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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 第二篇 第2講 填空題的解法技巧
題型概述
填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點，突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力．
由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結(jié)果必須準確、規(guī)范，因此得分率較低，解答填空題的第一要求是“準”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，不可“小題大做”．
方法一 直接法
直接法就是直接從題設出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題．直接法是求解填空題的基本方法．
例1 (1)(xx湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示
若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是________．
(2)(xx北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________.
解析 (1)由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運動員，落在區(qū)間[139,151]上的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名．
(2)由余弦定理：
cos A＝＝＝，∴sin A＝，
cos C＝＝＝，∴sin C＝，
∴＝＝1.
答案 (1)4 (2)1
思維升華 利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準確地求解填空題的關(guān)鍵．
跟蹤演練1 (1)(xx韶關(guān)聯(lián)考)已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1||PF2|的最大值是________．
(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的兩根tan α，tan β，且α，β∈(－，)，則α＋β＝________.
方法二 特例法
當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進行處理，從而得出待求的結(jié)論．這樣可大大地簡化推理、論證的過程．
例2 (1)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝_____________________________________.
(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析 (1)把平行四邊形ABCD看成正方形，
則點P為對角線的交點，AC＝6，則＝18.
(2)此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性和對稱軸方程，條件多，將各種特殊條件結(jié)合的最有效方法是把抽象函數(shù)具體化．根據(jù)函數(shù)特點取f(x)＝sinx，
再由圖象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－62)＋(22)＝－8.
答案 (1)18 (2)－8
思維升華 求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解．
跟蹤演練2 (xx課標全國Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.
方法三 數(shù)形結(jié)合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應的圖形．
例3 (1)已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是________________________________________________________________________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|，則不等式f(－x)≤f(1)的解集為________．
解析 (1)畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，
∴d＝()2＝()2＝2.
最大值為點Q到點A的距離的平方，∴d＝16.
∴取值范圍是[2,16]．
(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，從而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集為[－1，＋∞)．
答案 (1)[2,16] (2)[－1，＋∞)
思維升華 數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷得到問題的結(jié)論，充分應用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)．數(shù)形結(jié)合法是高考的熱點，應用時要準確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系．
跟蹤演練3 (1)(xx山西大學附中月考)若方程x3－3x＝k有3個不等的實根，則常數(shù)k的取值范圍是_________________________________________________________．
(2)(xx蘭州一中期中)設函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則函數(shù)y＝g(x)＝f(x)－x的零點個數(shù)為________．
方法四 構(gòu)造法
構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學模型，使問題快速解決．
例4 (1)如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________．
(2)，，(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是________________．
解析 (1)如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的體積V＝＝π.
(2)由于＝，＝，＝，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，因此有f(4)
1)＝0.2，則P(－1<ξ<0)＝0.6；
⑤已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為＋＝2(n≠4)．
則正確命題的序號為________(寫出所有正確命題的序號)．
知識方法總結(jié) 六招拿下填空題：
(一)直接法 (二)特例法 (三)數(shù)形結(jié)合法 (四)構(gòu)造法
(五)歸納推理法 (六)正反互推法
填空題突破練
A組 專題通關(guān)
1．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，則x＝________，y＝________.
2．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的函數(shù)g(x)＝f(x)－m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
3．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)(x>0)的圖象與x軸的交點從左到右依次為(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，…，則數(shù)列{xn}的前4項和為________．
4．(xx杭州外國語學校期中)設a＞0，在二項式(a－)10的展開式中，含x的項的系數(shù)與含x4的項的系數(shù)相等，則a的值為________．
5．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是________．
6．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，則a，b，c的大小關(guān)系為________．
7．觀察下列不等式：
1＋＜
1＋＋＜
1＋＋＋＜
……
照此規(guī)律，第五個不等式為_____________________________________________．
8．若函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式exf(x)>ex＋1的解集是________．
9．(xx珠海模擬)已知函數(shù)f(x)＝()x－sin x，則f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)為________．
10．整數(shù)數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，若此數(shù)列的前800項的和是2 013，前813項的和是2 000，則其前2 014項的和為________．
11．設命題p：≤0，命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．
12．(xx山東)執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的T的值為________.
B組 能力提高
13．已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，則f()＝________.
