2019-2020年高一數(shù)學(xué) 專(zhuān)題02 點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系同步單元雙基雙測(cè)（B卷）（含解析）.doc

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2019-2020 年高一數(shù)學(xué) 專(zhuān)題 02 點(diǎn)，直線(xiàn)，平面之間的位置關(guān)系同步單元雙基雙測(cè) （B 卷） （含解析） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題 目要求的. 1. 已知直線(xiàn)，則直線(xiàn)至多可以確定平面的個(gè)數(shù)為 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C. 【解析】?jī)善叫兄本€(xiàn)可以確定一個(gè)平面，當(dāng)三條平行直線(xiàn)不共面時(shí)可以確定三個(gè)平面. 2. 對(duì)于平面、 、和直線(xiàn)、 、 、,下列命題中真命題是 （ ） A.若 ,則； ,amn??? B.若 則； /,ab????? C.若,則； D.若,則. 【答案】B. 【解析】 試題分析：由線(xiàn)面垂直的判定定理知，還需與 相 交 才 能 得 ， 故 錯(cuò)；由線(xiàn)面平行的判定定理，還需知，故錯(cuò)； 由面面平行的判定定理知，還需與 相 交 才 能 得 ，故錯(cuò). 所以選 B. 3. 已知是兩條不同的直線(xiàn)，是一個(gè)平面，且∥，則下列命題正確的是（ ） （A）若∥，則∥ （B）若∥，則∥ （C）若，則 （D）若，則 【答案】D 【解析】 試題分析：由 ∥，∥，可得或∥，不正確； 由∥，∥，可得∥或，相交或，互為異面直線(xiàn)，不正確； 由∥， ，可得∥或，相交，不正確； 由∥， ，可得，正確.選. 4. 正三棱柱中， ，則與平面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 5. 已知平面外不共線(xiàn)的三點(diǎn)到 α 的距離都相等,則正確的結(jié)論是( ) A.平面必平行于 B.平面必與相交 C.平面必不垂直于 D.存在△的一條中位線(xiàn)平行于或在內(nèi) 【答案】D 【解析】試題分析：已知平面外不共線(xiàn)的三點(diǎn)到 α 的距離都相等,因?yàn)檫@三點(diǎn)不一定在平面同一側(cè)，所以 平面必平行于錯(cuò)誤；若這三點(diǎn)在平面同一側(cè)，則平面必平行于，所以 B 錯(cuò). 平面有可能垂直于，所以 C 錯(cuò)； 由于平面外不共線(xiàn)的三點(diǎn)中必定有兩點(diǎn)在同一側(cè)，則在同一側(cè)的兩點(diǎn)所構(gòu)成的直線(xiàn)必平行于平面，即△中 存在一條邊平行于平面，所以該邊所對(duì)應(yīng)的中位線(xiàn)平行于或在內(nèi)，故 D 正確. 6. 【xx 遼寧高考理第 4 題】已知 m， n 表示兩條不同直線(xiàn)，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若則 B．若， ，則 C．若， ，則 D．若， ，則 【答案】 B 【解析】 試題分析：若 A．若則與可能平行、相交、異面，故 A 錯(cuò)誤； B．若， ，則，顯然成立； C．若， ，則或故 C 錯(cuò)誤； D．若， ，則或或與相交. 考點(diǎn)：1.命題的真假；2.線(xiàn)面之間的位置關(guān)系. 7. 【山東濱州 xx 高一下學(xué)期期末試題】正方體 ABCD﹣A 1B1C1D1中 AB 的中點(diǎn)為 M，DD 1的中點(diǎn)為 N，則異面 直線(xiàn) B1M 與 CN 所成的角是（ ）. A 0 B． 45 C． 60 D． 90 【答案】D 考點(diǎn)：異面直線(xiàn)所成的角. 8. 【山東濱州 xx 高一下學(xué)期期末試題】如圖，在三棱錐 S﹣ABC 中，底面是邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形，側(cè) 棱長(zhǎng)均為 2，SO⊥底面 ABC，O 為垂足，則側(cè)棱 SA 與底面 ABC 所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析:由題意得，SO⊥底面 ABC，O 為垂足，則側(cè)棱 SA 與底面 ABC 所成角即;該三棱錐是正三棱錐，在 底面上的射影是的中心,也是重心，由重心定理得,又因?yàn)?所以,即側(cè)棱 SA 與底面 ABC 所成角的余弦值為. 考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角. 9. 