2019-2020年高考數(shù)學復習 立體幾何問題的題型與方法教案 蘇教版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學復習 立體幾何問題的題型與方法教案 蘇教版 一．復習目標： 1．在掌握直線與平面的位置關系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關系)的基礎上，研究有關平行和垂直的的判定依據(定義、公理和定理)、判定方法及有關性質的應用；在有關問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關公理、定理的內容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉化的數(shù)學思想的應用． 2．在掌握空間角(兩條異面直線所成的角，平面的斜線與平面所成的角及二面角)概念的基礎上，掌握它們的求法(其基本方法是分別作出這些角，并將它們置于某個三角形內通過計算求出它們的大小)；在解決有關空間角的問題的過程中，進一步鞏固關于直線和平面的平行垂直的性質與判定的應用，掌握作平行線(面)和垂直線(面)的技能；通過有關空間角的問題的解決，進一步提高學生的空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力． 3．通過復習，使學生更好地掌握多面體與旋轉體的有關概念、性質，并能夠靈活運用到解題過程中．通過教學使學生掌握基本的立體幾何解題方法和常用解題技巧，發(fā)掘不同問題之間的內在聯(lián)系，提高解題能力． 4．在學生解答問題的過程中，注意培養(yǎng)他們的語言表述能力和“說話要有根據”的邏輯思維的習慣、提高思維品質．使學生掌握化歸思想，特別是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題的思想意識和方法，并提高空間想象能力、推理能力和計算能力． 5．使學生更好地理解多面體與旋轉體的體積及其計算方法，能夠熟練地使用分割與補形求體積，提高空間想象能力、推理能力和計算能力． 二．考試要求： （1）掌握平面的基本性質，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關系。 （2）了解空兩條直線的位置關系，掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離）。 （3）了解空間直線和平面的位置關系，掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理，理解直線和平面垂直的判定定理和性質定理，掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念，了解三垂線定理及其逆定理。 （4）了解平面與平面的位置關系，掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離的概念，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質定理。 （5）會用反證法證明簡單的問題。 （6）了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖。 （8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖。 （9）了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式。 三．教學過程： （Ⅰ）基礎知識詳析 高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點在20個以內. 選擇填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當然, 二者均應以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著“多一點思考,少一點計算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉體為載體的線面位置關系的論證,角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題. 1．有關平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律——充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力． 2． 判定兩個平面平行的方法： （1）根據定義——證明兩平面沒有公共點； （2）判定定理——證明一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面； （3）證明兩平面同垂直于一條直線。 3．兩個平面平行的主要性質： ⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。 ⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。 ⑶兩個平面平行的性質定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那 么它們的交線平行”。 ⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。 ⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。 ⑹經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。 以上性質⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為“性質定理”，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。 