14．已知O是坐標原點，點M的坐標為(2,1)，若點N(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則的最大值是________．
15．設函數(shù)f(x)＝則f[f(－1)]＝________.若函數(shù)g(x)＝f(x)－k存在兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是________．
16．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a、b在α上的投影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．
在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)
學生用書答案精析
第2講 填空題的解法技巧
跟蹤演練1 (1)8 (2)－π或
解析 (1)由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1||PF2|≤()2＝8，(當且僅當|PF1|＝|PF2|時取等號)
∴|PF1||PF2|的最大值是8.
(2)由已知可得tan α＋tan β＝－3a，
tan αtan β＝3a＋1，
tan(α＋β)＝＝＝1，
因為α，β∈(－，)，
所以－π<α＋β<π，
所以α＋β＝－π或.
跟蹤演練2 1
解析 ∵f(1)＝f(－1)，
∴l(xiāng)n(1＋)＋ln(－1＋)＝0，
∴l(xiāng)n a＝0，∴a＝1.
經(jīng)驗證a＝1符合題意．
跟蹤演練3 (1)(－2,2) (2)3
解析 (1)設f(x)＝x3－3x，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，當x<－1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當－11時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，f(－1)＝2，f(1)＝－2，要有三個不等實根，則直線y＝k與y＝f(x)的圖象有三個交點，∴－21)＝0.2，
可得P(ξ<－1)＝0.2，
所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故錯誤；
⑤根據(jù)驗證可知得到一般性的等式是正確的．
填空題突破練
1．－1?。?
解析 由A＝B知需分多種情況進行討論，
由lg(xy)有意義，則xy>0.
又0∈B＝A，則必有l(wèi)g(xy)＝0，即xy＝1.
此時，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．
∴或解得x＝y(tǒng)＝1或x＝y(tǒng)＝－1.當x＝y(tǒng)＝1時，
A＝B＝{0,1,1}與集合元素的互異性矛盾，應舍去；
當x＝y(tǒng)＝－1時，
A＝B＝{0，－1,1}滿足題意，故x＝y(tǒng)＝－1.
2．(1,2]
解析 g(x)＝f(x)－m有兩個零點等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝m的圖象有兩個交點，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知m的取值范圍是(1,2]．
3．26
解析 令f(x)＝sin(x＋)＝0，
則x＋＝kπ(k∈N*)，
∴x＝3k－1(k∈N*)，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26.
4．1
解析 Tk＋1＝C(－)ka10－k，
令k＝2時，x的系數(shù)為Ca8，令k＝8時，x4的系數(shù)為Ca2，∴Ca8＝Ca2，即a＝1，故答案為1.
5.－1
解析 點P到拋物線的準線距離等于點P到拋物線焦點F(1,0)的距離．圓心坐標是(0,4)，圓心到拋物線焦點的距離為，即圓上的點Q到拋物線焦點的距離的最小值是－1，這個值即為所求．
6．a(chǎn)＞b＞c
解析 令f(x)＝ln x－x，則f′(x)＝－1＝.
當0＜x＜1時，f′(x)＞0，
即函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)．
∵1＞ ＞＞＞0，
∴a＞b＞c.
7．1＋＋＋＋＋<
8．{x|x>0}
解析 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exf(x)－ex－1，求導得到g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．
由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)為R上的增函數(shù)．又g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以exf(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集為{x|x>0}．
9．2
解析 因為函數(shù)f(x)＝()x－sin x，則
f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)等于函數(shù)y＝()x與函數(shù)y＝sin x在區(qū)間[0,2π]內(nèi)的交點的個數(shù)，在同一坐標系中畫出上述兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，兩函數(shù)在區(qū)間[0,2π]內(nèi)有兩個不同的交點，所以函數(shù)f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)為2.
10．987
解析 a3＝a2－a1，a4＝a3－a2，a5＝a4－a3，a6＝a5－a4，a7＝a6－a5，…，∴a1＝a7，a2＝a8，a3＝a9，a4＝a10，a5＝a11，…，{an}是以6為周期的數(shù)列，且有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S800＝a1＋a2＝2 013，S813＝a1＋a2＋a3＝2 000，a3＝－13，
∴
∴a2＝1 000，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2＋a3＝1 000＋(－13)＝987.
11．[0，)
解析 由≤0，得≤x<1；
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，得a
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