2019-2020年高考數學復習 三角問題的題型與方法教案 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數學復習 三角問題的題型與方法教案 蘇教版 一．復習目標： 1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點，常規(guī)使用方法等． 2．熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等．并能應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明． 3．掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，并能結合三角形的公式解決一些實際問題． 4．熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的性質，并能用它研究復合函數的性質． 5．熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數圖象的形狀、 6．理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數圖象的變化． 二．考試要求： 1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算。 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同解三角函數的基本關系式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解周期函數與最小正周期的意義。 3．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4．能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明。 5．了解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y=Asin(ωx+ψ)的簡圖，理解A、ω、ψ的物理意義。 6．會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsin x, arcos x,arctan x表示。 7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解三角形的計算問題。 三．教學過程： （Ⅰ）基礎知識詳析 （一）三角變換公式的使用特點 1．同角三角函數關系式 (1)理解公式中“同角”的含義． (2)明確公式成立的條件。 例如，tanα+1=secα，當且僅當≠k (3)掌握公式的變形．特別需要指出的是 sinα=tanαcosα， cosα=cotαsinα．它使得“弦”可以用“切”來表示． (4)使用這組公式進行變形時，經常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法． (5)幾個常用關系式 ①sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα；(三式之間可以互相表示．) 同理可以由sinα-cosα或sinαcosα推出其余兩式． ②． ③當時，有． 2．誘導公式 (1)誘導公式中的角是使公式成立的任意角． (2)正確使用誘導公式的關鍵是公式中符號的確定． (3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)． ⑷熟記關系式；． 3．兩角和與差的三角函數 (1)公式不但要會正用，還要會逆用． (2)公式的變形應用要熟悉． 熟記：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，它體現了兩個角正切的和與積的關系． (3)角的變換要能靈活應用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等． 4．倍角公式，半角公式 (2)使用二倍角的正弦、余弦公式時，公式的選擇要準確． 如已知sinα，cosα，tanα求cos2α時，應分別選擇cos2α=1 (3)余弦的二倍角公式的變形——升冪公式、降冪公式必須熟練掌握．要明確，降冪法是三角變換中非常重要的變形方法． 對sin3α，cos3α的公式應記?。? (4)使用正弦、余弦的半角公式時，要注意公式中符號的確定方法．正 在使用無理表達式時，須要確定符號；在使用兩個有理表達式時，無須確定符號，這是與選用無理表達式最大的區(qū)別，因此在化簡、證明題中， 5．和差化積、積化和差公式，這兩組公式現在不要求記憶，但要會使用． (1)要明確，這兩組公式是解決正、余弦的加、減、乘的運算關系式． (3)對下列關系式要熟記： 6．三角變換： 三角函數式的恒等變形或用三角式來代換代數式稱為三角變換． 三角恒等變形是以同角三角公式，誘導公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎． 三角代換是以三角函數的值域為根據，進行恰如其分的代換，使代數式轉化為三角式，然后再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決． 7．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點． (1)角的變換 因為在△ABC中，A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC． (2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理． r為三角形內切圓半徑，p為周長之半． 在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC． (4)在△ABC中，熟記并會證明： ∠A，∠B，∠C成等差數列的充分必要條件是∠B=60． △ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數列且a，b，c成等比數列． 8．三角形的面積公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）． （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB． （3）△＝＝＝． （4）△＝2R2sinAsinBsinC． （R為外接圓半徑） （5）△＝． （6）△＝；． （7）△＝rs． 9．直角三角形中各元素間的關系： 如圖，在△ABC中，C＝90，AB＝c，AC＝b，BC＝a． （1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2．（勾股定理） （2）銳角之間的關系：A＋B＝90； （3）邊角之間的關系：（銳角三角函數定義） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝， tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝． 10．斜三角形中各元素間的關系: 如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊． （1）三角形內角和：A＋B＋C＝π． （2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等. （R為外接圓半徑） （3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍． a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC． （4）射影定理：a＝bcosC＋ccosB， b＝acosC＋ccosA， c＝acosB＋ccosA． 