4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關系，空間的角主要研究射影以及與射影有關的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉化為平面問題去解決． 空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關系進行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角 θ∈(0，]，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈(0，π]． 對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉化為一個平面內的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內角來解決，而這種轉化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應用．通過空間角的計算和應用進一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力． 如求異面直線所成的角常用平移法（轉化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角（記作q）通常有以下幾種方法： (1) 根據定義； (2) 過棱l上任一點O作棱l的垂面g，設g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q(圖1)； (3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內一點A，分別作另一個平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q(圖2)； (4) 設A為平面a外任一點，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q(圖3)； (5) 利用面積射影定理，設平面a內的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面b內的射影圖形的面積為S，則cosq＝. 圖 1 圖 2 圖 3 5.空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離． 求距離的一般方法和步驟是：一作——作出表示距離的線段；二證——證明它就是所要求的距離；三算——計算其值．此外，我們還常用體積法求點到平面的距離． 6．棱柱的概念和性質 ⑴理解并掌握棱柱的定義及相關概念是學好這部分知識的關鍵，要明確“棱柱 直棱柱 正棱柱”這一系列中各類幾何體的內在聯(lián)系和區(qū)別。 ⑵平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體 直平行六面體 長方體 正四棱柱 正方體”這一系列中各類幾何體的內在聯(lián)系和區(qū)別。 ⑶須從棱柱的定義出發(fā)，根據第一章的相關定理對棱柱的基本性質進行分析推導，以求更好地理解、掌握并能正確地運用這些性質。 ⑷關于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質外，還須掌握由其定義導出的一些其特有的性質，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應的性質，恰當?shù)剡\用平行四邊形的性質及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。 ⑸多面體與旋轉體的問題離不開構成幾何體的基本要素點、線、面及其相互關系，因此，很多問題實質上就是在研究點、線、面的位置關系，與《直線、平面、簡單幾何體》第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個角度來看，點、線、面及其位置關系仍是我們研究的重點．多面體與旋轉體的體積問題是《直線、平面、簡單幾何體》課程當中相對獨立的課題．體積和面積、長度一樣，都是度量問題．常用“分割與補形”，算出了這些幾何體的體積． 7．歐拉公式:如果簡單多面體的頂點數(shù)為V，面數(shù)F，棱數(shù)E，那么V+F-E＝2. 計算棱數(shù)E常見方法： (1)E＝V+F-2； (2)E＝各面多邊形邊數(shù)和的一半； (3)E＝頂點數(shù)與共頂點棱數(shù)積的一半。 8．經緯度及球面距離 ⌒ ⑴根據經線和緯線的意義可知，某地的經度是一個二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個線面角的度數(shù)，設球O的地軸為NS，圓O是0緯線，半圓NAS是0經線，若某地P是在東經120，北緯40，我們可以作出過P的經線NPS交赤道于B，過P的緯線圈圓O1交NAS于A，那么則應有：∠AO1P=120(二面角的平面角) ，∠POB=40（線面角）。 ⌒ ⌒ ⌒ ⑵兩點間的球面距離就是連結球面上兩點的大圓的劣弧的長，因此，求兩點間的球面距離的關鍵就在于求出過這兩點的球半徑的夾角。 ⌒ 例如，可以循著如下的程序求A、P兩點的球面距離。 線段AP的長 ∠AOP的弧度數(shù) 大圓劣弧AP的長 9．球的表面積及體積公式 S球表=4πR2 V球=πR3 ⑴球的體積公式可以這樣來考慮：我們把球面分成若干個邊是曲線的小“曲邊三角形”；以球心為頂點，以這些小曲邊三角形的頂點為底面三角形的頂點，得到若干個小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當小三棱錐的個數(shù)無限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無限變小時，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時小三棱錐底面面積的和就變成球面面積,小三棱錐高變成球半徑.