2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復(fù)習 增分策略 專題五 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直試題.doc

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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復(fù)習 增分策略 專題五 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直試題 1．(xx北京)設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α.則“m∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2．(xx安徽)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 3．(xx江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； 　 　 (2)BC1⊥AB1. 　 　 1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等. 熱點一　空間線面位置關(guān)系的判定 空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法 (1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題； (2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進行判斷． 例1　(1)(xx廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 (2)平面α∥平面β的一個充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，a?α，a∥β C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 思維升華　解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中． 跟蹤演練1　已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不重合的平面，給出下列命題： ①若m⊥α，n⊥α，則m∥n； ②若m⊥α，m⊥n，則n∥α； ③若α⊥β，m∥α，則m⊥β； ④若m⊥α，m∥β，則α⊥β. A．0 B．1 C．2 D．3 熱點二　空間平行、垂直關(guān)系的證明 空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化． 例2　(xx廣東)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3. (1)證明：BC∥平面PDA； (2)證明：BC⊥PD； (3)求點C到平面PDA的距離． 　 　 　 　 　 思維升華　垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換． (2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a. 跟蹤演練2　如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點． 求證：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 　 　 　 　 　 　 熱點三　平面圖形的折疊問題 平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．一般地，在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法． 例3　如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2)． (1)求證：DE∥平面A1CB； (2)求證：A1F⊥BE； (3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？請說明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 思維升華　(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口；(2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進行邏輯推理，得出矛盾或肯定結(jié)論． 跟蹤演練3　(xx廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF； (2)求三棱錐M－CDE的體積． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個平面α，β內(nèi)，下列為真命題的是(　　) A．m⊥n?m⊥β B．m⊥n?α⊥β C．α∥β?m∥β D．m∥n?α∥β 2．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (1)求證：D1C⊥AC1； (2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E∥平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，說明理由． 　 　 　 　 　 　 提醒：完成作業(yè)　專題五　第2講 二輪專題強化練 專題五 第2講　空間中的平行與垂直 A組　專題通關(guān) 1．(xx西北工大附中四模)已知a、b、c是三條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，下列條件中，能推導(dǎo)出a⊥α的是(　　) A．a(chǎn)⊥b，a⊥c，其中b?α，c?α B．a(chǎn)⊥b，b∥α C．α⊥β，a∥β D．a(chǎn)∥b，b⊥α 2．(xx湖北)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則(　　) A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 3．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結(jié)論： ①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面．其中不正確的結(jié)論是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 4．已知α，β是兩個不同的平面，有下列三個條件： ①存在一個平面γ，γ⊥α，γ∥β； ②存在一條直線a，a?α，a⊥β； ③存在兩條垂直的直線a，b，a⊥β，b⊥α. 其中，所有能成為“α⊥β”的充要條件的序號是(　　) A．① B．② C．③ D．①③ 5．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 6．如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________． 7.如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題： ①PA∥平面MOB； ②MO∥平面PAC； ③OC⊥平面PAC； ④平面PAC⊥平面PBC. 其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)． 8．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________(寫出所有符合要求的圖形序號)． 9．(xx山東)如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點． (1)求證：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH. 10．