2019-2020年高考數學復習 數列問題的題型與方法教案 蘇教版.doc

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2019-2020年高考數學復習 數列問題的題型與方法教案 蘇教版 一．復習目標： 1． 能靈活地運用等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式解題； 2．能熟練地求一些特殊數列的通項和前項的和； 3．使學生系統(tǒng)掌握解等差數列與等比數列綜合題的規(guī)律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題； 4．通過解決探索性問題，進一步培養(yǎng)學生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數學思想方法分析問題與解決問題的能力． 5．在解綜合題的實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的認識，溝通各類知識的聯系，形成更完整的知識網絡，提高分析問題和解決問題的能力． 6．培養(yǎng)學生善于分析題意，富于聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養(yǎng)學生主動探索的精神和科學理性的思維方法． 二．考試要求： 1．理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項。 2．理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解答簡單的問題。 3．理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。 4．數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要的地位。高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現。本章中還蘊含著豐富的數學思想，在主觀題中著重考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學方法。應用問題考查的重點是現實客觀事物的數學化，常需構造數列模型，將現實問題轉化為數學問題來解決。 三．教學過程： （Ⅰ）基礎知識詳析 1．可以列表復習等差數列和等比數列的概念、有關公式和性質. 2．判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法： (1)定義法：對于n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。 (2)通項公式法： ①若=+（n-1）d=+（n-k）d，則為等差數列； ②若，則為等比數列。 (3)中項公式法：驗證都成立。 3.在等差數列中,有關Sn的最值問題——常用鄰項變號法求解： (1)當,d<0時，滿足的項數m使得取最大值. (2)當,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。 在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。 4.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。 5．注意事項： ⑴證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明或而得。 ⑵在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便。 ⑶對于一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。 ⑷注意一些特殊數列的求和方法。 ⑸注意與之間關系的轉化。如： =，=． ⑹數列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數列極限的概念和性質，離不開數學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路． ⑺解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略． ⑻通過解題后的反思，找準自己的問題，總結成功的經驗，吸取失敗的教訓，增強解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力． （Ⅱ）范例分析 例1．已知數列{a}是公差d≠0的等差數列，其前n項和為S． (2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設l與l的夾角為θ， 證明：(1)因為等差數列{a}的公差d≠0，所以 Kpp是常數(k=2，3，…，n)． (2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d． 例2．已知數列中，是其前項和，并且， ⑴設數列，求證：數列是等比數列； ⑵設數列，求證：數列是等差數列； ⑶求數列的通項公式及前項和。 分析：由于和{c}中的項都和{a}中的項有關，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑． 解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練) a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ① 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ② 由①和②得，數列是首項為3，公比為2的等比數列，故b=32． 當n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式． 綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2． 說明：1．本例主要復習用等差、等比數列的定義證明一個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。 2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用． 例3．已知數列{a}是首項a1＞0，q＞-1且q≠0的等比數列，設數列的通項b=a-ka(n∈N)，數列{a}、的前n項和分別為S，T．如果T＞kS對一切自然數n都成立，求實數k的取值范圍． 分析：由探尋T和S的關系入手謀求解題思路。 解：因為{a}是首項a＞0，公比q＞-1且q≠0的等比數列，故 a=aq，a=aq． 所以 b=a-ka=a(q-kq)． T=b+b+…+b=(a+a+…+a)(q-kq)=S(q-kq)． 依題意，由T＞kS，得S(q-kq)＞kS， ①對一切自然數n都成立． 當q＞0時，由a1＞0，知a＞0，所以S＞0； 當-1＜q＜0時，因為a1＞0，1-q＞0，1-q＞0，所以S= 綜合上面兩種情況，當q＞-1且q≠0時，S＞0總成立． 由①式可得q-kq＞k ②， 例4．從社會效益和經濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產業(yè).根據規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當地旅游業(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加。(Ⅰ)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出an，bn的表達式(Ⅱ)至少經過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入? 