2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)方法3.3解答題的解法教學(xué)案.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)方法3.3解答題的解法教學(xué)案 數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，通常是高考的把關(guān)題和壓軸題，具有較好的區(qū)分層次和選拔功能．目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識(shí)綜合型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和能力的綜合型解答題．在高考考場(chǎng)上，能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵，因此，在高考備考中學(xué)會(huì)怎樣解題，是一項(xiàng)重要的內(nèi)容．從歷年高考看這些題型的命制都呈現(xiàn)出顯著的特點(diǎn)和解題規(guī)律，從閱卷中發(fā)現(xiàn)考生“會(huì)而得不全分”的大有人在，針對(duì)以上情況，本節(jié)就具體的題目類型，來(lái)談一談解答數(shù)學(xué)解答題的一般思維過(guò)程、解題程序和答題格式，即所謂的“答題模板”． “答題模板”就是首先把高考試題納入某一類型，把數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程劃分為一個(gè)個(gè)小題，按照一定的解題程序和答題格式分步解答，即化整為零．強(qiáng)調(diào)解題程序化，答題格式化，在最短的時(shí)間內(nèi)擬定解決問(wèn)題的最佳方案，實(shí)現(xiàn)答題效率的最優(yōu)化． 【常見(jiàn)答題模板展示】 模板一　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 試題特點(diǎn)：通過(guò)升、降冪等恒等變形，將所給三角函數(shù)化為只含一種函數(shù)名的三角函數(shù)(一般化為，然后再研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值等． 求解策略：觀察三角函數(shù)中函數(shù)名稱、角與結(jié)構(gòu)上的差異，確定三角化簡(jiǎn)的方向． 例1已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的對(duì)稱中心； (Ⅱ)求在上的單調(diào)區(qū)間. 思路分析：(1)由兩角和差公式化簡(jiǎn)可得，，然后再令，即可求出對(duì)稱中心；(2)令，解得；又由于，所以，由此即可求出單調(diào)區(qū)間. (2)令，解得，又由于，所以，故所求單調(diào)區(qū)間為. 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成的形式或的形式． 如：. 第二步：根據(jù)的表達(dá)式求其周期、最值． 第三步：由 的單調(diào)性，將“”看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題． 第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范. 【舉一反三】 1.已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值. 模板二　三角變換與解三角形 試題特點(diǎn)：題中出現(xiàn)邊與角的關(guān)系或者給定向量的關(guān)系式，利用正、余弦定理或利用向量的運(yùn)算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再進(jìn)行有關(guān)的三角恒等變換解三角形． 求解策略：（1）利用數(shù)量積公式、垂直與平行的主要條件轉(zhuǎn)化向量關(guān)系為三角問(wèn)題來(lái)解決．（2）利用正、余弦定理進(jìn)行三角形邊與角的互化． 例2在中，角所對(duì)的邊分別為，的面積為，若. （Ⅰ）求角的大??； （Ⅱ）若，，求的值. 思路分析：（Ⅰ）由余弦定理及三角形面積公式得，因此，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍得（Ⅱ）將條件，代入得，再根據(jù)余弦定理得，所以，因此 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)注出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向． 第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化． 第三步：求結(jié)果． 第四步：回顧反思，在實(shí)施邊角互化的時(shí)候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向，一般有兩種思路：一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系；二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形. 【舉一反三】 在中，角所對(duì)的邊分別為，且． （1）求的值； （2）若，求的面積的值． 模板三　離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差 試題特點(diǎn)：主要考查古典概型、幾何概型，等可能事件的概率計(jì)算公式，互斥事件的概率加法公式，對(duì)立事件的概率減法公式，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，事件在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式等五個(gè)基本公式的應(yīng)用及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等內(nèi)容． 求解策略：（1）搞清各類事件類型，并溝通所求事件與已知事件的聯(lián)系．（2）涉及“至多”、“至少”問(wèn)題時(shí)要考慮是否可通過(guò)計(jì)算對(duì)立事件的概率求解．（3）注意識(shí)別特殊的二項(xiàng)分布．（4）在概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題中，能利用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)提取相關(guān)信息用于解題． 例3. 【xx河南名校聯(lián)考】為了調(diào)查觀眾對(duì)某電視劇的喜愛(ài)程度，某電視臺(tái)在甲乙兩地隨機(jī)抽取了8名觀眾做問(wèn)卷調(diào)查，得分結(jié)果如圖所示： （1）計(jì)算甲地被抽取的觀眾問(wèn)卷得分的中位數(shù)和乙地被抽取的觀眾問(wèn)卷得分的平均數(shù)； （2）用頻率估計(jì)概率，若從乙地的所有觀眾中再隨機(jī)抽取4人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記問(wèn)卷分?jǐn)?shù)不低于80分的人數(shù)為，求的分布列與期望. 思路分析：（1）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)及平均數(shù)；（2）由題意知隨機(jī)事件服從二項(xiàng)分布，故可套用二項(xiàng)分布公式求解. 試題解析：（1）由莖葉圖可知，甲地被抽取的觀眾問(wèn)卷得分的中位數(shù)是， 乙地被抽取的觀眾問(wèn)卷得分的平均數(shù)是. 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：確定離散型隨機(jī)變量的所有可能值． 第二步：求出每個(gè)可能值的概率． 第三步：畫(huà)出隨機(jī)變量的分布列． 第四步：求期望和方差． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．如本題可重點(diǎn)查看隨機(jī)變量的所有可能值是否正確；根據(jù)分布列性質(zhì)檢查概率是否正確. 