(xx四川)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示． (1)請將字母F，G，H標記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)； (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系．并證明你的結(jié)論； (3)證明：直線DF⊥平面BEG. B組　能力提高 11．(xx遼寧師范大學附屬中學期中)已知平面α、β、γ，則下列命題中正確的是(　　) A．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，則b⊥α B．α⊥β，β⊥γ，則α∥γ C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，則a⊥b D．α∥β，β⊥γ，則α⊥γ 12.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF. 13．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號) ①AC⊥BE； ②B1E∥平面ABCD； ③三棱錐E－ABC的體積為定值； ④直線B1E⊥直線BC1. 14.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點． (1)證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE； (2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論． 學生用書答案精析 第2講　空間中的平行與垂直 高考真題體驗 1．B　[m?α，m∥β?α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分條件．] 2．D　[對于A，α，β垂直于同一平面，α，β關(guān)系不確定，A錯；對于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯；對于C，α，β不平行，但α內(nèi)能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯；對于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項，故D正確．] 3．證明　(1)由題意知，E為B1C的中點， 又D為AB1的中點，因此DE∥AC. 又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因為BC1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC. 因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因為AB1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. 熱點分類突破 例1　(1)D　(2)D 解析　(1)若l與l1，l2都不相交則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交． (2)若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D. 跟蹤演練1　C　[對于①，垂直于同一個平面的兩條直線平行，①正確； 對于②，直線n可能在平面α內(nèi)，所以推不出n∥α，②錯誤； 對于③，舉一反例，m?β且m與α，β的交線平行時，也有m∥α，③錯誤； 對于④，可以證明其正確性，④正確． 故選C.] 例2　(1)證明　因為四邊形ABCD是長方形， 所以BC∥AD，因為BC?平面PDA， AD?平面PDA， 所以BC∥平面PDA. (2)證明　因為四邊形ABCD是長方形，所以BC⊥CD，因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面PDC， 因為PD?平面PDC，所以BC⊥PD. (3)解　如圖，取CD的中點E，連接AE和PE. 因為PD＝PC，所以PE⊥CD， 在Rt△PED中，PE＝＝＝. 因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE?平面PDC， 所以PE⊥平面ABCD， 由(2)知：BC⊥平面PDC， 由(1)知：BC∥AD， 所以AD⊥平面PDC， 因為PD?平面PDC， 所以AD⊥PD.設(shè)點C到平面PDA的距離為h， 因為V三棱錐CPDA＝V三棱錐PACD， 所以S△PDAh＝S△ACDPE， 即h＝＝＝， 所以點C到平面PDA的距離是. 跟蹤演練2　證明　(1)如圖，取CE的中點G，連接FG，BG. ∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF＝DE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形， 則AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD， ∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 例3　(1)證明　因為D，E分別為AC，AB的中點， 所以DE∥BC. 又因為DE?平面A1CB，BC?平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB. (2)證明　由題圖(1)得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC， 所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD， 所以A1F⊥平面BCDE， 又BE?平面BCDE， 所以A1F⊥BE. (3)解　線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ. 理由如下： 如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC. 又因為DE∥BC， 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點， 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ. 跟蹤演練3　(1)證明　因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以PD⊥AD. 又因為ABCD是矩形，CD⊥AD，PD與CD交于點D， 所以AD⊥平面PCD.又CF?平面PCD， 所以AD⊥CF，即MD⊥CF. 又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF. (2)解　因為PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60， 所以PD＝，由(1)知FD⊥CF， 在直角三角形DCF中，CF＝CD＝. 過點F作FG⊥CD交CD于點G，得FG＝FCsin 60＝＝， 所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝， 所以MD＝＝ ＝. S△CDE＝DEDC＝1＝. 故VM－CDE＝MDS△CDE＝＝. 高考押題精練 1．C　[構(gòu)造長方體，如圖所示． 因為A1C1⊥AA1，A1C1?平面AA1C1C，AA1?平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直．所以選項A，B都是假命題． CC1∥AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項D為假命題． “若兩平面平行，則平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面”是真命題，故選C.] 2．(1)證明　在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接C1D， ∵DC＝DD1，∴四邊形DCC1D1是正方形， ∴DC1⊥D1C. 又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D， ∴AD⊥平面DCC1D1， 又D1C?平面DCC1D1， ∴AD⊥D1C. ∵AD?