2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 求準(zhǔn)提速 基礎(chǔ)小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)練習(xí) 文.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 求準(zhǔn)提速 基礎(chǔ)小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)練習(xí) 文 [明考情] 圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)，每年必考，小題中考查圓錐曲線的定義、方程、離心率等，題目難度中檔偏難. [知考向] 1.圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.圓錐曲線的幾何性質(zhì). 3.圓錐曲線的綜合. 考點(diǎn)一　圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 方法技巧　(1)橢圓和雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離可以相互轉(zhuǎn)化，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離. (2)求圓錐曲線方程的常用方法：定義法、待定系數(shù)法. 1.(xx九江二模)設(shè)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足＝9，則||||的值為(　　) A.8 B.10 C.12 D.15 答案　D 解析　∵點(diǎn)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， ∴|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝4， ＝9，即||||cos θ＝9， ||2＝||2＋||2－2||||cos θ ＝(||＋||)2－2||||－18＝64－2||||－18＝16， ∴||||＝15. 2.(xx洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為10，點(diǎn)P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　∵－＝1的焦距為10， ∴c＝5＝， ① 又雙曲線的漸近線方程為y＝x， 且P(2，1)在漸近線上， ∴＝1， 即a＝2b， ② 由①②得a＝2，b＝， ∴雙曲線的方程為－＝1，故選A. 3.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，它的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若△AOB的面積為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A.x＝－2 B.x＝2 C.x＝1 D.x＝－1 答案　D 解析　因?yàn)閑＝＝2，所以c＝2a，b＝a，雙曲線的漸近線方程為y＝x. 又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線方程得A，B. 在△AOB中，|AB|＝p，點(diǎn)O到AB的距離為，所以p＝，所以p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選D. 4.(xx天津)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1 答案　D 解析　根據(jù)題意畫出草圖如圖所示(不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y＝x上). 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60，c＝|OF|＝2. 又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y＝x上，∴＝tan 60＝. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1. 故選D. 5.(xx甘肅肅南裕固族自治縣一中期末)拋物線y＝－x2上的動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)(0，－1)，(1，－3)的距離之和的最小值為________. 答案　4 解析　由題意得焦點(diǎn)F(0，－1)，設(shè)A(1，－3)， 則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|yM|＋1≥|yA|＋1＝4. 考點(diǎn)二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 要點(diǎn)重組　在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝； 在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝. 方法技巧　求離心率的兩種方法 (1)定義法：求出a，c，代入e＝進(jìn)行求解. (2)方程法：只需根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的各項(xiàng)式，然后兩邊同除以a或a2得到關(guān)于e的方程求e. 6.已知A是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，G是△PF1F2的重心，若＝λ，則雙曲線的離心率為(　　) A.2 B.3 C.4 D.與λ的取值有關(guān) 答案　B 解析　因?yàn)椋溅?，所以∥? 所以＝＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即＝， 所以e＝＝3. 7.(xx廣安模擬)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，該橢圓上有一點(diǎn)A，滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則橢圓的離心率是(　　) A.－1 B.2－ C.－1 D.2－ 答案　A 解析　根據(jù)題意，如圖，設(shè)F(c，0)， 由△OAF是等邊三角形，則A， 又A在橢圓上，則有＋＝1， ① a2＝b2＋c2， ② 聯(lián)立①②，解得c＝(－1)a， 則其離心率e＝＝－1. 8.(xx全國Ⅲ)雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 答案　5 解析　∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0)， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5. 9.(xx北京)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 答案　2 解析　設(shè)B為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示.∵四邊形OABC為正方形且邊長為2， ∴c＝|OB|＝2. 又∠AOB＝， ∴＝tan ＝1，即a＝b. 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 10.設(shè)拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線E上一點(diǎn)，|MF|的最小值為3，若點(diǎn)P為拋物線E上任意一點(diǎn)，A(4，1)，則|PA|＋|PF|的最小值為________. 答案　7 解析　由題意，|MF|的最小值為3，得＝3， ∴p＝6，∴拋物線E：y2＝12x， 拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(3，0). 設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D， 則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|， ∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|＋|PD|最小，為4－(－3)＝7. 考點(diǎn)三　圓錐曲線的綜合 方法技巧　圓錐曲線范圍，最值問題的常用方法 (1)定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法：利用圓錐曲線的定義性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)平面幾何中的結(jié)論確定最值或范圍. (2)目標(biāo)函數(shù)法：建立所求的目標(biāo)函數(shù)，將所求最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決. (3)條件不等式法：找出與變量相關(guān)的所有限制條件，然后再通過解決不等式(組)求變量的范圍. 11.已知方程－＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1) B.(－2，＋∞) C.∪(－1，＋∞) D.∪ 答案　D 解析　由－＝1轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1， 假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，則2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，則－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 綜上可知，m的取值范圍為∪. 12.(xx四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　如圖，由題意可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y0<0時(shí)，kOM<0；當(dāng)y0>0時(shí)，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0，則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2p2時(shí)等號(hào)成立.故選C. 13.(xx全國Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　) A.2 B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 圓的圓心為(2，0)，半徑為2， 由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為＝. 由點(diǎn)到直線的距離公式得＝， 解得b2＝3a2. 所以C的離心率e＝＝＝＝2. 故選A. 14.過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AF，BF的長分別為m，n，則等于(　　) A. B. C.2a D. 