由于第n個小三棱錐的體積＝Snhn（Sn為該小三棱錐的底面積,hn為小三棱錐高），所以V球＝S球面R＝4πR2R＝πR3. ⑵在應用球體積公式時要注意公式中給出的是球半徑R，而在實際問題中常給出球的外徑（直徑）. ⑶球與其它幾何體的切接問題，要仔細觀察、分析、弄清相關元素的位置關系和數(shù)量關系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。 10．主要題型： ⑴以棱柱、棱錐為載體，考查線面平行、垂直，夾角與距離等問題。 ⑵利用歐拉公式求解多面體頂點個數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)。 ⑶求球的體積、表面積和球面距離。解題方法：求球面距離一般作出相應的大圓，轉化為平面圖形求解。 11．注意事項 ⑴須明確《直線、平面、簡單幾何體》中所述的兩個平面是指兩個不重合的平面。 ⑵與“直線與直線平行”、“直線與平面平行”的概念一樣“平面與平面平行”是 指“二平面沒有公共點”。由此可知，空間兩個幾何元素（點、直線、平面稱為空間三個幾何元素）間“沒有公共點”時，它們間的關系均稱為“互相平行”。要善于運用平面與平面平行的定義所給定的兩平面平行的最基本的判定方法和性質。 ⑶注意兩個平行平面的畫法——直觀地反映兩平面沒有公共點，將表示兩個平面的平行四邊形畫成對應邊平行。兩個平面平行的寫法與線、線平行，線、面平行的寫法一議，即將“平面平行于平面”，記為“∥”。 ⑷空間兩個平面的位置關系有且只有“兩平面平行”和“兩平面相交”兩種關系。 ⑸在明確“兩個平行平面的公垂線”、“兩個平行平面的公垂線段”、“兩個平行平面的距離”的概念后，應該注意到，兩平行平面間的公垂線段有無數(shù)條，但其長度都相等——是唯一確定的值，且兩平行平面間的公垂線段，是夾在兩平行平面間的所有線段中最短的線段，此外還須注意到，兩平行平面間的距離可能化為“其中一個平面內的直線到另一個平面的距離”又可轉化為“其中一個面內的一個點到另一個平面的距離。 ⑹三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通?！熬€線角抓平移，線面角找射影，面面角作平面角”而達到化歸目的，有時二面角大小出通過cos=來求。 ⑺有七種距離，即點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求。 （Ⅱ）范例分析 例1、⑴已知水平平面內的兩條相交直線a, b所成的角為，如果將角的平分線繞著其頂點，在豎直平面內作上下轉動， 轉動到離開水平位值的處，且與兩條直線a,b都成角，則與的大小關系是 （ ） A. 或 B. >或 < C. > D. < ⑵已知異面直線a,b所成的角為70,則過空間一定點O,與兩條異面直線a,b都成60角的直線有 ( )條. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ⑶異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點O,過點O有3條直線與a,b所成角都是60,則的取值可能是 ( ). A. 30 B. 50 C. 60 D. 90 ⑷一個凸多面體有8個頂點，①如果它是棱錐，那么它有 條棱， 個面；②如果它是棱柱，那么它有 條棱 個面. 分析與解答: ⑴ 如圖1所示,易知直線上點Ａ在平面上的射影是ι上的點B,過點B作BC⊥b, 則AC⊥b. 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.顯然，AC>BC, ∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故選C.　　　　　　　　　　　　　　　　 B A C O ⑵如圖2所示，過空間一點O分別作∥a,∥b, ι 則所求直線即為過點O且與都成60角的直線。 ∵=110，∴∴將兩對對頂角的平分線繞　　　　　　　　　圖１ O點分別在豎直平面內轉動，總能得到與 都成 60角的直線。故 過點 O與a,b都成60角的直線有4條， 70.從而選 D. O ⑶過點O分別作∥a,∥b,則過點O有三條直線與 a,b所成角都為60，等價于過點O有三條直線與 圖2 所成角都為60，如圖3示，如果或 　　　　　　　　　　 則或，過 O點只有兩條直線與 O 都成60角。如果=90，則，那么過點 O有四 　　　　　　　　　　　　　　　 條直線與所成角都為60。如果=60，則， 圖 3 此時過點 O有三條直線與所成角都為60。其中一條 正是角的平分線. ⑷①如果它是棱錐，則是七棱錐，有14條棱，8個面②如果它是棱柱，則是四棱柱，有12條棱，6個面. 說明： 本組新題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位直關系，考查空間想象和轉化能力，以及周密的分析問題和解決問題 例2、如圖1，設ABC-ABC是直三棱柱，F(xiàn)是AB的中點，且 (1)求證：AF⊥AC； (2)求二面角C-AF-B的大?。? 分析：先來看第1問，我們“倒過來”分析．如果已經證得AF⊥AC，則注意到因為AB=2AA=2a，ABC-ABC是直三棱柱，從而若設E是AB的中點，就有AE⊥AF，即AF⊥平面ACE．那么，如果我們能夠先證明AF⊥平面ACE，則就可以證得AF⊥AC，而這由CE⊥平面AABB立得． 再來看第2問．為計算二面角C-AF-B的大小，我們需要找到二面角C-AF-B的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AABB，而AF⊥AE，所以，若設G是AF與AE的中點，則∠CGE即為二面角C-AF-B的平面角，再計算△CGE各邊的長度即可求出所求二面角的大?。? 解：(1)如圖2，設E是AB的中點，連接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA， ∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，從而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC； (2)設G是AB與A1E的中點，連接CG．