【xx 高考廣東卷理第 7 題】若空間中四條直線(xiàn)兩兩不同的直線(xiàn)、 、 、 ，滿(mǎn)足， ， ，則下列結(jié)論一定正確的是 （ ） A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置關(guān)系不確定 【答案】D 【解析】如下圖所示，在正方體中，取為，為，取為，為， D1C1B1 A1 D CBA ；取為，為，則；取為，為，則與異面，因此、的位置關(guān)系不確定，故選 D. 10. 【xx 四川高考理第 8 題】如圖，在正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段上，直線(xiàn)與平面所成的角 為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則 1111312,3, ,22ACAOCOC????，所以1 132cos,sinAOCO?????? ， 1 16cos,sin332A?????. 又直線(xiàn)與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為，選 B. 11. 【xx 重慶高考理第 7 題】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A.54 B.60 C.66 D.72 【答案】B 【解析】 試題分析： 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱的一部分，其直觀圖如上圖所示， 其中,側(cè)面是矩形，其余兩個(gè)側(cè)面是直角梯形，由于,, 平面平面,所以平面,所以平面，所以， 故三角形是直角三角形，且 ,22111345ABE??? 所以幾何體的表面積為： 1111CABACABBCSSS? ?矩 形 梯 形 梯 形 = 60????1345352422????? 故選 B. 12． 【改編題】已知二面角為， ， ，A 為垂足， ， ， ，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為 （ ） A． B． C． D． 【答案】B. βαEl BDACG 【解析】如圖作于，連結(jié)，過(guò)作∥，作于，連結(jié)，則設(shè)．在中， 在中，60,9,2,.BAEBAaE??????? 在中，245,90,cos45.GCGaa????? 異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，故選 B． 2cos,aAB? 【考點(diǎn)】1.三垂線(xiàn)定理及其逆定理；2. 空間角（異面直線(xiàn)所成角）的計(jì)算． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空題（本大題共 4 小題，每題 5 分，滿(mǎn)分 20 分，將答案填在答題紙上） 13. 長(zhǎng)方體 ABCD－A 1B1C1D1中，AB＝AA 1＝2，AD＝1，E 為 CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn) BC1與 AE 所成角的余弦 值為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】 試題分析：由題知，連接， ， ， ， ，異面直線(xiàn) BC1與 AE 所成角，即為與所成的角，在中， ，在中 ，在中215AD???226AEBCE??? ，故由余弦定理，中， ．222111EC ????222156530cos 1AD????? 考點(diǎn)：余弦定理，異面直線(xiàn)所成的角,空間想象能力． 14. 如圖，三角形 ABC 是直角三角形，ACB=，PA 平面 ABC，此圖形中有____________個(gè)直角三角形. 圖 3 【答案】4 【解析】 試題分析：已知 ,平面,所以面,， 均為直角，ACBAC????09 PCBAPB???,,, 所以共 4 個(gè)直角三角形. 考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的關(guān)系 15.【山東省濱州市 xx 高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】如圖，在四棱錐 S﹣ABCD 中，底面是邊長(zhǎng)為 1 的正 方形，SD⊥底面 ABCD，且 SD=，則平面 BSC 與底面 ABCD 所成銳二面角的大小為 _________ ． 【答案】. 【解析】 試題分析:;因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為 1 的正方形,所以;又因?yàn)?所以是平面 BSC 與BCADBSC?平 面平 面 ? 底面 ABCD 所成二面角的平面角；在中，,則,即平面 BSC 與底面 ABCD 所成銳二面角的大小為. 考點(diǎn)：二面角. 16. 