2019-2020年高考數(shù)學復習 導數(shù)應用的題型與方法教案 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學復習 導數(shù)應用的題型與方法教案 蘇教版 一．復習目標： 1．了解導數(shù)的概念，能利用導數(shù)定義求導數(shù)．掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念．在了解瞬時速度的基礎上抽象出變化率的概念． 2．熟記基本導數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的導數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導法則和復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)，利能夠用導數(shù)求單調區(qū)間，求一個函數(shù)的最大(小)值的問題，掌握導數(shù)的基本應用． 3．了解函數(shù)的和、差、積的求導法則的推導，掌握兩個函數(shù)的商的求導法則。能正確運用函數(shù)的和、差、積的求導法則及已有的導數(shù)公式求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。 4．了解復合函數(shù)的概念。會將一個函數(shù)的復合過程進行分解或將幾個函數(shù)進行復合。掌握復合函數(shù)的求導法則，并會用法則解決一些簡單問題。 二．考試要求： ⑴了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念。 ⑵熟記基本導數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a,lnx, logx的導數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導法則和復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。 ⑶了解可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系，了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)要極值點兩側異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。 三．教學過程： （Ⅰ）基礎知識詳析 導數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導數(shù)的學習，主要是以下幾個方面: 1．導數(shù)的常規(guī)問題： （1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）； （2）同幾何中切線聯(lián)系（導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）； （3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數(shù)方法顯得簡便）等關于次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。 2．關于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。 3．導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。 4．曲線的切線 在初中學過圓的切線，直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點．圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線過該點的切線，顯然這種推廣是不妥當?shù)模鐖D3—1中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx．直線與曲線C有惟一公共點M，但我們不能說直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個公共點，我們還是說直線是曲線C在點N處的切線．因此，對于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義．所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線． 5．瞬時速度 在高一物理學習直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中首先指出：運動物體經(jīng)過某一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然后從實際測量速度出發(fā)，結合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明．物理課上對瞬時速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度． 6．導數(shù)的定義 導數(shù)定義與求導數(shù)的方法是本節(jié)的重點，推導導數(shù)運算法則與某些導數(shù)公式時，都是以此為依據(jù)． 對導數(shù)的定義，我們應注意以下三點： (1)△x是自變量x在 處的增量(或改變量)． (2)導數(shù)定義中還包含了可導或可微的概念，如果△x→0時，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點處可導或可微，才能得到f(x)在點處的導數(shù)． (3)如果函數(shù)y=f(x)在點處可導，那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)．反之不一定成立．例如函數(shù)y=|x|在點x=0處連續(xù)，但不可導． 由導數(shù)定義求導數(shù)，是求導數(shù)的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行： (1)求函數(shù)的增量； (2)求平均變化率； (3)取極限，得導數(shù)。 7．導數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率．由此，可以利用導數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步： (1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率； (2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為 8．和（或差）的導數(shù) 對于函數(shù)的導數(shù)，如何求呢？我們不妨先利用導數(shù)的定義來求。 我們不難發(fā)現(xiàn)，即兩函數(shù)和的導數(shù)等于這兩函數(shù)的導數(shù)的和。 由此我們猜測在一般情況下結論成立。事實上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函數(shù)的和（或差）的求導法則。 9．積的導數(shù) 兩個函數(shù)的積的求導法則的證明是本節(jié)的一個難點，證明過程中變形的關鍵是依據(jù)導數(shù)定義的結構形式。（具體過程見課本P120） 說明： （1）； （2）若c為常數(shù)，則(cu) ′=cu′。 10．商的導數(shù) 兩個函數(shù)的商的求導法則，課本中未加證明，只要求記住并能運用就可以?，F(xiàn)補充證明如下： 設 因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續(xù)，于是△x→0時，v(x+△x)→v(x)，從而 即。 說明：（1）； （2） 學習了函數(shù)的和、差、積、商的求導法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導法則與導數(shù)公式求導，而不需要回到導數(shù)的定義去求。 11. 導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系 ㈠與為增函數(shù)的關系。 能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。 ㈡時，與為增函數(shù)的關系。 若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有?！喈敃r，是為增函數(shù)的充分必要條件。 ㈢與為增函數(shù)的關系。 為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數(shù)在某個區(qū)間內恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調性。∴是為增函數(shù)的必要不充分條件。 函數(shù)的單調性是函數(shù)一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數(shù)判斷好函數(shù)的單調性。因此新教材為解決單調區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。 ㈣單調區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間 （4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間 我們在應用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能準確無誤地判斷函數(shù)的單調性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個區(qū)間內可導。 ㈤函數(shù)單調區(qū)間的合并 函數(shù)單調區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調遞增，在單調遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。 （1）恒成立 ∴為上 ∴ 對任意 不等式 恒成立 （2）恒成立 ∴ 在上 ∴ 對任意不等式 恒成立 ㈥注意事項 1．導數(shù)概念的理解． 2．利用導數(shù)判別可導函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值． 復合函數(shù)的求導法則是微積分中的重點與難點內容。