解析：第1年投入800萬元，第2年投入800（1-）萬元……， 第n年投入800（1－）n－1萬元 所以總投入an＝800＋800（1－）＋……＋800（1－）n－1＝4000［1－（）n］ 同理：第1年收入400萬元，第2年收入400（1＋）萬元，……， 第n年收入400（1＋）n－1萬元 bn＝400＋400（1＋）＋……＋400（1＋）n－1＝1600［（）n－1］ (2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000［1－（）n］＞0 化簡得，5（）n＋2（）n－7＞0 設x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5. 說明：本題主要考查建立函數關系式，數列求和，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力。解數學問題應用題重點在過好三關：（1）事理關：閱讀理解，知道命題所表達的內容；（2）文理關：將“問題情景”中的文字語言轉化為符號語言，用數學關系式表述事件；（3）數理關：由題意建立相關的數學模型，將實際問題數學化，并解答這一數學模型，得出符合實際意義的解答。 例5．設實數，數列是首項為，公比為的等比數列，記， 求證：當時，對任意自然數都有= 解：。 記① ② ①+②得③ 說明：本例主要復習利用錯位相減解決差比數列的求和問題。關鍵是先研究通項，確定是等差數列，等比數列。 解法一：設等差數列{a}的首項a=a，公差為d，則其通項為 根據等比數列的定義知S≠0，由此可得 一步加工，有下面的解法) 解法二： 依題意，得 例7．設二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3． (1)試用表示a； 例8．在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列。 ⑴求點的坐標； ⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。 ⑶設，等差數列的任一項，其中是中的最大數，，求的通項公式。 解：（1） （2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為： 把代入上式，得，的方程為：。 ， = （3）， T中最大數. 設公差為，則，由此得 說明：本例為數列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關鍵在于算出及求數列的公差。 例9．數列中，且滿足 ⑴求數列的通項公式； ⑵設，求； ⑶設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。 解：（1）由題意，，為等差數列，設公差為， 由題意得，. （2）若， 時， 故 （3） 若對任意成立，即對任意成立， 的最小值是，的最大整數值是7。 即存在最大整數使對任意，均有 說明：本例復習數列通項，數列求和以及有關數列與不等式的綜合問題。 例10．如圖，在y軸的正半軸上依次有點其中點，且，在射線上依次有點點的坐標為（3，3），且 ⑴用含的式子表示； ⑵用含的式子表示的坐標； ⑶求四邊形面積的最大值。 解：（1）， （2）由（1）得 的坐標， 是以為首項，為公差的等差數列 （3）連接，設四邊形的面積為，則 單調遞減. 的最大值為. 說明：本例為數列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函數單調性求最值。 例11．設正數數列{a}為一等比數列，且a=4，a=16． 說明：試題涉及對數、數列、極限的綜合題，主要考查等比數列的定義及通項公式，等差數列前n項和公式，對數計算，求數列極限等基礎知識，以及綜合運用數學知識的能力． 例12．已知拋物線，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內一點，又過點作斜率為的直線交拋物線于點，再過作斜率為的直線交拋物線于點，，如此繼續(xù)，一般地，過點作斜率為的直線交拋物線于點，設點． （Ⅰ）令，求證：數列是等比數列． （Ⅱ）設數列的前項和為，試比較與的大?。? 解：（1）因為、在拋物線上，故①②，又因為直線的斜率為，即，①②代入可得 ，故是以為公比的等比數列； （2），故只要比較與的大小． 方法（一）， 當時，； 當時； 當時，． 方法（二）用數學歸納法證明，其中假設時有, 則當時,. a)，… 是公差為-1的等差數列，又2a-a，2a-a，…，2a-a，… (1)求數列{a}的通項公式； (2)計算(a+a+…+a)． 分析：由于題設中的等差數列和等比數列均由數列{an}的相關項構成，分別求出它們的通項公式構造關于a的方程組． 解：(1)設b=log(3a-a)，因為{bn}是等差數列，d=-1．b1=log 3a-a＝2 ① 設c=2a-a，{c}是等比數列，公比為q，|q|＜1， c=2a-a= 例14．等比數列{a}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n項和為S，自然數b，c，d，e滿足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求證：SS＜SS． 分析：凡是有關等比數列前n項Sn的問題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時，正確適時地應用所給的條件是成敗的關鍵． (證明不等式首選方法是差比較法，即作差—變形—判定符號，變形要有利于判定符號．) be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)． 因為c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是(c-e)(e-d)＜0．又 同理 (要比較SS與SS的大小，只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小，仍然運用差比較法．) (1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)． (能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關鍵，利用給定的c+d=b+e，尋求變形的途徑，c=b+e-d，d、e出現了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)．恒等變形只有目標明確，變形才能有方向．) 上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)．因為q＞0．所以q-d＞0． (運用函數的思想將問題轉化為根據指數函數的單調性判別乘積的符號)事實上，由b＜d＜e，q＞0， ①當0＜q＜1時，y=qx是減函數，qe＜qd，qb＞qd，即qe-qd＜0，qb-qd＞0； ②當q＞1時，y=qx是增函數，qe＞qd，qb＜qd，即qe-qd＞0，qb-qd＜0． 所以無論0＜q＜1還是q＞1，都有qe-qd與qb-qd異號，即(qe-qd)(qb-qd)＜0． 綜上所述，無論q=1還是q≠1，都有SS＜SS． 說明：復習課的任務在于對知識的深化，對能力的提高、關鍵在落實．根據上面所研究的問題，進一步提高運用函數的思想、方程的思想解決數列問題的能力． 例15．（北京高考）如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為. （Ⅰ）證明是等比數列； （Ⅱ）求的值. （Ⅰ）證明：記rn為圓On的半徑， 則 所以 故成等比數列. （Ⅱ）解：因為所以 說明：本小題主要考查數列、數列極限、三角函數等基本知識，考查邏輯思維能力. 例16．