答案　B 解析　顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0，設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－，x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，∴mn＝，m＋n＝，∴＝.故選B. 15.過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為________. 答案　 解析　由已知得直線方程為y＝2(x－1). 由得3y2＋2y－8＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴|y1－y2|＝＝＝， ∴S△AOB＝1＝. 16.在直線y＝－2上任取一點(diǎn)Q，過Q作拋物線x2＝4y的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB恒過定點(diǎn)________. 答案　(0，2) 解析　設(shè)Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥＝x2，則y′＝x，則在點(diǎn)A處的切線方程為y－y1＝x1(x－x1)，化簡，得y＝x1x－y1，同理，在點(diǎn)B處的切線方程為y＝x2x－y2.又點(diǎn)Q(t，－2)的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程，代入，得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，則說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程－2＝xt－y，即直線AB的方程為y－2＝tx，因此直線AB恒過定點(diǎn)(0，2). 1.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2，0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為(　　) A.[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞) C. D. 答案　B 解析　由題意，得22＝a2＋1，即a＝，設(shè)P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)， 則＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－， 因?yàn)閤≥，所以的取值范圍為[3＋2，＋∞). 2.已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為____________________. 答案　x2－＝1(x≤－1) 解析　如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B. 根據(jù)兩圓外切的條件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因?yàn)閨MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2＜6， 所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離的差是常數(shù). 又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)， 其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1). 3.若橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為，則橢圓的方程為________________. 答案　＋＝1或＋＝1 解析　由題意，得所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的方程為＋＝1；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 4.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若橢圓上存在點(diǎn)P(異于長軸的端點(diǎn))，使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為______. 答案　(－1，1) 解析　由已知，得e＝＝，由正弦定理，得 ＝，所以e＝＝＝－1. 由橢圓的幾何性質(zhì)，知a－c＜|PF2|，即e>， 即e＞，即e2＋2e－1＞0，結(jié)合0＜e＜1，可解得e∈(－1，1). 解題秘籍　(1)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，要分焦點(diǎn)在x軸上或y軸上進(jìn)行討論. (2)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡不是雙曲線，要注意定值的限制條件和“絕對(duì)值”. (3)范圍問題要注意圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍和幾何意義，不要忽略離心率本身的限制條件. 1.已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4，0)，則m等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 答案　B 解析　由題意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3. 2.(xx和平區(qū)模擬)已知橢圓＋＝1(a＞)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且離心率e＝，若點(diǎn)P在橢圓上，|PF1|＝4，則|PF2|的值為(　　) A.2 B.6 C.8 D.14 答案　A 解析　橢圓＋＝1(a＞)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上， b＝，c＝， 則離心率e＝＝，即＝， 解得a2＝9，a＝3， ∴橢圓的長軸長為2a＝6， 由橢圓的定義可知，|PF1|＋|PF2|＝6，即|PF2|＝2. 3.已知雙曲線－＝1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓的方程為x2＋y2＝4， 聯(lián)立 解得 或 即第一象限的交點(diǎn)為. 由雙曲線和圓的對(duì)稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，，故＝2b，得b2＝12. 故雙曲線的方程為－＝1.故選D. 4.(xx浙江)已知橢圓C1：＋y2＝1(m＞1)與雙曲線C2：－y2＝1(n＞0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(　　) A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1 C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1 答案　A 解析　由題意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2， ∵m＞0，n＞0，故m＞n. 又∵ee＝＝＝＝1＋＞1，∴e1e2＞1. 5.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|＝10，則拋物線的方程是(　　) A.y2＝4x B.y2＝2x C.y2＝8x D.y2＝6x 答案　C 解析　設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由拋物線的定義可知， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋＝(x1＋x2)＋p， 線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3， 又|PQ|＝10， ∴10＝6＋p，可得p＝4， ∴拋物線的方程為y2＝8x. 6.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，又漸近線過點(diǎn)(2，)， 所以＝，即2b＝a， ① 拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－， 由已知，得＝， 即a2＋b2＝7， ② 聯(lián)立①②，解得a2＝4，b2＝3， 所以雙曲線的方程為－＝1. 7.(xx全國Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|＝. 又sin∠MF2F1＝， 所以＝， 即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 8.(xx全國Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)M(－c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以＝，a＝3c，e＝. 9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________. 答案　15 解析　因?yàn)闄E圓＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦點(diǎn)為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0).根據(jù)橢圓的定義，得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|).因?yàn)閨PM|－|PF2|≤|MF2|，當(dāng)且僅當(dāng)P在MF2的延長線上時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|PM|＋|PF1|的最大值為10＋5＝15. 10.已知A(1，2)，B(－1，2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案　(1，2) 解析　設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件， 得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0，2)為圓心，1為半徑的圓. 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2， 又e>1，故1

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本文標(biāo)題：2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 求準(zhǔn)提速 基礎(chǔ)小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)練習(xí) 文.doc
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