11．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形． 解斜三角形的主要依據是： 設△ABC的三邊為a、b、c，對應的三個角為A、B、C． （1）角與角關系：A+B+C = π， （2）邊與邊關系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b． （3）邊與角關系： 正弦定理 （R為外接圓半徑）． 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA． 它們的變形形式有：a = 2R sinA，，． （4）面積公式： ． 解斜三角形的常規(guī)思維方法是： （1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． （2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = π，求另一角． （3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況． （4）已知三邊a、b、c，應余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C． （二）三角函數性質的分析 1．三角函數的定義域 這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在y軸上的角． 函數y=cotx的定義域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在x軸上的角． (2)函數y=secx、y=cscx的定義域分別與y=tanx、y=cotx相同． 2．三角函數的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函數y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1． (2)復合三角函數的值域問題較復雜，除了代數求值域的方法都可以適用外，還要注意三角函數本身的特點，特別是經常需要先進行三角變換再求值域． 常用的一些函數的值域要熟記． ③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 3．三角函數的周期性 (1)對周期函數的定義，要抓住兩個要點： ①周期性是函數的整體性質，因此f(x+T)=f(x)必須對定義域中任一個x成立時，非零常數T才是f(x)的周期． ②周期是使函數值重復出現的自變量x的增加值． 因為sin(2kπ+x)=sinx對定義域中任一個x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π． 同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π． 因為tan(kπ+x)=tanx對定義域中任一個x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π． 同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π． (3)三角函數的周期性在三角函數性質中的作用 ①函數的遞增或遞減區(qū)間周期性的出現，每一個三角函數，都有無數個遞增或遞減區(qū)間，這些遞增區(qū)間互不連接，遞減區(qū)間也互不連接． ②函數的最大、最小值點或使函數無意義的點周期性變化． ③因為三角函數是周期函數，所以畫三角函數圖象時，只須畫一個周期的圖象即可． 4．三角函數的奇偶性，單調性 研究函數的單調性，關鍵是求函數的單調區(qū)間． 5．三角函數的圖象 (1)畫三角函數的圖象應先求函數的周期，然后用五點法畫出函數一個周期的圖象． (2)函數y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx 圖象的對稱中心分別為 ∈Z)的直線． （三）思想方法 1.三角函數恒等變形的基本策略。 （1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45等。 （2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。 （3）降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。 （4）化弦（切）法。將三角函數利用同角三角函數基本關系化成弦（切）。 （5）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。 （6）萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函數化成tan的有理式。 2.證明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。 （2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。 3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數的單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。 4.解答三角高考題的策略。 （1）發(fā)現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。 （2）尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。 （3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。 （四）注意事項 對于三角函數進行恒等變形，是三角知識的綜合應用，其題目類型多樣，變化似乎復雜，處理這類問題，注意以下幾個方面： 1．三角函數式化簡的目標：項數盡可能少，三角函數名稱盡可能少，角盡可能小和少，次數盡可能低，分母盡可能不含三角式，盡可能不帶根號，能求出值的求出值． 2．三角變換的一般思維與常用方法． 注意角的關系的研究，既注意到和、差、倍、半的相對性，如 ．也要注意題目中所給的各角之間的關系． 注意函數關系，盡量異名化同名、異角化同角，如切割化弦，互余互化，常數代換等． 熟悉常數“1”的各種三角代換： 等． 注意萬能公式的利弊：它可將各三角函數都化為的代數式，把三角式轉化為代數式．但往往代數運算比較繁． 熟悉公式的各種變形及公式的范圍，如 sin α = tan α cos α ，，等． 利用倍角公式或半角公式，可對三角式中某些項進行升降冪處理，如，，等．從右到左為升冪，這種變形有利用根式的化簡或通分、約分；從左到右是降冪，有利于加、減運算或積和（差）互化． 3．幾個重要的三角變換： sin α cos α可湊倍角公式； 1cos α可用升次公式； 1sin α 可化為，再用升次公式； （其中 ）這一公式應用廣泛，熟練掌握． 4. 單位圓中的三角函數線是三角函數值的幾何表示，四種三角函數y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的圖象都是“平移”單位圓中的三角函數線得到的，因此應熟練掌握三角函數線并能應用它解決一些相關問題． 5. 三角函數的圖象的掌握體現在：把握圖象的主要特征（頂點、零點、中心、對稱軸、單調性、漸近線等）；應當熟練掌握用“五點法”作圖的基本原理以及快速、準確地作圖． 6.三角函數的奇偶性 “函數y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函數”．