平面ADC1，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D， ∴D1C⊥平面ADC1， 又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1. (2)解　假設(shè)存在點E，使D1E∥平面A1BD. 連接AD1，AE，D1E， 設(shè)AD1∩A1D＝M， BD∩AE＝N，連接MN， ∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN， 要使D1E∥平面A1BD， 可使MN∥D1E， 又M是AD1的中點，則N是AE的中點． 又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE. 即E是DC的中點． 綜上所述，當E是DC的中點時， 可使D1E∥平面A1BD. 二輪專題強化練答案精析 第2講　空間中的平行與垂直 1．D　[選項A中缺少b，c相交；選項B，由a⊥b，b∥α可能a?α；選項C可能a?α或a∥α，選項D正確．] 2．A　[由l1，l2是異面直線，可得l1，l2不相交，所以p?q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是異面直線或l1∥l2，所以q?p.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件．故選A.] 3．B　[作出過M，N，P，Q四點的截面交C1D1于點S，交AB于點R，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點A1，C分別位于這個平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行， 故結(jié)論②不正確．] 4．D　[對于①，存在一個平面γ，γ⊥α，γ∥β，則α⊥β，反之也成立，即“存在一個平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要條件，所以①對，可排除B、C. 對于③，存在兩條垂直的直線a，b，則直線a，b所成的角為90， 因為a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角為90， 即α⊥β，反之也成立，即“存在兩條垂直的直線a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要條件，所以③對，可排除A，選D.] 5．D　[∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，∴BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以CD⊥平面ABD，則CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC， 又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故選D.] 6．平行 解析　由＝，得MN∥BD. 而BD?平面BDC，MN?平面BDC， 所以MN∥平面BDC. 7．②④ 解析?、馘e誤，PA?平面MOB；②正確；③錯誤，否則，有OC⊥AC，這與BC⊥AC矛盾；④正確，因為BC⊥平面PAC. 8．①③ 解析　對于①，注意到該正方體的面中過直線AB的側(cè)面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面MNP；對于②，注意到直線AB和過點A的一個與平面MNP平行的平面相交，因此直線AB與平面MNP相交；對于③，注意到此時直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行，且直線AB位于平面MNP外，因此直線AB與平面MNP平行；對于④，易知此時AB與平面MNP相交．綜上所述，能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號是①③. 9．證明　(1)方法一　連接DG，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH. 在三棱臺DEF-ABC中， AB＝2DE，G為AC的中點， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四邊形DFCG為平行四邊形． 則M為CD的中點， 又H為BC的中點， 所以HM∥BD，又HM?平面FGH，BD?平面FGH， 所以BD∥平面FGH. 方法二　在三棱臺DEF-ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四邊形HBEF為平行四邊形， 可得BE∥HF.在△ABC中，G為AC的中點， H為BC的中點，所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED. 又因為BD?平面ABED， 所以BD∥平面FGH. (2)連接HE，GE. 因為G，H分別為AC，BC的中點， 所以GH∥AB. 由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H為BC的中點， 所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四邊形EFCH是平行四邊形， 所以CF∥HE.又CF⊥BC， 所以HE⊥BC. 又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H， 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 10．(1)解　點F，G，H的位置如圖所示． (2)解　平面BEG∥平面ACH， 證明如下： 因為ABCD-EFGH為正方體， 所以BC∥FG，BC＝FG， 又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH， 所以BC∥EH，BC＝EH， 于是BCHE為平行四邊形， 所以BE∥CH， 又CH?平面ACH，BE?平面ACH， 所以BE∥平面ACH， 同理BG∥平面ACH， 又BE∩BG＝B， 所以平面BEG∥平面ACH. (3)證明　連接FH，BD. 因為ABCD-EFGH為正方體， 所以DH⊥平面EFGH， 因為EG?平面EFGH，所以DH⊥EG， 又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD， 又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG， 同理DF⊥BG， 又EG∩BG＝G， 所以DF⊥平面BEG. 11．D　[選項A中，缺少條件b?β，錯誤；B中，α、β、γ的關(guān)系可參考教室墻角處三個平面的關(guān)系，易知錯誤；C中的a，b可能平行或斜交．由兩平面平行的性質(zhì)可知D正確．] 12．a(chǎn)或2a 解析　由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，設(shè)AF＝x，則A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D， 得＝， 即＝， 整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a. 13．①②③ 解析　因AC⊥平面BDD1B1，故①、②正確；記正方體的體積為V，則VE－ABC＝ V為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯誤． 14．(1)證明　如圖，因為ABCD－A1B1C1D1為正方體， 所以B1C1⊥面ABB1A1. 因為A1B?面ABB1A1， 所以B1C1⊥A1B. 又因為A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1， 所以A1B⊥面ADC1B1. 因為A1B?面A1BE， 所以平面ADC1B1⊥平面A1BE. (2)解　當點F為C1D1中點時，可使B1F∥平面A1BE. 證明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝C1D. 設(shè)AB1∩A1B＝O，則B1O∥C1D且B1O＝C1D， 所以EF∥B1O且EF＝B1O， 所以四邊形B1OEF為平行四邊形．所以B1F∥OE. 又因為B1F?面A1BE，OE?面A1BE. 所以B1F∥面A1BE.