變化進(jìn)行分類討論： 時(shí)， ， 時(shí)， ， 時(shí)，先負(fù)后正，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號對應(yīng)確定單調(diào)性（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值，由（2）得，即，整理化簡得，解得的取值范圍. 試題解析：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，∴. ∵的定義域?yàn)?，∴由? ∴在區(qū)間上的最值只可能在， ， 取到，而， ， ， ∴， （Ⅱ）， . ①當(dāng)，即時(shí)， ，∴在上單調(diào)遞減； ②當(dāng)時(shí)， ，∴在上單調(diào)遞增； ③當(dāng)時(shí)，由得，∴或（舍去） ∴在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 綜上，當(dāng)， 在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減； 4.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明 例4. 已知函數(shù)（）. （1）若在處取到極值，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范圍； （3）求證：當(dāng)時(shí)， . 【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析. 【解析】： 試題分析：（1）根據(jù)極值的概念得到，可得到參數(shù)值；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，研究函數(shù)的單調(diào)性，分時(shí)， 時(shí)， ，三種情況討論單調(diào)性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結(jié)果。 解析：（1）， ∵在處取到極值， ∴，即，∴， 經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)， 在處取到極小值. （2），令（）， 1當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，又， ∴時(shí)， ，不滿足在上恒成立. 2當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，過. ①當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，∴，從而在上單調(diào)遞增， 又，∴時(shí)， 成立，滿足在上恒成立； ②當(dāng)，即時(shí)，存在，使時(shí)， ， 單調(diào)遞減， 時(shí)， ， 單調(diào)遞增， ∴，又，∴，故不滿足題意. 3當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為， 在單調(diào)遞減， ， ∴， 在上單調(diào)遞減，又，∴時(shí)， ，故不滿足題意. 綜上所述， . （3）證明：由（1）知令，當(dāng)時(shí)， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）， ∴當(dāng)時(shí)， .即當(dāng)2,3,4，…， ，有 . 【防陷阱措施】：最后證明數(shù)列不等式時(shí)，把數(shù)列放縮成前后抵消或等比數(shù)列 練習(xí)1函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）設(shè)，證明：. 【答案】（1）（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)；（iii）當(dāng)時(shí)，在是上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）詳見試題分析． 【解析】 試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域，的導(dǎo)數(shù)：，再分，，三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得．同理當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得．下面再用數(shù)學(xué)歸納法證明． （1）的定義域?yàn)椋? （1）當(dāng)時(shí)，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)． （2）當(dāng)時(shí),成立當(dāng)且僅當(dāng)在上是增函數(shù)． （iii）當(dāng)時(shí)，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)． （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，即．又由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． （1）當(dāng)時(shí)，由已知，故結(jié)論成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即．當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)有，結(jié)論成立．根據(jù)（1）、（2）知對任何結(jié)論都成立． 考點(diǎn)：1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式． 5.變形后求導(dǎo) 例5. 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為， （1）求的值 （2）證明：當(dāng)時(shí)， 【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求待定系數(shù)的值；（2）構(gòu)造新函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)，利利用單調(diào)性和極值證明。 解：（Ⅰ），由題意知：即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， 設(shè)則， 當(dāng)時(shí)， ，而 故，當(dāng)?shù)茫? 從而，當(dāng)時(shí)，即 【防陷阱措施】：對于復(fù)雜的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題，需要兼顧左右兩端，以能夠持續(xù)化簡為準(zhǔn) 6.討論參數(shù)求參數(shù) 例6．設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù). （1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍； （2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論. 【答案】（1） （2）當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 【解析】（1）∵，考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?，故，進(jìn)而解得 ，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù). 由于在是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即. 令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 又在上有最小值，所以，即， 綜上所述，. （2）當(dāng)時(shí)，必是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令， 解得，即， ∵在上是單調(diào)函數(shù)，類似（1）有，即， 綜合上述兩種情況，有. ①當(dāng)時(shí)，由以及，得存在唯一的零點(diǎn)； ②當(dāng)時(shí)，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在是單調(diào)增函數(shù)，∴在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時(shí)，，則在上是單調(diào)增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn). ③當(dāng)時(shí)，令，解得. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. ∴是的最大值點(diǎn)，且最大值為. 1)當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn). 2)當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 實(shí)際上，對于，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時(shí)，，故在上是單調(diào)增函數(shù)，∴在上有一個(gè)零點(diǎn). 下面需要考慮在上的情況，先證， 為此，我們要證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，再設(shè)，則. 當(dāng)時(shí)，，∴在上是單調(diào)增函數(shù)， 故當(dāng)時(shí)，，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng) 時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)，即時(shí)，，又，且函數(shù) 在的圖象不間斷，∴在上存在零點(diǎn). 又當(dāng)時(shí)，，故在是單調(diào)減函數(shù)，所以，在上只有一個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 【防陷阱措施】：討論參數(shù)的分界點(diǎn)問題，一般是在不得不討論時(shí)再討論. 練習(xí)1已知函數(shù)，其中. （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （2）的取值范圍是 【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）對于任意，都有，轉(zhuǎn)化為，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可求函數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 因?yàn)椋? 所以當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞減， 所以對任意的，都有， 因?yàn)閷θ我獾?，都有? 所以，即，得， 所以當(dāng)時(shí)，對于任意的，都有， 當(dāng)時(shí)， ，由（1）得在上單調(diào)遞增， 所以對于任意，有， 因?yàn)閷τ谌我?，都有? 所以，即， 設(shè)，則， 設(shè)， 則，所以在上單調(diào)遞減， 則當(dāng)時(shí)， ， 此時(shí)不等式不成立， 綜上，所求的取值范圍是. 7.與三角函數(shù)有關(guān)的含參數(shù)的求導(dǎo)問題 例7. 已知函數(shù). (1)求證： ； (2)若對恒成立，求的最大值與的最小值. 【答案】（1）詳見解析；（2）的最大值為，的最小值為1. 【解析】試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，則，對分；；進(jìn)行討論， 用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)對恒成立時(shí)的最大值與的最小值. （1）由得， 因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 從而. （2）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”， 令，則， 當(dāng)時(shí)，對任意恒成立， 當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷θ我?，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對任意恒成立. 當(dāng)時(shí) ，存在唯一的使得， 、在區(qū)間上的情況如下表： 因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，進(jìn)一步“對任意恒成立” ，當(dāng)且僅當(dāng)，即. 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對任意恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對任意恒成立. 所以，若對恒成立，則的最大值為與的最小值1. 【防陷阱措施】：三角函數(shù)的求導(dǎo)注意符號問題 練習(xí)1. （I）證明當(dāng) （II）若不等式取值范圍. 【答案】（I）見解析（II） 【解析】（I）令， 即為增函數(shù)， 即為減函數(shù)， 故， 為減函數(shù)， （II） 下面證明， 綜上 直接移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，比較容易想到，但是求出導(dǎo)函數(shù)后又變得無從下手，這時(shí)候需要二次求導(dǎo)分析來解決。兩種解法各有特點(diǎn)。第二問主要是在第一問的基礎(chǔ)上利用不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為另一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析解答。 練習(xí)2設(shè)函數(shù)。 （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）如果對任何，都有，求的取值范圍。 【答案】（Ⅰ）在每一個(gè)區(qū)間（）是增函數(shù)， 在每一個(gè)區(qū)間（）是減函數(shù)。 （Ⅱ） （Ⅱ）令，則 。 故當(dāng)時(shí)， 。 又，所以當(dāng)時(shí)， ，即。 9分 當(dāng)時(shí)，令，則。 故當(dāng)時(shí)， 。 因此在上單調(diào)增加。 故當(dāng)時(shí)， ， 即。 于是，當(dāng)時(shí)， 。 當(dāng)時(shí)，有。 因此， 的取值范圍是。 12分 8.構(gòu)造函數(shù)問題 例8. 設(shè), 已知函數(shù) (Ⅰ) 證明在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增; (Ⅱ) 設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線相互平行, 且證明. 【答案】見解析 ②，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，即函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 綜合①②及，可知函數(shù)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增. (Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線相互平行，從而互不相等，且.不妨設(shè)， 由= = ，可得 ， 解得，從而， 設(shè)，則， 由= ，解得，所以 ， 設(shè)，則，因?yàn)?，所以? 故 = ，即 . 【防陷阱措施】：本題第（Ⅰ）問，可以分兩段來證明,都是通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷單調(diào)性；第(Ⅱ)問，由切線平行知，切線的斜率相等，然后構(gòu)造函數(shù)解決.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要分段判斷;證明不等式時(shí),一般構(gòu)造函數(shù)解決. 練習(xí)1設(shè)函數(shù)． （1）證明： 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； （2）若對于任意，都有，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ． 【解析】（Ⅰ）． 若，則當(dāng)時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ， ． 若，則當(dāng)時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ， ． 所以， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對于任意， 的充要條件是： 即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又， ，故當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)， ， ，即①式成立．