【舉一反三】 【xx云南昆明一中摸底】某市為了解本市萬(wàn)名學(xué)生的漢字書(shū)寫(xiě)水平，在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了漢字聽(tīng)寫(xiě)考試，發(fā)現(xiàn)其成績(jī)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了名學(xué)生，將所得成績(jī)整理后，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖. （1）估算該校名學(xué)生成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （2）求這名學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)； （3）現(xiàn)從該校名考生成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，該兩人成績(jī)排名（從高到低）在全市前名的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 參考數(shù)據(jù)：若，則， （3），則. . 所以該市前名的學(xué)生聽(tīng)寫(xiě)考試成績(jī)?cè)诜忠陨?上述名考生成績(jī)中分以上的有人. 隨機(jī)變量.于是，，. 的分布列： 數(shù)學(xué)期望. 模板四　立體幾何中位置關(guān)系的證明及空間角的計(jì)算問(wèn)題 試題特點(diǎn)：立體幾何解答題主要分兩類：一類是空間線面關(guān)系的判定和推理證明，主要是證明平行和垂直；另一類是空間幾何量(空間角、空間距離、幾何體體積與面積)的計(jì)算． 求解策略：（1）利用“線線?線面?面面”三者之間的相互轉(zhuǎn)化證明有關(guān)位置關(guān)系問(wèn)題：①由已知想未知，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來(lái)找證題思路；②利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一．（2）空間幾何量的計(jì)算，常用方法是依據(jù)公理、定理以及性質(zhì)等經(jīng)過(guò)推理論證，作出所求幾何量并求之．一般解題步驟是“作、證、求”． 例4如圖，四棱錐中，為正三角形，，，，，為棱的中點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）若直線與平面所成角為，求二面角的余弦值. 思路分析：（1）取中點(diǎn)，連接、，然后利用中位線定理推出為平行四邊形，從而利用四邊形與正三角形的性質(zhì)推出平面，進(jìn)而使問(wèn)題得證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量，從而利用空間夾角公式求解即可． （2）因?yàn)?，，所以，又，，所以平面，所以平面，所以為與平面所成的角，即，從而.以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)，則，，，，.所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，解得.令，得.由（1）可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量.所以.所以二面角的余弦值為. 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化． 第二步：寫(xiě)出推證平行或垂直所需的條件，條件要充分． 第三步：寫(xiě)出所證明的結(jié)論． 第四步：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出特殊點(diǎn)坐標(biāo)． 第五步：求(或找)兩個(gè)半平面的法向量． 第六步：求法向量 的夾角或 (若為銳二面角則求)． 第七步：將法向量的夾角轉(zhuǎn)化為二面角的夾角． 第八步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范． 【舉一反三】 如圖，在三棱柱中，為的重心，. （1）求證：平面； （2）若側(cè)面底面，，，求直線與平面所成角的正弦值. （2）連結(jié).因?yàn)?,,所以，所以,所以.因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，，所以平面.因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所?以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則所以令，得，所以.所以.即直線與平面所成角的正弦值為. 模板五　數(shù)列通項(xiàng)公式及求和問(wèn)題 試題特點(diǎn)：數(shù)列解答題一般設(shè)兩到三問(wèn)，前面兩問(wèn)一般為容易題，主要考查數(shù)列的基本運(yùn)算，最后一問(wèn)為中等題或較難題，一般考查數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和的求法、最值等問(wèn)題．如果涉及遞推數(shù)列，且與不等式證明相結(jié)合，那么試題難度大大加強(qiáng)． 求解策略：（1）利用數(shù)列的有關(guān)概念求特殊數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和．（2）利用轉(zhuǎn)化與化歸思想(配湊、變形)將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列(主要解決遞推數(shù)列問(wèn)題)．（3）利用錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法解決數(shù)列求和．（4）利用函數(shù)與不等式處理范圍和最值問(wèn)題． 例5 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足． （Ⅰ）求； (Ⅱ)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：． 思路分析：（Ⅰ）由和項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)，主要利用得，化簡(jiǎn)得，即得，也可利用疊乘法求： (Ⅱ) 由于，所以利用放縮結(jié)合裂項(xiàng)相消法求證不等式： 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：令，由求出. 第二步：令，構(gòu)造，用代換 (或用代換，這要結(jié)合題目特點(diǎn))，由遞推關(guān)系求通項(xiàng)． 第三步：驗(yàn)證當(dāng)時(shí)的結(jié)論是否適合當(dāng)時(shí)的結(jié)論． 如果適合，則統(tǒng)一“合寫(xiě)”；如果不適合，則應(yīng)分段表示． 第四步：寫(xiě)出明確規(guī)范的答案． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．本題的易錯(cuò)點(diǎn)，易忽略對(duì)n＝1和n≥2分兩類進(jìn)行討論，同時(shí)忽視結(jié)論中對(duì)二者的合并. 【舉一反三】 在公差不為零的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 模板六　圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 試題特點(diǎn)：主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、軌跡、范圍、定值、最值等問(wèn)題與探索存在性問(wèn)題．本模板就探索性問(wèn)題加以總結(jié) 求解策略：突破解答題，應(yīng)重點(diǎn)研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運(yùn)用一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法，靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”解題，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法． 例6 已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，到點(diǎn)的距離為，且.