因為CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂線定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a， ∴， ∴， ∴tan∠CGE=，∠CGE＝，從而二面角C-AF-B的大小為。 說明：假設欲證之結論成立，“倒著”分析的方法是非常有效的方法，往往能夠幫助我們迅速地找到解題的思路．《直線、平面、簡單幾何體》關于平行與垂直的問題都可以使用這種分析方法．但需要注意的是，證明的過程必須是“正方向”的，防止在證明過程中用到欲證之結論，從而形成“循環(huán)論證”的邏輯錯誤． 例3、 一條長為2的線段夾在互相垂直的兩個平面a、b之間，AB與a成45o角，與b成角，過A、B兩點分別作兩平面交線的垂線AC、BD，求平面ABD與平面ABC所成的二面角的大?。? 以CD為軸，將平 以AB為軸，將平 面BCD旋轉至與 面ABD旋轉至與 平面ACD共面 平面ABC共面 圖 1 圖 2 圖 3 解法１、過D點作DE⊥AB于E，過E作EF⊥AB交BC于F(圖1)，連結DF，則∠DEF即為二面角D－AB－C的平面角． 為計算△DEF各邊的長，我們不妨畫出兩個有關的移出圖．在圖2中，可計算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出圖3中， ∵ cosB＝＝, 在△BDF中，由余弦定理： DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD Z BF Z cosB ＝()2＋()2 －2Z Z Z ＝． （注：其實，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF． 又∵ AC⊥平面b，　∴　AC⊥DF． ∴　DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜邊BC上的高，于是由BC Z DF＝CD Z BD可直接求得DF的長．） 在△DEF中，由余弦定理： cos∠DEF＝＝＝. ∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小． 解法２、過D點作DE⊥AB于E，過C作CH⊥AB于H，則HE是二異面直線CH和DE的公垂線段，CD即二異面直線上兩點C、D間的距離．運用異面直線上兩點間的距離公式，得： CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE Z CH Z cosq (*) （注：這里的q是平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小，當0＜q o≤90o，q 亦即異面直線CH與DE所成的角；當90o＜q ＜180o，異面直線所成的角為180o－q .） ∵ CD＝DE＝1，CH＝，HE＝， 從而算得 cosq＝， ∴ q＝arccos. 說明：(1)解空間圖形的計算問題，首先要解決定位問題（其中最基本的是確定點在直線、點在平面上的射影），其次才是定量問題．畫空間圖形的“平面移出圖”是解決定位難的有效方法，必須熟練掌握． (2) 解法２具有普遍意義，特別是公式(*)，?？蛇_到簡化運算的目的． 例4、如圖1，直三棱柱ABC－ABC的各條棱長都相等， D為棱BC上的一點，在截面ADC中，若∠ADC＝， 求二面角D－AC1－C的大小． 解：由已知，直三棱柱的側面均為正方形， 圖 7 ∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC， ∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥側面BC1，∴ AD⊥BC， 圖1 ∴ D為BC的中點． 過C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥側面BC1， ∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中點F，連結CF，則CF⊥AC1． 連結EF，則EF⊥AC1(三垂線定理) ∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角． 在Rt△EFC中，sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a 易求得 CE＝，CF＝. ∴ sin∠EFC＝， ∴ ∠EFC＝arcsin. ∴ 二面角D－AC1－C的大小為arcsin. 例5、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點. （1）求證：MN⊥AB； （2）設平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角θ，問能否確定θ使直線MN是異 面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應θ的值；若不能，說明理由. 解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是 以PC為斜邊的直角三角形，，又M為AB的中點， ∴MN⊥AB. （2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA為所求二面角的平面角，即∠PDA=θ. 設AB=a，PA=b，AD=d，則， 設PM=CM則由N為PC的中點， ∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，∴MN為 PC與AB的公垂線，這時PA=AD，∴θ=45。 例6、 四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD. （1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60，求這個四棱錐的體積； （2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90 解:（1）正方形ABCD是四棱錐P—ABCD的底面, 其面積 為從而只要算出四棱錐的高就行了. 