2019-2020年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè) 第六章 高考專(zhuān)題突破三 高考中的數(shù)列問(wèn)題 理 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè) 第六章 高考專(zhuān)題突破三 高考中的數(shù)列問(wèn)題 理 新人教A版1公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且3a1，a2，a3成等差數(shù)列，若a11，則S4等于()A20 B0 C7 D40答案A解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其中q1，依題意有2a23a1a3，2a1q3a1a1q20.即q22q30，(q3)(q1)0，又q1，因此有q3，S420，故選A.2數(shù)列an中，已知對(duì)任意nN*，a1a2a3an3n1，則aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)答案B解析a12，a1a2an3n1，n2時(shí)，a1a2an13n11，得an3n12(n2)，n1時(shí)，a12適合上式，an23n1.aaa(9n1)3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a10，S500.設(shè)bnanan1an2(nN*)，則當(dāng)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn取得最大值時(shí)，n的值是()A23 B25C23或24 D23或25答案D解析因?yàn)镾50(a1a50)25(a25a26)0，a10，所以a250，a260，b24a24a25a260，b26，b27，0，且b24b250，所以當(dāng)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn取得最大值時(shí)，n的值為23或25.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意nN*都有Snan，若1Sk1時(shí)，Sn1an1，ananan1，an2an1，又a11，an為等比數(shù)列，且an(2)n1，Sk，由1Sk9，得4(2)k1，q2，a11.故數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差數(shù)列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.思維升華(1)正確區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中公比等于1的等比數(shù)列也是等差數(shù)列(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，若數(shù)列bn是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，則abn(a0，a1)就是一個(gè)等比數(shù)列，其公比qad；反之，若數(shù)列bn是一個(gè)公比為q(q0)的正項(xiàng)等比數(shù)列，則logabn(a0，a1)就是一個(gè)等差數(shù)列，其公差dlogaq.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2 (因?yàn)閐0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，數(shù)列bn的公比為3，bn33n23n1.(2)由an1，得當(dāng)n2時(shí)，an.兩式相減得，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又當(dāng)n1時(shí)，a2，c13.cnc1c2c3c2 01333(332 013)32 013.題型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1，an1an.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn.(1)證明因?yàn)閍1，an1an，當(dāng)nN*時(shí)，0.又，(nN*)為常數(shù)，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得()n1，所以ann()n.Sn1()2()23()3n()n，Sn1()22()3(n1)()nn()n1，Sn()()2()3()nn()n1n()n1，Sn2()n1n()n2(n2)()n.綜上，ann()n，Sn2(n2)()n.思維升華(1)一般數(shù)列的通項(xiàng)往往要構(gòu)造數(shù)列，此時(shí)要從證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，本題選用的錯(cuò)位相減法，常用的還有分組求和，裂項(xiàng)求和已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，nN*.(1)求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn，Tnb1b2bn，求Tn.(1)證明Sn，nN*，當(dāng)n1時(shí)，a1S1 (an0)，a11.當(dāng)n2時(shí)，由得2anaanaan1.即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可得ann，Sn，bn.Tnb1b2b3bn11.題型三數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題例3(xx廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解當(dāng)n2時(shí)，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)1n，所以ann2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2，nN*.(3)證明當(dāng)n1時(shí)，1；當(dāng)n2時(shí)，1；當(dāng)n3時(shí)，此時(shí)111，所以對(duì)一切正整數(shù)n，有Tn1，且T11T2T3，Tn的最大值是，故m.1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，a35，S10100.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意，得解得所以an2n1.(2)因?yàn)閎n4n2n，所以Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n4nn2n.2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的nN*有anSnn.(1)設(shè)bnan1，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)設(shè)c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通項(xiàng)公式(1)證明由a1S11及a1S1得a1.又由anSnn及an1Sn1n1得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.數(shù)列bn是以b1a11為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知2an1an1，2anan11(n2)2an12ananan1(n2)，即2cn1cn(n2)又c1a1，2a2a11，a2.c2，即c2c1.數(shù)列cn是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列cn()n1.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an2n1.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若不等式2n2n30，所以不等式2n2n3，記bn，n2時(shí)，所以n3時(shí)1，(bn)maxb3，所以.4已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，它們滿足S42S28，b2，T2，且當(dāng)n4或5時(shí)，Sn取得最小值(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn(Sn)(Tn)，nN*，如果cn是單調(diào)數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，因?yàn)楫?dāng)n4或5時(shí)，Sn取得最小值，所以a50，所以a14d，所以an(n5)d，又由a3a4a1a28，得d2，a18，所以an2n10；由b2，T2得b1，所以q，所以bn.(2)由(1)得Snn29n，Tn，cn，當(dāng)cn為遞增數(shù)列時(shí)，cnn210n4恒成立，當(dāng)cn為遞減數(shù)列時(shí)，cncn1，即n210n4恒成立，21，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為(，21)5已知正項(xiàng)數(shù)列an，bn滿足：a13，a26，bn是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有bn，bn1成等比數(shù)列(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn，試比較2Sn與2的大小解(1)對(duì)任意正整數(shù)n，都有bn，bn1成等比數(shù)列，且數(shù)列an，bn均為正項(xiàng)數(shù)列，anbnbn1(nN*)由a13，a26得又bn為等差數(shù)列，即有b1b32b2，解得b1，b2，數(shù)列bn是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn(nN*)(2)由(1)得，對(duì)任意nN*，anbnbn1，從而有2()，Sn2()()()1.2Sn2.又22，2Sn(2).當(dāng)n1，n2時(shí)，2Sn2.6(xx四川)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知，得b72a7，b82a84b7，有2a842a72a72.解得da8a72.所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù)f(x)2x在(a2，b2)處的切線方程為()(xa2)，它在x軸上的截距為a2.由題意知，a22，解得a22.所以da2a11，從而ann，bn2n.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以Tn.