當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性， ，即；當(dāng)時(shí)， ，即．綜上， 的取值范圍是． 練習(xí)2設(shè)，函數(shù). （1）若，求曲線在處的切線方程； （2）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)， ，求證： 【答案】（1）（2）（3）見解析 【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）由于無零點(diǎn)，且函數(shù)恒有負(fù)值，所以函數(shù)最大值必小于零，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍；也可先變量分離，根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)情況求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點(diǎn)條件可得，令，構(gòu)造函數(shù)， ，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，逆推可得結(jié)論 試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?， 當(dāng)時(shí)， ，則切線方程為， 即. （2）①若時(shí)，則， 是區(qū)間上的增函數(shù)， ∵， ， ∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)； ②若， 有唯一零點(diǎn)； ③若，令，得， 在區(qū)間上， ，函數(shù)是增函數(shù)； 在區(qū)間上， ，函數(shù)是減函數(shù)； 故在區(qū)間上， 的極大值為， 由于無零點(diǎn)，須使，解得， 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是. （3）要證，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)得. 由得，得. 所以原命題等價(jià)于證明. 因?yàn)?，故只需證，即. 令，則，設(shè)（），只需證. 而，故在單調(diào)遞增，所以. 綜上得. 練習(xí)3. 已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，證明： . 【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【解析】試題分析： （1）先求得函數(shù)的定義域?yàn)?，由及對取值的討論可得?dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）設(shè)， ，可得， 。故原不等式可化為證，等價(jià)于。在此基礎(chǔ)上，令，轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性可得不等式成立。 試題解析： （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ∵ ∴. ①當(dāng)時(shí)， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增. ②當(dāng)時(shí)， 則當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞減。 綜上，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. （2）由方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，可設(shè)， ∵， ， ∴， ∴. 要證，只需證，等價(jià)于， 設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為， 9.恒成立求參數(shù) 例9. 已知函數(shù) （I）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性； （II）若時(shí)，，求的取值范圍. 【答案】（I）當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)； （II） 【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， . 令，得，. 當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)； （1）直接利用求導(dǎo)的方法，通過導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）解題關(guān)鍵是利用求導(dǎo)的方法和不等式的放縮進(jìn)行證明. 【防陷阱措施】：恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題 三、高考真題演練 1.【xx課標(biāo)3，理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】 試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)滿足， 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值， 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ， 若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，時(shí)，此時(shí)函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)， 即，解得 .故選C. 【考點(diǎn)】 函數(shù)的零點(diǎn)；導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的數(shù)學(xué)思想 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 2.【xx課標(biāo)1，理21】已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 【解析】 試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，在對按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）題，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)正整數(shù)滿足，則 .由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).所以的取值范圍為. 試題解析：（1）的定義域?yàn)?，? （?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減. （ⅱ）若，則由得. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. （2）（?。┤?，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn). （ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為. ①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)； ②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)； ③當(dāng)時(shí)，，即. 又，故在有一個(gè)零點(diǎn). 設(shè)正整數(shù)滿足，則. 由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn). 綜上，的取值范圍為. 【考點(diǎn)】含參函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍. 【名師點(diǎn)睛】研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證有最小值兩邊存在大于0的點(diǎn). 3.【xx課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且。 (1)求； (2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。 【答案】(1)；(2)證明略。 【解析】 試題分析：(1)利用題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求得，注意驗(yàn)證結(jié)果的正確性； (2)結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性和的解析式即可證得題中的不等式。 