面ABCD, ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60. 而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=ABtan60=a, . （2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形. 作AE⊥DP，垂足為E，連結EC，則△ADE≌△CDE， 是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角. 設AC與DB相交于點O，連結EO，則EO⊥AC， 在 故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90. 說明：本小題主要考查線面關系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設計新穎, 特征鮮明的好題. 例7、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C點到AB1的距離為CE=，D為AB的中點. （1）求證：AB1⊥平面CED； （2）求異面直線AB1與CD之間的距離； （3）求二面角B1—AC—B的平面角. 解:（1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形， ∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1, ∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段 ∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴； （3）連結B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600 ∴， ∴, ∴ , ∴. 說明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當然, 準確地作出應當有嚴格的邏輯推理作為基石. 例8、 如圖，在三棱錐中，平面，，，D為BC的中點. （1）判斷AD與SB能否垂直，并說明理由； （2）若三棱錐的體積為，且為 鈍角，求二面角的平面角的正切值； （3）在（Ⅱ）的條件下，求點A到平面SBC的距離. 解：（1）因為SB在底面ABC上的射影AB與AD不垂直，否則與AB=AC且D為BC的中點矛盾，所以AD與SB不垂直； （2）設，則 解得 ，所以（舍），. 平面ABC，AB=AC，D為BC的中點 ， 則是二面角S—BC—A的平面角. 在中，, 故二面角的正切值為４； （3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，過點A作AESD，則AE平面SBC，于是點A到平面SBC的距離為AE, 從而即A到平面SBC的距離為. 例9、如圖a—l—是120的二面角，A，B兩點在棱上，AB=2，D在內，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90，C在內，ABC是等腰直角三角形∠ACB= （I） 求三棱錐D—ABC的體積； （2）求二面角D—AC—B的大??； （3）求異面直線AB、CD所成的角. 解: (1) 過D向平面做垂線，垂足為O，連強OA并延長至E. 為二面角a—l—的平面角.. 是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO= （2）過O在內作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結DM.則AC⊥DM.∴∠DMO 為二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60=1.且 （3）在平在內，過C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角. 為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高, 異面直線AB,CD所成的角為arctan 例10、在平面幾何中有如下特性：從角的頂點出發(fā)的一條射線上任意一點到角兩邊的距離之比為定值。類比上述性質，請敘述在立體幾何中相應地特性，并畫出圖形。不必證明。 類比性質敘述如下 ： 圖 A γ β α O P B 解：立體幾何中相應地性質： ⑴從二面角的棱出發(fā)的一個半平面內任意一點到二面角的兩個面的的距離 之比為定值。 A B C D M N ⑵從二面角的棱上一點出發(fā)的一條射線上任意一點到二面角的兩個面 的距離之比為定值。 ⑶在空間，從角的頂點出發(fā)的一條射線上任意一點到角兩邊的距離 之比為定值。 ⑷在空間，射線上任意一點到射線、、的距離之比不變。 ⑸在空間，射線上任意一點到平面、、的 距離之比不變。 說明：（2）——（5）還可以有其他的答案。 例11、已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側面的交線是焦參數(shù)（焦點到準線的距離） 為p的拋物線. （1）求圓錐的母線與底面所成的角； （2）求圓錐的全面積． 解: （1）設圓錐的底面半徑為R，母線長為l， 由題意得：, 即, 所以母線和底面所成的角為 （2）設截面與圓錐側面的交線為MON，其中O為截面與 AC的交點，則OO1//AB且 在截面MON內，以OO1所在有向直線為y軸，O為原點，建立坐標系，則O為拋物的頂點，所以拋物線方程為x2=－2py，點N的坐標為（R，－R），代入方程得 R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p. ∴圓錐的全面積為. 說明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向. 