【原創(chuàng)題】如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過(guò)三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為.若， ，梯形 的面積為 6，則平面與底面所成二面角大小為 . 【答案】. 【解析】如圖，在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是. 所以為平面與底面所成二面角的平面角. 因?yàn)椤危?，所以. 又因?yàn)樘菪蔚拿娣e為 6， ，所以. 于是 .11πtan,4AEE??? 故平面與底面所成二面角的大小為. 三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. （本小題滿(mǎn)分 11 分）如圖長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn). E A O C B D D1 A1 C1 B1 ⑴求證：； ⑵如果 ，求的長(zhǎng).12,,EO?? 【答案】 （1）證明見(jiàn)解析；（2） ． 【解析】 試題分析：（1）要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，一般可先證線(xiàn)面垂直，這個(gè)平面要包含其中一條直線(xiàn)，本題中有許多垂 直關(guān)系，如，而平面，因此有平面，正好是平面內(nèi)的直線(xiàn)，問(wèn)題得證；（2）我們采取空間問(wèn)題平面化， 所有條件都可在矩形內(nèi)，利用平面幾何知識(shí)解題，由于，則有，這兩個(gè)三角形中，有，又，這時(shí)可求出， 從而求出的長(zhǎng)． 試題解析：（1）是正方形，∴，又長(zhǎng)方體的側(cè)棱平面，∴, ，故有平面，又，∴． 7 分 （2）在長(zhǎng)方體中，是矩形，由，得，∴，從而，∴，又底面正方形的邊長(zhǎng)為 2，故， ，又，∴，從而． 14 分 說(shuō)明：用空間向量知識(shí)求解相應(yīng)給分． 考點(diǎn)：（1）空間兩直線(xiàn)垂直；（2）求線(xiàn)段長(zhǎng)． 18. （本小題滿(mǎn)分 11 分） 【淮北一中 xx 第二學(xué)期高一期末試卷】如圖所示，在四棱錐中，平面， ， ，是的 中點(diǎn)，是上的點(diǎn)且，為△中邊上的高. （1）證明：平面； （2）若， ， ，求三棱錐的體積； (第 18 題圖） 【答案】(2)體積 【解析】 19. （本小題滿(mǎn)分 12 分） 【遼寧大連 xx 下學(xué)期省五校競(jìng)賽試題】已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱,ABCD- A1B1C1D1的底面是菱形，且 AD=A A1， 點(diǎn) F 為棱 BB1的中點(diǎn)，點(diǎn) M 為線(xiàn)段 AC1的中點(diǎn). (1)求證： MF∥平面 ABCD (2)求證：平面 AFC1⊥平面 ACC1A1 D1 A1 11 A B CD B1 C1 F M 【答案】 （1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析． 【解析】 （2）連接 BD，由題知平面 AB-CD，又平面 ABCD，. 四邊形 ABCD 為菱形，. 又,平面,平面,平面. 在四邊形 DANB 中，DA∥BN,且 DA=BN,，四邊形 DANB 為平行四邊形，∥BD，平面。又平面，平面⊥平面. 考點(diǎn)：1.線(xiàn)面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 20. （本小題滿(mǎn)分 12 分） 【浙江省金華十校高二下學(xué)期期末試題】如圖，已知三角形△ABC 與△BCD 所在 平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90，AB=AC，CB=CD，點(diǎn) P，Q 分別在線(xiàn)段 BD，CD 上，沿直線(xiàn) PQ 將△PQD 向上翻折，使 D 與 A 重合． （Ⅰ）求證：AB⊥CQ； （Ⅱ）求 BP 的長(zhǎng)； （Ⅲ）求直線(xiàn) AP 與平面 BCD 所成的角． 【答案】 （I）見(jiàn)解析;（Ⅱ）1;（Ⅲ）45 【解析】 試題分析：（I）由面 ABC⊥面 BCQ 又 CQ⊥BC 推出 CQ⊥面 ABC,再推出 CQ⊥AB;（Ⅱ）作 AO⊥BC，垂足為 O，則 AO⊥平面 BCQ，連接 OP，由沿直線(xiàn) PQ 將△PQD 向上翻折，使 D 與 A 重合可知 AP=DP 即 ，解得 BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知 AO⊥平面 BCD，所以20245cosDPAOBPB????? ∠APO 是直線(xiàn) AP 與平面 BCD 所成的角， ，因此直線(xiàn) AP245cos202 ?????BPOBOP 與平面 BCD 所成的角為 45. 