（xx年北京春季高考20）下表給出一個“等差數陣”： 4 7 （） （） （） …… …… 7 12 （） （） （） …… …… （） （） （） （） （） …… …… （） （） （） （） （） …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 其中每行、每列都是等差數列，表示位于第i行第j列的數。 （I）寫出的值；（II）寫出的計算公式； （III）證明：正整數N在該等差數列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。 分析：本小題主要考查等差數列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。 解：（I） （II）該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列： 第二行是首項為7，公差為5的等差數列： …… 第i行是首項為，公差為的等差數列，因此 （III）必要性：若N在該等差數陣中，則存在正整數i，j使得 從而 即正整數2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。 充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于2N+1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k，l，使得 ，從而 可見N在該等差數陣中。 綜上所述，正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。 （Ⅲ）、強化訓練 1．設S和T分別為兩個等差數列的前n項和，若對任意n∈N， （ ） A．4∶3B．3∶2C．7∶4D．78∶71 2．一個首項為正數的等差數列中，前3項的和等于前11項的和，當這個數列的前n項和最大時，n等于． （ ） A．5 B．6C．7 D．8 3．若數列中，，且，則數列的通項． 4．設在等比數列中，求及 5．根據下面各個數列的首項和遞推關系，求其通項公式 ⑴ ⑵ ⑶ 6．數列的前項和為不等于0，1的常數)，求其通項公式 7．某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到xx年底全縣的綠化率已達30%。從xx年開始，每年將出現這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。 （1）設全縣面積為1，xx年底綠化面積為經過年綠化總面積為 求證 （2）至少需要多少年（年取整數，）的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？ 8．（xx年春招試題）已知點的序列（，0），，其中=0，，A3是線錢A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An是線段的中點，…。 （I）寫出與、之間的關系式（≥3） （II）設，計算，，，由此推測數列{}的通項公式，并加以證明。 9．(94年全國理)設｛an｝是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項. (1)寫出數列｛an｝的前三項；(2)求數列｛an｝的通項公式(寫出推證過程)； (3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n. （Ⅳ）、參考答案 1．解：設這兩個等差數列分別為{an}和{bn}． 故選擇A． 說明：注意巧妙運用等差中項的性質來反映等差數列的通項an與前2n-1項和S2n-1的內在聯系． 2．解：依題意知．數列單調遞減，公差d＜0．因為 S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11 所以 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0 即 a4+a11=…=a7+a8=0， 故當n=7時，a7＞0，a8＜0．選擇C． 解選擇題注意發(fā)揮合理推理和估值的作用． 3．解：多次運用迭代，可得 4．解：，又，由以上二式得 或；由此得或. 說明：本例主要復習數列的基本運算和方程思想的應用。 5．解：（1），， （2）= 又解：由題意，對一切自然數成立， （3）是首項為 公比為的等比數列， 說明：本例復習求通項公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構造法。 6．解：由可得當時，，，，，是公比為的等比數列. 又當時，，，。 說明：本例復習由有關與遞推式求，關鍵是利用與的關系進行轉化。 7．（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：= 即=80%+16%=+ （2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=…= 故有=，若則有即 兩邊同時取對數可得 故，故使得上式成立的最小為5， 故最少需要經過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%. 8．（I）解：當n≥3時， （II）解： . 由此推測。 證法一：因為，且 （n≥2）所以。 證法二：（用數學歸納法證明：） （i）當時，，公式成立， （ii）假設當時，公式成立，即成立。 那么當時， =式仍成立。 根據（i）與（ii）可知，對任意，公式成立 評注：本小題主要考查中點坐標公式、等比數列等基本知識，考查運算能力和邏輯思維能力。 9．解：(1)由題意=an＞0 令n=1時，=S1=a1解得a1=2 令n=2時有==a1+a2解得a2=6 令n=3時有=S3=a1+a2+a3解得a3=10 故該數列的前三項為2、6、10. (2)解法一：由(1)猜想數列｛an｝有通項公式an=4n-2，下面用數學歸納法證明數列｛an｝的通項公式是an=4n-2(n∈N) 1當n=1時，因為41-2＝2，又在(1)中已求得a1=2，所以上述結論正確. 2假設n=k時，結論正確，即有ak=4k-2 由題意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2 由題意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2) 整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k 所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2 這就是說n=k+1時，上述結論成立. 根據1，2上述結論對所有自然數n成立. 解法二：由題意有，=(n∈N)整理得Sn=(an+2)2 由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=［（an+1+2)2-(an+2)2］ 整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由題意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4 即數列｛an｝為等差數列，其中a1=2,公差d=4， 所以an=a1＋(n-1)d=2+4(n-1)即通項公式an=4n-2. (3)令cn=bn-1, 則cn=== b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn = 說明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后再對歸納、猜想的結論進行證明.對于含自然數n的命題，可以考慮用數學歸納法進行證明，該題著重考查了歸納、概括和數學變換的能力.