類似請思考如下問題: 一圓柱被一平面所截，截口是一個橢圓．已知橢圓的長軸長為5，短軸長為4，被截后幾何體的最短側面母 線長為1，則該幾何體的體積等于 ． 例12、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE與SB交于點F。 （1）求證：四邊形EFCD為直角梯形； （2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值； （3）設SB的中點為M，當?shù)闹凳嵌嗌贂r，能使△DMC 為直角三角形？請給出證明. 解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF， ∴CD∥EF ∵ 又面 ∴ 平面SAD，∴又 為直角梯形 （2）平面∥平面SAD 即為二面角D—EF—C的平面角 中 而且 為等腰三角形， (3)當時，為直角三角形 . , 平面平面. 在中，為SB中點，. 平面平面 為直角三角形。 例13、如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點. （1）求證：FD∥平面ABC； （2）求證：AF⊥BD； (3) 求二面角B—FC—G的正切值. 解: ∵F、G分別為EB、AB的中點， ∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， ∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC， ∴FD∥面ABC. （2）∵AB=EA，且F為EB中點，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點，∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ② 由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD. （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF. 過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC. ∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角. 易求. 例14、如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1， P、Q分別是線段AD1和BD上的點， 且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12. (1) 求證PQ∥平面CDDC； (2) 求證PQ⊥AD； (3) 求線段PQ的長. 解：（1）在平面AD內，作PP∥AD與DD交于點P，在平面AC內，作 QQ1∥BC交CD于點Q，連結PQ. ∵ , ∴PP1QQ . 由四邊形PQQP為平行四邊形, 知PQ∥PQ，而PQ平面CDDC， 所以PQ∥平面CDDC （2）AD⊥平面DDCC， ∴AD⊥PQ，又∵PQ∥PQ， ∴AD⊥PQ. （3）由（1）知PQ PQ, ，而棱長CD=1. ∴DQ=. 同理可求得 PD=. 在Rt△PDQ中，應用勾股定理, 立得PQ= . 做為本題的深化, 我們提出這樣的問題： P, Q分別是BD, 上的動點,試求的最小值, 請應用函數(shù)方法計算， 并與如下對照, 可以得到一些啟示。 如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN= （1） 求MN的長； （2） 當為何值時，MN的長最小； （3） 當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。 立體幾何知識是復課耗時較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點, 依據課本, 熟化知識, 構建空間思維網絡, 掌握解三角形的基本工具, 嚴密規(guī)范表述, 定會突破解答立幾考題的道道難關. 例15、如圖， 四棱錐的底面是邊長為1的正方形， SD垂直于底面ABCD，。 （I）求證； （II）求面ASD與面BSC所成二面角的大小； （III）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小。 分析：本小題主要考查直線與平面的位置關系等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。 （I）證明：如圖1 圖1 底面ABCD是正方形 底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 由三垂線定理得 （II）解：底面ABCD，且ABCD為正方形 可以把四棱錐補形為長方體，如圖2 面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角， 又 為所求二面角的平面角 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 即面ASD與面BSC所成的二面角為 圖2 圖3 （III）解：如圖3 是等腰直角三角形 又M是斜邊SA的中點 面ASD，SA是SB在面ASD上的射影 由三垂線定理得 異面直線DM與SB所成的角為 例16、在邊長為a的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形．這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等，如圖①．若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器，如圖②．則當容器的高為多少時，可使這個容器的容積最大，并求出容積的最大值． 圖① 圖② 解: 設容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長為, . 當且僅當 . 