課本中先通過實例，引出復合函數(shù)的求導法則，接下來對法則進行了證明。 對于復合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對復合函數(shù)加以直觀定義，使我們對復合函數(shù)的的概念有一個初步的認識，再結合以后的例題、習題就可以逐步了解復合函數(shù)的概念。 3．要能正確求導，必須做到以下兩點： （1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數(shù)的求導法則。 （2）對于一個復合函數(shù)，一定要理清中間的復合關系，弄清各分解函數(shù)中應對哪個變量求導。 4．求復合函數(shù)的導數(shù)，一般按以下三個步驟進行： （1）適當選定中間變量，正確分解復合關系； （2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）； （3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。 也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關系，說明函數(shù)關系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導，中間變量對自變量求導；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解——求導——回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。 （Ⅱ） 范例分析 例1． 在處可導，則 思路： 在處可導，必連續(xù) ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限： （1）； （2） 分析：在導數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數(shù)定義的結構形式。 解：（1） （2） 說明：只有深刻理解概念的本質，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉化為導數(shù)定義的結構形式。 例3．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。 解：若為偶函數(shù) 令 ∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù) 另證： ∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù) 例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程； （2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。 分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導數(shù)。 解：（1）， ，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1 （2） 。 例5． 求下列函數(shù)單調區(qū)間 （1） （2） （3） （4） 解：（1） 時 ∴ ， （2） ∴ ， （3） ∴ ∴ ， ， （4） 定義域為 例6．求證下列不等式 （1） （2） （3） 證：（1） ∴ 為上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 （2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．利用導數(shù)求和： （1）； （2）。 分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)，利用導數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。 解：（1）當x=1時， ； 當x≠1時， ∵， 兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得 即 （2）∵， 兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得。 令x=1得 ， 即。 例8．求滿足條件的 （1）使為上增函數(shù) （2）使為上…… （3）使為上 解：（1） ∴ 時 也成立 ∴ （2） 時 也成立 ∴ （3） 例9．（1）求證 （2） 求證 （1）證：令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）令 上式也成立 將各式相加 即 例10． 設，求函數(shù)的單調區(qū)間. 分析：本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法及推理和運算能力. 解：. 當時 . （i）當時，對所有，有. 即，此時在內單調遞增. （ii）當時，對，有， 即，此時在（0，1）內單調遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此， 函數(shù)在（0，+）內單調遞增 （iii）當時，令，即. 解得. 因此，函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間 內也單調遞增. 令， 解得. 因此，函數(shù)在區(qū)間內單調遞減. 說明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數(shù)的單調區(qū)間，只有用導數(shù)才行，這是教材新增的內容。其理論依據(jù)如下（人教版試驗本第三冊P148）： 設函數(shù)在某個區(qū)間內可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)。如果，則為常數(shù)。 例11．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為和。 （1）求A、B兩點的坐標； （2）求直線與的夾角。 分析：理解導數(shù)的幾何意義是解決本例的關鍵。 解 （1）由方程組 解得 A(-2，0)，B(3，5) （2）由y′=2x，則，。設兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式， 所以 說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。 例12．設，是上的偶函數(shù)。 （I）求的值； （II）證明在上是增函數(shù)。 解：（I）依題意，對一切有，即， ∴對一切成立， 由此得到，， 又∵，∴。 （II）證明：由，得， 當時，有，此時。 ∴在上是增函數(shù)。 例13．設函數(shù)，其中。 （I）解不等式； （II）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)。 解1：（I）分類討論解無理不等式（略）。 （II）作差比較（略）。 解2： （i）當時，有，此時，函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)。但，因此，當且僅當時，。 （ii）當時，解不等式，得，在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)。 解方程，得或， ∵， ∴當且僅當時，， 綜上，（I）當時，所給不等式的解集為：； 當時，所給不等式的解集為：。 （II）當且僅當時，函數(shù)在區(qū)間上時單調函數(shù)。 例14． 已知，函數(shù)設，記曲線在點處的切線為。 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）設與軸的交點為，證明：①②若，則 解：（1）的導數(shù)，由此得切線的方程 ， （2）依題得，切線方程中令，得 ，其中， （?。┯?，，有，及， ∴，當且僅當時，。 （ⅱ）當時，，因此，，且由（?。?， 所以。 例15． 已知為正整數(shù). （Ⅰ）設； （Ⅱ）設 分析：本題主要考查導數(shù)、不等式證明等知識，考查綜合運用所數(shù)學知識解決問題的能力。 證明：（Ⅰ）因為， 所以 （Ⅱ）對函數(shù)求導數(shù): ∴ 即對任意 （Ⅲ）、強化訓練 1．設函數(shù)f(x)在處可導，則等于 （ ） A． B． C． D． 2．若，則等于 （ ） A． B． C．3 D．2 3．曲線上切線平行于x軸的點的坐標是 （ ） A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2） 4．若函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點（4，f（4））處的切線的傾斜角為（ ） A．90 B．0 C．銳角 D．鈍角 5．函數(shù)在[0，3]上的最大值、最小值分別是 （ ） A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 6．一直線運動的物體，從時間t到t+△t時，物體的位移為△s，那么為（ ） A．從時間t到t+△t時，物體的平均速度 B．時間t時該物體的瞬時速度 C．當時間為△t 時該物體的速度 D．從時間t到t+△t時位移的平均變化率 7．關于函數(shù)，下列說法不正確的是 （ ） A．在區(qū)間（，0）內，為增函數(shù) B．在區(qū)間（0，2）內，為減函數(shù) C．在區(qū)間（2，）內，為增函數(shù) D．在區(qū)間（，0）內，為增函數(shù) 8．對任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為 （ ） A． B． C． D． 9．函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值與最小值分別是 （ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 10．設f(x)在處可導，下列式子中與相等的是 （ ） （1）； （2）； （3） （4）。 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 11．f()是定義在區(qū)間[－c,c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下 列關于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ） A．若a<0,則函數(shù)g（）的圖象關于原點對稱. B．若a=－1，－2
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