是否正確． 分析：當時，，這個函數顯然是偶函數．因此，這個判斷是錯誤的．我們容易得到如下結論： ① 函數y = sin (x＋φ)是奇函數． ② 函數y = sin (x＋φ)是偶函數． ③ 函數y =cos (x＋φ)是奇函數． ④ 函數y = cos (x＋φ)是偶函數． 7.三角函數的單調性 “正切函數f (x) = tan x，是定義域上的增函數”，是否正確． 分析：我們按照函數單調性的定義來檢驗一下： 任取，，顯然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，與增函數的定義相違背，因此這種說法是不正確的． 觀察圖象可知：在每一個區(qū)間上，f (x ) = tan x都是增函數，但不能說f (x ) = tan x在其定義域上是增函數． （Ⅱ）范例分析 例1、已知，求（1）；（2）的值. 解：（1）； (2) . 說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。 例2、已知函數f(x)=tan(sinx) （1）求f(x)的定義域和值域； （2）在（－π，π）中，求f(x)的單調區(qū)間； （3）判定方程f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上解的個數。 解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤。又函數y=tanx在x=kπ+(k∈Z)處無定義， 且 （－，）[－,]（－π, π）， ∴令sinx=，則sinx= 解之得：x=kπ (k∈Z) ∴f(x)的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z} ∵tanx在（－，）內的值域為（－∞，+∞），而當x∈A時，函數y=sinx的值域B滿足 （－，）B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。 （2）由f(x)的定義域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=處無定義。 設t=sinx，則當x∈[0, )∪（，）∪（，π）時，t∈[0, ∪(,，且以t為自變量的函數y=tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調遞增。 又∵當x∈[0，]時，函數t=sinx單調遞增，且t∈[0, 當x∈（，時，函數t=sinx單調遞增，且t∈（, 當x∈[，時，函數t=sinx單調遞減，且t∈（, 當x∈（，π）時，函數t=sinx單調遞減，且t∈（0，） ∴f(x)=tan(sinx)在區(qū)間[0，,（,上分別是單調遞增函數；在上是單調遞減函數。 又f(x)是奇函數，所以區(qū)間（－，0，[－，－也是f(x)的單調遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間。 故在區(qū)間（－π，π）中,f(x)的單調遞增區(qū)間為：[－，－，（－，），（，單調遞減區(qū)間為。 （3）由f(x)=tanπ得： tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z） sinx=k+(k∈Z)① 又∵－1≤sinx≤1，∴ ∴k=0或k= －1 當k=0時，從①得方程sinx= 當k=1時，從①得方程sinx= －+ 顯然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2個解，故f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上共有4個解。 說明：本題是正弦函數與正切函數的復合。（1）求f(x)的定義域和值域，應當先搞清楚y=sinx的值域與y=tanx的定義域的交集；（2）求f(x)的單調區(qū)間，必須先搞清f(x)的基本性質。如奇偶性、周期性、復合函數單調性等。 例3 、已知函數的定義域為，值域為 [ －5，1 ]，求常數a、b的值． 解：∵ ， ． ∵ ，∴ ，∴ ． 當a > 0時，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b， ∴ 解得 當a < 0時，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ． ∴ 解得 故a、b的值為 或 說明：三角函數作為函數，其定義域和值域也是它的要素，要待定表達式中的常數值，需注意常數變化對值域的影響． 例4、設的周期，最大值， （1）求、、的值； （2）. 解：(1) ， ， ， 又 的最大值 ， ① ， 且 ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3. (2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， . 說明：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數的周期性。 例5、已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值。 解法一：令sinα+cosα=t，則sinαcosα= ∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinαcosα+cos2α) =t(1－)=1，得： t3－3t+2=0(t－1)2(t+2)=0 ∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinαcosα==0。 ∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2αcos2α=1－20=1 sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2αcos2α+cos4α)=1 解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α ∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1 等號當且僅當時成立， 或 ∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1 說明：（1）凡是遇到sinx+cosx與sinxcosx類的問題，均應采用換元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。 （2）三角中的恒等變形與初中所學整式的恒等變形結合是解本題的關鍵所在。 （3）本題還可推廣到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，則sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，則sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1。 例6、設f(x)=tanx,x∈(0, ),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,證明： [ f(x1)+ f(x2)]>f() 證明:tanx1+ tanx2=+= = ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2 ∴2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0,0
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