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（都在軸上方），且. （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線方程； （3）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 思路分析：(1) 設(shè),用坐標(biāo)表示條件列出方程化簡(jiǎn)整理可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)由（1）可知，，即可得，由得，寫(xiě)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求直線的方程即可；(3)由，得，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，由根與系數(shù)關(guān)系計(jì)算得，從而得到直線方程為，從而得到直線過(guò)定點(diǎn). 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：假設(shè)結(jié)論存在． 第二步：以存在為條件，進(jìn)行推理求解． 第三步：明確規(guī)范表述結(jié)論．若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)． 第四步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．常常容易忽略這一隱含條件以及忽略直線與軸垂直的情況. 【舉一反三】 如圖，拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且. （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，圓.已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為，被圓截得的弦長(zhǎng)為.試探索是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由. （Ⅱ）為定值.下面給出說(shuō)明：設(shè)圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：. ∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為.故圓. 依題意的斜率存在且均不為零，所以設(shè)的方程為，即，設(shè)的方程為，即，∴點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)，∴，故為定值. 模板七　函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問(wèn)題 試題特點(diǎn)：給定函數(shù)含有參數(shù)，常見(jiàn)的類型有，，，根據(jù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按參數(shù)進(jìn)行分類討論，求出單調(diào)性、極值、最值. 求解策略：（1）求解定義域；（2）求導(dǎo)（含二次函數(shù)形式的導(dǎo)函數(shù)）；（3）對(duì)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、△判別式、根的大小進(jìn)行討論. 例7【xx河北衡水二調(diào)】已知函數(shù)， ． （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值． 思路分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后得，根據(jù)正負(fù)進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）中可通過(guò)分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立求解，令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可求得的最值。 在區(qū)間內(nèi)恒成立．令，則，令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ， ，所以當(dāng)時(shí)， 有極大值，也為最大值，且 ，所以，又，所以,所以，因?yàn)椋收麛?shù)的最小值為2． 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：確定函數(shù)的定義域． 第二步：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 第三步：求方程的根． 第四步：利用的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列出表格． 第五步：由在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值． 第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論． 第七步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．常常容易易忽視定義域，對(duì)不能正確分類討論. 【舉一反三】 【xx河南名校聯(lián)考】已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若存在，且，使得，求證： . 模板八　含參不等式的恒成立問(wèn)題 試題特點(diǎn)：主要包括等式恒成立問(wèn)題和不等式恒成立問(wèn)題． 求解策略：(1)對(duì)于可化為二次函數(shù)型的等式與不等式恒成立問(wèn)題，可借助圖象列不等式(組)求解．(2)通過(guò)移項(xiàng)，等式或不等式左右兩邊的函數(shù)圖象易畫(huà)，可畫(huà)圖求解．(3)將等式或不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的值域或最值問(wèn)題求解． 例8 已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式； （2）若對(duì)任意及時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 思路分析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以不等式等價(jià)于，先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：在上是增函數(shù)，所以（Ⅱ）不等式恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，而對(duì)雙變量問(wèn)題，先確定一變量，本題先看作不等式恒成立問(wèn)題，等價(jià)于，而利用導(dǎo)數(shù)易得在上是減函數(shù)，所以，即，最后根據(jù)恒成立得因此 試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，恒有，則在上是增函數(shù)，又，∴化為，∴. （2）由題意知對(duì)任意及時(shí)，恒有成立，等價(jià)于， 當(dāng)時(shí)，由得，因?yàn)?，所以? 從而在上是減函數(shù)，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為. 點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的“兩種”常用方法：(1)分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解. 【規(guī)律總結(jié)】答題模板 第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如不等式 (或)恒成立的問(wèn)題． 第二步：求函數(shù)的最小值或最大值. 第三步：解不等式 (或)． 第四步：明確規(guī)范地表述結(jié)論． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范．如本題重點(diǎn)反思每一步轉(zhuǎn)化的目標(biāo)及合理性，最大或最小值是否正確. 【舉一反三】 設(shè)函數(shù)． （1）求的最小值； （2）記的最小值為，已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.