試題解析： （1）的定義域?yàn)椤? 設(shè)，則，等價(jià)于。 因?yàn)?，因，而，得? 若，則。當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。所以是的極小值點(diǎn)，故 綜上，。 所以 在 有唯一零點(diǎn)，在 有唯一零點(diǎn)1， 且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， 。 因?yàn)?，所以是的唯一極大值點(diǎn)。 由得，故。 由 得 。 因?yàn)槭窃冢?,1）的最大值點(diǎn)， 由， 得。 所以。 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系。 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)。 (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題。 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 4.【xx天津，理20】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)，函數(shù)，求證：； （Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足. 【答案】 （1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是.（2）（3）證明見解析 【解析】試題分析：由于為，所以判斷的單調(diào)性，需要對二次求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間;由，得 ，.令函數(shù)，分別求導(dǎo)證明.有關(guān)零點(diǎn)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性了解函數(shù)的圖像情況，對極值作出相應(yīng)的要求可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 試題解析：（Ⅰ）由，可得， 進(jìn)而可得.令，解得，或. 當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表： x + - + ↗ ↘ ↗ 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是. （Ⅱ）證明：由，得， . 令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，，可得. 令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)，，可得. 所以，. （III）證明：對于任意的正整數(shù) ，，且， 令，函數(shù). 由（II）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn). 所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則. 由（I）知在上單調(diào)遞增，故， 于是. 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增， 所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點(diǎn)，而，故. 又因?yàn)椋?，均為整?shù)，所以是正整數(shù)， 從而. 所以.所以，只要取，就有. 【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】判斷的單調(diào)性，只需對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問題，先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對極值點(diǎn)作出相應(yīng)的要求，可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【xx年】 1．【xx高考新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：. 【答案】 【解析】 試題解析;（Ⅰ）． （i）設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)． （ii）設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增． 又,,取滿足且,則 , 故存在兩個(gè)零點(diǎn)． （iii）設(shè),由得或． 若,則,故當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)． 若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上,的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設(shè),由（Ⅰ）知,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即． 由于,而,所以 ． 設(shè),則． 所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),． 從而,故． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】,對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；,解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解. 2. 【xx高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分) 已知. （I）討論的單調(diào)性； （II）當(dāng)時(shí)，證明對于任意的成立. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類討論，求的單調(diào)性； （Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解. 試題解析： （Ⅰ）的定義域?yàn)椋? . 當(dāng)， 時(shí)，，單調(diào)遞增； ，單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí)，. （1），， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； （2）時(shí)，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增； （3）時(shí)，， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. 綜上所述， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)， ，， 令，. 則， 由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號. 又， 設(shè)，則在單調(diào)遞減， 因?yàn)椋? 所以在上存在使得 時(shí)，時(shí)，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號， 所以， 即對于任意的恒成立。 考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值；2.分類討論思想. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等. 3.【xx高考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知函數(shù). 設(shè). （1）求方程的根; （2）若對任意,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值； （3）若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】 試題分析：（1）①根據(jù)指數(shù)間倒數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求方程根②根據(jù)指數(shù)間平方關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值，即的最小值，最后根據(jù)基本不等式求最值（2）先分析導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況：唯一零點(diǎn)，再確定原函數(shù)單調(diào)變化趨勢：先減后增，從而結(jié)合圖像確定唯一零點(diǎn)必在極值點(diǎn)取得，而，因此極值點(diǎn)必等于零，進(jìn)而求出的值.