故當容器的高為時，容器的容積最大，其最大容積為 用導數(shù)的方法，三次函數(shù)的最值問題用導數(shù)求解最方便，不妨一試. 另外，本題的深化似乎與xx年全國高考文科數(shù)學壓軸題有關. 類似的問題是： 某企業(yè)設計一個容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時，制造這個密閉容器的用料最?。慈萜鞯谋砻娣e最小）. （Ⅲ）、強化訓練 1．下列命題中錯誤的是 （ ） A．若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內所有直線 B．若一平面經過另一平面的垂線，則兩個平面互相垂直 C．若一條直線垂直于平面內的一條直線，則此直線垂直于這一平面 D．若平面內的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2．設α、β是不重合的兩個平面，l和m是不重合的兩條直線，那么α∥β的一個充分條件是（ ） A．lα，mα，且l∥β，m∥β B．lα，mβ，且l∥m C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m 3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB、BB1的中點，那么A1E和C1F所成的角是（ ） A．60 B．arccos C．arcsin D．45 4．下列四個命題： （1）如果兩個平面垂直于同一個平面，那么這兩個平面平行； （2）直線a∥平面α，直線b∥平面α，且a、b都在平面β內，則平面α∥平面β； （3）一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角 必相等或互補； （4）兩個二面角的面分別對應平行時，它們的平面角相等或互補； 其中正確的有 （ ） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 5．從P點出發(fā)的三條射線PA、PB、PC兩兩成60角，則PC與面PAB所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D．以上都不對 6. 一個圓錐的側面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為 （ ） A. B. C. D. 7.兩個完全相同的長方體的長、寬、高分別為5cm，4cm，3cm，把它們重疊在一起組成一個新長方體，在這些新長方體中，最長的對角線的長度是（ ） A. B. C. D. 8．球面上有3個點，其中任意兩點的球面積距離都等于大圓周長的，經過這三點的小圓周長為4π，那么這個球的半徑為 （ ） A．4 B．2 C．2 D． 9．正三棱錐底面邊長為a，側棱與底面所成角為60，過底面一邊作一截面使其與底面成 30的二面角，則此截面面積為 （ ） A． B． C． D．以上答案都不對 10．二面角α—a—β的平面角為120，在面α內，AB⊥a于B，AB=2在平面β內，CD⊥a 于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一個動點，則AM+CM的最小值為 （ ） B A C A．2 B．2 C． D．2 11．如右圖是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A、B、C是展開圖 上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC的值為 （ ） A．180 B．120 C．60 D．45 D1 D A B B1 C C1 12．如圖的多面體是過正四棱柱的底面ABCD的點A作載面 AB1C1D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1與 底面ABCD成30的二面角，AB=1， 則這個多面體的體積為 （ ） A． B． C． D． 13．在三棱錐A—BCD中，P、Q分別是棱AC、BD上的點，連AQ、CQ、BP、DP、PQ， 若三棱錐A—BPQ、B—CPQ、C—DPQ的體積分別為6、2、8，則三棱錐A—BCD的 體積是 （ ） A．20 B．28 C．40 D．88 14．若正棱錐的底面邊長與側棱長相等，則該棱錐一定不是 （ ） （A）三棱錐 （B）四棱錐 （C）五棱錐 （D）六棱錐 15．已知三棱錐中，頂點在底面的射影是三角形的內心，關于這個三棱錐有三個命題：①側棱；②側棱兩兩垂直；③各側面與底面所成的二面角相等。其中錯誤的是 （ ） （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ 16．若一棱臺上、下底面面積分別是和，它的中截面面積是，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 17．兩兩相交的三個平面將空間分成___________個部分。 18．正四棱柱的底面邊長為，高為，一螞蟻從頂點出發(fā)，沿正四棱柱的表面爬到頂點，那么這只螞蟻所走過的最短路程為_________。 19．正四棱錐的高與底面邊長都是1，側棱與底面所成的角是，則________。 20．在三棱錐的四個面中，直角三角形最多可以有_________個。 21．空間四邊形中，，，分別是邊上的點，且為平行四邊形，則四邊形的周長的取值范圍是____________。 22．若的中點到平面的距離為，點到平面的距離為，則點到平面 的距離為_________。 23．三棱錐中，側棱兩兩垂直，底面內一點到三個側面的距離分別是，那么________。 24．直三棱柱中，，，是上的一點，則到截面的距離等于__________。 25．正四面體中，分別是的中點，那么與平面所成的角的大小為___________。 26．正三棱錐的底面邊長為，側棱，則二面角的大小是______。 27．設棱長為4的平行六面體的體積為，分別是棱 上的點，且，則三棱錐的體積_______。 28．一個透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉動這個正方體，則水面在容器中的形狀可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六邊形。