試題解析：（I）證明：∵面 ABC⊥面 BCQ 又 CQ⊥BC ∴CQ⊥面 ABC ∴CQ⊥AB； （Ⅱ）解：作 AO⊥BC，垂足為 O，則 AO⊥平面 BCQ，連接 OP， 設(shè) AB=1，則 BD=2，設(shè) BP=x， 由題意 AP=DP， ∴ ， ∴x=1； （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知 AO⊥平面 BCD， ∴∠APO 是直線(xiàn) AP 與平面 BCD 所成的角， ∴∠APO=45， ∴直線(xiàn) AP 與平面 BCD 所成的角為 45． 考點(diǎn)：1.空間直線(xiàn)的位置關(guān)系的判定;2.空間兩點(diǎn)間的距離;3.線(xiàn)面角的求解 21. （本小題滿(mǎn)分 12 分） 【xx 高考湖南理第 19 題】如圖 6,四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等, ,四邊形和四邊形為矩形.11,ACBDO??? (1)證明:底面; (2)若,求二面角的余弦值. 【答案】(1) 詳見(jiàn)解析 (2) 【解析】 試題分析:(1)要證明線(xiàn)面垂直,只需要在面內(nèi)找到兩條相交的線(xiàn)段與之垂直即可,即證明與垂直,首先利用 四棱柱所有棱相等,得到上下底面為菱形,進(jìn)而得到均為中點(diǎn),得到三者相互平行,四邊形均為矩形與平行相 結(jié)合即可得到與垂直,進(jìn)而證明線(xiàn)面垂直. (2)要求二面角,此問(wèn)可以以以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標(biāo)系,利用空間向量的 方法得到二面角的余弦值,在此說(shuō)明第一種方法,做出二面角的平面角, 過(guò)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn),連接.利用(1) 得到,在利用四邊形為菱形,對(duì)角線(xiàn)相互垂直,兩個(gè)垂直關(guān)系即可得到垂直于平面,進(jìn)而得到,結(jié)合得到線(xiàn)面 垂直,說(shuō)明角即為哦所求二面角的平面角,設(shè)四棱柱各邊長(zhǎng)為,利用勾股定理求出相應(yīng)邊長(zhǎng)即可得到角的余 弦值,進(jìn)而得到二面角的余弦值. 試題解析:(1)證明:四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等 四邊形和四邊形均為菱形 11,ACBDO??? 分別為中點(diǎn) 四邊形和四邊形為矩形 且 又且底面 底面. (2)過(guò)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn),連接.不妨設(shè)四棱柱的邊長(zhǎng)為. 底面且底面面 面 又面 四邊形為菱形 又且,面 面 又面 又且,面 面 為二面角的平面角,則 且四邊形為菱形 , ,211112, 7OaBOa??? 則 111121sin37HBa??AA 再由的勾股定理可得 ,2211 9CH??? 則 ,所以二面角的余弦值為. 21579a? 22. （本小題滿(mǎn)分12分） 【xx 高考湖北理第19題】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別 在棱,上移動(dòng)，且. （1）當(dāng)時(shí)，證明：直線(xiàn)平面； （2）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】 （1）詳見(jiàn)解析；（2） 試題解析：幾何法： （1）證明：如圖 1，連結(jié)，由是正方體，知， 當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以， 所以， 而平面，且平面， 故平面. （2）如圖 2，連結(jié)，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)， 所以，且，又， ， 所以四邊形是平行四邊形， 故，且， 從而，且， 在和中，因?yàn)椋?， 于是， ，所以四邊形是等腰梯形， 同理可證四邊形是等腰梯形， 分別取、 、的中點(diǎn)為、 、 ，連結(jié)、 ， 則， ，而， 故是平面與平面所成的二面角的平面角， 若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則， 連結(jié)、 ，則由，且，知四邊形是平行四邊形， 連結(jié)，因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，所以， 在中， ， ，21)(1222??????OH ，)()((222?G 由得，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.