2019年高考數(shù)學二輪復習 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和練習 文.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和練習 文明考情數(shù)列的通項與求和是高考的熱點，考查頻率較高.中檔難度，一般在解答題的前半部.知考向1.等差、等比數(shù)列的判定與證明.2.數(shù)列的通項與求和.考點一等差、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法：若an1and，d為常數(shù)，則an為等差(比)數(shù)列.(2)中項公式法.(3)通項公式法.1.(xx全國)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式.解(1)由題意得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因為an的各項都為正數(shù)，所以.故an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.2.已知數(shù)列an滿足a11，a24，an23an12an(nN*).(1)設bnan12an，證明：數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式.(1)證明因為an23an12an，所以an22an1an12an，又bnan12an，所以bn1an22an1，因此對任意的nN*，bn1bn0(常數(shù))，又bnan12anan2an1a22a120，所以1(常數(shù))，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義知，數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.(2)解方法一由(1)知，an2an12， 由an23an12an，得an2an12(an1an)，又a2a13，所以數(shù)列an1an是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，anan132n2(n2)， 聯(lián)立得，an32n12(n2)，經(jīng)檢驗當n1時也符合該式.故數(shù)列an的通項公式為an32n12(nN*).方法二由(1)可得an12an2，即an122(an2)，所以數(shù)列an2是公比為2的等比數(shù)列，則an2(a12)2n132n1，即an32n12(nN*).3.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*).(1)求數(shù)列an的前三項a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出an的通項公式.(1)解在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1，2，3，得解得(2)證明由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減，得an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2an1(1)n1(n2).故數(shù)列是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列.an(1)n2n1，an2n1(1)n(1)n.4.(xx全國)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項和.解(1)設an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因為bn所以數(shù)列bn的前1 000項和為1902900311 893.5.(xx日照一模)已知數(shù)列an，bn滿足a11，an11，bn，其中nN*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式；(2)設cn，求數(shù)列cncn2的前n項和Tn.(1)證明bn1bn2，數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列.又b12，bn2(n1)22n，2n，解得an.(2)解由(1)可得cn，cncn22，數(shù)列cncn2的前n項和為Tn223.6.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù).(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由.(1)證明由題設知，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)解由題設知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.考點二數(shù)列的通項與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關系求通項的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列，可用累加法；形如f(n)的數(shù)列，可用累乘法.構(gòu)造數(shù)列法形如an1，可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造等差數(shù)列；形如an1panq(pq0)，可轉(zhuǎn)化為an1p構(gòu)造等比數(shù)列.(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法；分組求和法；錯位相減法；裂項相消法.7.已知數(shù)列an的首項a11，前n項和為Sn，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由已知得1(n1)22n1，所以Sn2n2n.當n2時，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413滿足上式，所以an4n3，nN*.(2)(分組求和法)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).當n為偶數(shù)時，Tn(15)(913)(4n7)(4n3)42n；當n為奇數(shù)時，n1為偶數(shù)，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.綜上，Tn8.設nN*，數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn1Snan2，已知a1，a2，a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足()，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由Sn1Snan2，得an1an2(nN*)，所以數(shù)列an是以a1為首項，2為公差的等差數(shù)列.由a1，a2，a5成等比數(shù)列，即(a12)2a1(a18)，解得a11.所以an2n1(nN*).(2)(錯位相減法)由(1)可得bn(2n1)()2n(2n1)2n，所以Tn121322523(2n1)2n， 2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1. 由可得Tn22(22232n)(2n1)2n1(2n3)2n16，所以Tn(2n3)2n16.9.(xx廣東汕頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12，an1Sn2. (1)求數(shù)列an的通項公式；(2)已知bnlog2an，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)an1Sn2，anSn12(n2).