其中正確的結論是___________________。（把你認為正確的序號都填上） 29．在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a， 那么這個球面的表面積是 . 30．正三棱錐S—ABC的側棱長為1，兩條側棱的夾角為45，過頂點A作一截面交SB于D，交SC于E，則△ADE的周長的最長小值是 . 31．α，β是兩個不同的平面，m , n 是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷： ①m⊥n； ②α⊥β；③n⊥β； ④m⊥α，以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題 . 32．設是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若 ，且”為真命題的是 （填所有正確條件的代號） ①x為直線，y，z為平面 ②x，y，z為平面 ③x，y為直線，z為平面 ④x，y為平面，z為直線 ⑤x，y，z為直線 A B C P 33．三棱錐中，，其余棱長均為1。 （1）求證：； （2）求三棱錐的體積的最大值。 A B C D M N 34．直二面角中，分別是線段上的點（不包括端點）， 且,。 （1）若與平面所成的角為，求的值； （2）求函數(shù)的解析式及定義域、值域。 35. 如圖，平面a∩平面b＝MN， 二面角A－MN－B為60o,點A∈a， 　　B∈b，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45o. AC＝1, (1) 求點A到平面b的距離； (2) 求二面角A－BC－M的大?。? 第35題圖 36. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，F(xiàn)為BB1上的一點，BF＝BC＝2a， FB1＝a. (1) 若D為BC的中點，E為AD上不同于A、D的任一點，求證：EF⊥FC1； (2) 若A1B1＝3a，求FC1與平面AA1B1B所成角的大?。? 37. 如圖1，直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90o，AD＝CD＝a，AB＝2a， 將△ADC沿AC折起，使點D到DM. (1) 若二面角DM－AC－B為直二面角(圖2),求二面角DM－BC－A的大?。? (2) 若二面角DM－AC－B為60o(圖3)，求三棱錐DM－ABC的體積． 圖1 圖2 圖3 38.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的側棱AA1＝4cm， 它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90o,E是AB的 中點． (1) 求證：CE和AB1所在的異面直線的距離等于cm； (2) 求截面ACB1與側面ABB1A1所成的二面角的大?。? 39．已知三棱錐P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E． （1）求證：AP⊥平面BDE； （2）求證：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐 P—ABC所成兩部分的體積比． 40．已知ABC—A1B1C1為正三棱柱，D是AC 的中點. （Ⅰ）證明：AB1//平面DBC1； （Ⅱ）若AB1⊥BC1，BC=2. ①求二面角D—BC1—C的大小； ②若E為AB1的中點，求三棱錐E—BDC1的體積. 41．在三棱柱ABC—A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′ 矩形，C′B′⊥AB． （Ⅰ）求證：平面CA′B⊥平面A′AB B′； （Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60O，求直線AC′與平面BCC′B′所成角以及三棱錐A—BB′C′的體積． 42、直三棱柱中，，，分別是棱、 上的點，且。 （1）求直三棱柱中的高及的長； （2）動點在上移動，問在何位置時，的面積才能取得最小值。 A B C M N 43．一個正多面體各個面的內角和為，求它的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)。 （Ⅳ）、參考答案 1-5.CCBBB； 6-10.CCBCC； 11-15.CDCDA； 16.C 17．6,7,8； 18．； 19．； 20．4個； 21．； 22．2或14； 23．7 ； 24． ； 25．；26．； 27．； 28．（2）（3）（4）（5）； 29. ； 30. 31. ①m⊥n ③n⊥β ④m⊥α②α⊥β（或②α⊥β③n⊥β④m⊥α①m⊥n） 32. ①③④ 33．解：（1）取中點，∵與均為正三角形，∴， ∴平面。 （2）當平面時，三棱錐的高為，此時。 34.解：（1）作于，則平面，∴，。 ，，由。 （2）函數(shù)解析式，定義域，值域. 35. (1)； (2)arctan(提示：求出點A在平面 b 的射影到直線BC的距離為). 36. (2) arcsin. 37. (1) 45o； (2). 38. (3) arccos. 39．解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D為AC的中點，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE． （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF． （3）設點E和點A到平面PBC的距離分別為h1和h2．則 h1∶h2=EP∶AP=2∶3, 故截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1 說明：值得注意的是, “截面B