本題難點(diǎn)在證明，這可利用反證法：若，則可尋找出一個(gè)區(qū)間，由結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)存在另一零點(diǎn)，與題意矛盾，其中可?。蝗簦砜傻? 試題解析：（1）因?yàn)?，所? ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由條件知. 因?yàn)閷τ诤愠闪?，且? 所以對于恒成立. 而，且， 所以，故實(shí)數(shù)的最大值為4. （2）因?yàn)楹瘮?shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，而， 所以0是函數(shù)的唯一零點(diǎn). 因?yàn)?，又由知? 所以有唯一解. 若，則，于是， 又，且函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點(diǎn)，記為. 因?yàn)?，所以，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”矛盾. 若，同理可得，在和之間存在的非0的零點(diǎn)，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】對于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù). 4.【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）證明：． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）； （Ⅲ）見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）直接可求；（Ⅱ）分兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出，但須注意當(dāng)時(shí)還須進(jìn)一步分為兩種情況求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三種情況證明． 試題解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 因此，． ………4分 當(dāng)時(shí)，將變形為． 令，則是在上的最大值，，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為． 令，解得（舍去），． （?。┊?dāng)時(shí)，在內(nèi)無極值點(diǎn)，，，，所以． （ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，知． 又，所以． 綜上，．　　 （Ⅲ）由（Ⅰ）得. 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，，所以. 當(dāng)時(shí)，，所以. 考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；3、三角函數(shù)的有界性． 【歸納總結(jié)】求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式將解析式化為形如的形式；（2）結(jié)合自變量的取值范圍，結(jié)合正弦曲線與余弦曲線進(jìn)行求解． 【xx年】 1.【xx福建理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考點(diǎn)定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)． 【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題． 2.【xx高考福建，理20】已知函數(shù)， (Ⅰ)證明：當(dāng)； (Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對 (Ⅲ)確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳見解析；(Ⅲ) ． 【解析】解法一：(1)令則有 當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減； 故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，． (2)令則有 當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, 故對任意正實(shí)數(shù)均滿足題意. 當(dāng)時(shí)，令得． 取對任意恒有,所以在上單調(diào)遞增, ,即. 綜上，當(dāng)時(shí)，總存在,使得對任意的恒有． (3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對于故， ， 令，則有 故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在. 當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對任意的任意的恒有． 此時(shí), 令，則有 故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為， 則當(dāng)，故滿足題意的t不存在. 當(dāng)，由（1）知，， 令，則有 當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故, 故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意. 綜上，. 解法二：（1）（2）同解法一. （3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對于， 故， 令， 從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在. 當(dāng)時(shí)，取 由（2）知存在,使得. 此時(shí), 令，此時(shí) , 記與中較小的為，則當(dāng)， 故滿足題意的t不存在. 當(dāng)，由（1）知，， 令，則有 當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故, 故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意． 綜上，. 【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【名師點(diǎn)睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí),我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這類問題的根本，從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以利用它來證明，在xx年全國Ⅰ卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)． 3.【xx高考天津，理20】已知函數(shù)，其中. (I)討論的單調(diào)性； (II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對于任意的正實(shí)數(shù)，都有； (III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： 【解析】(I)由，可得，其中且， 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)： 令，解得或， 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 類似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)， ，即對任意， 設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此. 由此可得. 因?yàn)椋?，故? 所以. 【考點(diǎn)定位】1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及利用函數(shù)證明不等式.第(I)小題求導(dǎo)后分為奇偶數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類討論的重要思想；第(II)(III)中都利用了構(gòu)造函數(shù)證明不等式這一重要思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法在解題中的重要作用，是撥高題.