兩式作差得an1anSnSn1an，所以an12an，即2(n2).又當n1時，a2S124，2成立.數(shù)列an是公比為2，首項為2的等比數(shù)列，ana1qn12n (nN*).(2)由(1)可得bnlog2ann，Tn1.10.(xx浙江)設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項和.解(1)由題意得則即a23a1.又當n2時，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以，數(shù)列an的通項公式為an3n1，nN*.(2)設bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，當n3時，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T12，T23，當n3時，Tn3，當x2時，滿足上式，所以Tn11.已知數(shù)列an，bn滿足a1，anbn1，bn1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)設Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.解(1)bn1.a1，b1，因為bn111，所以1，所以數(shù)列是以4為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以4(n1)n3，所以bn1.(2)因為an1bn，所以Sna1a2a2a3anan1.12.已知數(shù)列an中，a11，an1(nN*).(1)求證：為等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(3n1)an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.(1)證明a11，an1，1，即3，則為等比數(shù)列，公比q3，首項為1，則3n1，即3n1(3n1)，即an.(2)解bn(3n1)an，則數(shù)列的前n項和Tn， Tn， 兩式相減得Tn122，則Tn4.例(12分)下表是一個由n2個正數(shù)組成的數(shù)表，用aij表示第i行第j個數(shù)(i，jN*)，已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列，每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列，且公比都相等.已知a111，a31a619，a3548.a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann(1)求an1和a4n；(2)設bn(1)nan1(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Sn.審題路線圖規(guī)范解答評分標準解(1)設第1列依次組成的等差數(shù)列的公差為d，設每一行依次組成的等比數(shù)列的公比為q.依題意a31a61(12d)(15d)9，d1，an1a11(n1)d1(n1)1n.2分又a31a112d3，a35a31q43q448，又q>0，q2.又a414，a4na41qn142n12n1. 4分(2)bn(1)nan1(1)nn(1)nn(1)nn. 6分Sn12345(1)nn.當n為偶數(shù)時，Sn1，8分當n為奇數(shù)時，SnSn1bn1n1(n3且n為奇數(shù)).經(jīng)驗證，當n1時，也滿足Sn.11分綜上，數(shù)列bn的前n項和Sn構(gòu)建答題模板第一步找關系：根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關系.第二步求通項：根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項公式或利用累加、累乘法求數(shù)列的通項公式.第三步定方法：根據(jù)數(shù)列表達式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(常用的有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法等).第四步寫步驟.第五步再反思：檢查求和過程中各項的符號有無錯誤，用特殊項估算結(jié)果.1.(xx包頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n (nN*).(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列an為等比數(shù)列？若存在，求出的值和通項公式an；若不存在，請說明理由.解(1)當n1時，由S12a131，可得a13；當n2時，由S22a232，可得a29；當n3時，由S32a333，可得a321.(2)令(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.由Sn2an3n及Sn12an13(n1)，兩式相減，得an12an3.由以上結(jié)論得an13(2an3)32(an3)，所以數(shù)列an3是首項為6，公比為2的等比數(shù)列，因此存在3，使得數(shù)列an3為等比數(shù)列，所以an3(a13)2n1，所以an3(2n1).2.設數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)由已知，當n1時，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n+1)1.而a12，所以數(shù)列an的通項公式為an22n1.(2)(錯位相減法)由bnnann22n1知，Sn12223325n22n1，22Sn123225327n22n+1，得(122)Sn2232522n1n22n+1，即Sn(3n1)22n+12.3.已知an是等比數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通項公式；(2)若對任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中項，求數(shù)列(1)nb的前2n項和.解(1)設數(shù)列an的公比為q.由已知，解得q2或q1.又由S6a163知，q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由題意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首項為，公差為1的等差數(shù)列.設數(shù)列(1)nb的前n項和為Tn，則T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.4.已知數(shù)列an，a11，an2an11(n2，nN*).(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn；(3)求證：(nN*).(1)證明an12(an11)(n2)，2.又a112，數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)解an12n，an2n1.bn.Sn.(3)證明，(nN*).5.已知數(shù)列an中，a11，a39，且anan1n1(n2).(1)求的值及數(shù)列an的通項公式；(2)設bn(1)n(ann)，且數(shù)列bn的前n項和為Sn，求S2n.解(1)a11，anan1n1，a22，a351，由a3519，得2.于是anan12n1，即anan12n1，an1an22n3，an2an32n5，a2a13.以上各式累加，得an1n2.(2)由(1)得bn(1)n(ann)(1)nn(n1).故S2n122334455667(2n1)2n2n(2n1)2(13)4(35)6(57)2n(2n12n1)2(2462n)22n22n.