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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題1 高考客觀題常考知識 第2講 平面向量、復數(shù) 理
平面向量的概念及線性運算
1.(xx資陽市一診)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,則( B )
(A)A,B,C三點共線 (B)A,B,D三點共線
(C)A,C,D三點共線 (D)B,C,D三點共線
解析:=+=2a+6b=2(a+3b),
則=2,即A,B,D三點共線,故選B.
2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則|b|等于( C )
(A) (B) (C)2 (D)2
解析:因為a∥b,所以1m=2(-2),解得m=-4,
所以b=(-2,-4),|b|==2.故選C.
3.在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,+=λ,則λ= .
解析:因為O為AC的中點,
所以+==2,即λ=2.
答案:2
平面向量的數(shù)量積
4.(xx廣西柳州市、北海市、欽州市1月模擬)已知向量a與b的夾角為30,且|a|=1,|2a-b|=1,則|b|等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:由題意得|2a-b|2=4-4|b|+|b|2=1,
即|b|2-2|b|+3=0,
解得|b|=.故選C.
5.(xx重慶卷)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為( A )
(A) (B) (C) (D)π
解析:因為(a-b)⊥(3a+2b),
所以(a-b)(3a+2b)=0?3|a|2-ab-2|b|2=0?
3|a|2-|a||b|cos
-2|b|2=0.
又因為|a|=|b|,
所以|b|2-|b|2cos-2|b|2=0.
所以cos=,
因為∈[0,π],
所以=.故選A.
6.(xx遼寧錦州市質(zhì)檢)已知向量=(2,2),=(4,1),點P在x軸上,則取最小值時P點坐標是( D )
(A)(-3,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0)
解析:設P(x,0),則=-=(x-2,-2),
=-=(x-4,-1),
所以=(x-2)(x-4)+2
=x2-6x+10
=(x-3)2+1,
所以x=3時,取得最小值,
此時P(3,0).故選D.
7.(xx福建卷)已知⊥,||=,||=t.若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且=+,則的最大值等于( A )
(A)13 (B)15 (C)19 (D)21
解析:以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則B(,0)(t>0),C(0,t),P(1,4),=（-1,-4）(-1,
t-4)=17-（4t+）≤17-22=13（當且僅當t=時,取“=”）,故的最大值為13,故選A.
8.(xx湖北七市(州)3月聯(lián)考)已知向量=(2,m),=(1,),且向量在向量方向上的投影為1,則||= .
解析:||cos<,>===1,
解得m=0.
則||==2.
答案:2
9.(xx山東卷)在△ABC中,已知=tan A,當A=時,△ABC的面積為 .
解析:根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得=||||cos A,當A=時,根據(jù)已知可得||||=,故△ABC的面積為||||
sin =.
答案:
復數(shù)的概念與運算
10.(xx山西太原市模擬)已知i為虛數(shù)單位,集合A={1,2,zi},
B={1,3},A∪B={1,2,3,4},則復數(shù)z等于( A )
(A)-4i (B)4i (C)-2i (D)2i
解析:由題意zi=4,所以z==-4i.故選A.
11.(xx貴州七校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)復數(shù)z=(m∈R,i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點不可能位于( A )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:由已知z=
=
=[(m-4)-2(m+1)i].
在復平面上對應的點如果在第一象限,
則
而此不等式組無解,
即在復平面上對應的點不可能位于第一象限.故選A.
12.(xx江蘇卷)設復數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為 .
解析:設z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi,
由復數(shù)相等的定義得
解得或
從而|z|==.
答案:
13.(xx天津卷)i是虛數(shù)單位,若復數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為 .
解析:因為(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i為純虛數(shù),
所以
解得a=-2.
答案:-2
一、選擇題
1.(xx廣東卷)已知復數(shù)z滿足(3+4i)z=25,則z等于( D )
(A)-3+4i (B)-3-4i
(C)3+4i (D)3-4i
解析:根據(jù)復數(shù)的運算法則,z===3-4i.故選D.
2.(xx河南鄭州市質(zhì)檢)在復平面內(nèi)與復數(shù)z=所對應的點關于虛軸對稱的點為A,則A對應的復數(shù)為( C )
(A)1+2i (B)1-2i
(C)-2+i (D)2+i
解析:復數(shù)z===2+i,
得點A對應的復數(shù)為-2+i,故選C.
3.(xx安徽蚌埠市質(zhì)檢)若復數(shù)(2+ai)(1-i)(a∈R)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位),則a的值為( A )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:(2+ai)(1-i)=(2+a)+(-2+a)i,
由復數(shù)(2+ai)(1-i)(a∈R)是純虛數(shù),
得2+a=0,則a=-2,故選A.
4.設i是虛數(shù)單位,是復數(shù)z的共軛復數(shù),若zi+2=2z,則z等于( A )
(A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i
解析:設z=a+bi(a,b∈R),則|z|2=a2+b2,
由zi+2=2z,得|z|2i+2=2(a+bi),
即解得所以z=1+i.
5.(xx廈門質(zhì)檢)如圖,正六邊形ABCDEF中,AB=2,則(-)(+)等于( D )
(A)-6 (B)-2
(C)2 (D)6
解析:由-=,
+=+=,
則(-)(+)
=
=||||cos
=22=6.
故選D.
6.(xx福建卷)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是( B )
(A)e1=(0,0),e2=(1,2) (B)e1=(-1,2),e2=(5,-2)
(C)e1=(3,5),e2=(6,10) (D)e1=(2,-3),e2=(-2,3)
解析:選項A中λe1+μe2=(μ,2μ)(λ,μ∈R),不存在μ使(μ,2μ)
=(3,2),可排除選項A.選項C,D中e1∥e2,但與a不共線,則a不能由e1,e2表示,設(3,2)=x(-1,2)+y(5,-2)=(-x+5y,2x-2y)(x,y∈R),可得x=2,y=1,所以選項B中的e1,e2可把a表示出來.故選B.
7.(xx河南洛陽市期末)在平面直角坐標系xΟy中,點Α與Β關于y軸對稱.若向量a=(1,k),則滿足不等式+a ≤0的點Α(x,y)的集合為( C )
(A){(x,y)|(x+1)2+y2≤1}
(B){(x,y)|x2+y2≤k2}
(C){(x,y)|(x-1)2+y2≤1}
(D){(x,y)|(x+1)2+y2≤k2}
解析:由A(x,y)可得B(-x,y),則=(-2x,0),不等式+a≤0可化為x2+y2-2x≤0,即(x-1)2+y2≤1,故選C.
8.(xx遵義市第二次聯(lián)考)在平面直角坐標系中,向量n=(2,0),將向量n繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量m,若向量a滿足|a-m-n|=1,則|a|的最大值是( B )
(A)2-1 (B)2+1
(C)3 (D)++1
解析:由題意得m=(1,).設a=(x,y),
則a-m-n=(x-3,y-),
所以|a-m-n|2=(x-3)2+=1.
而(x,y)表示圓心為(3,)的圓上的點,求|a|的最大值,
即求該圓上點到原點的距離的最大值,最大值為2+1.
9.(xx廣東惠州市一調(diào))已知向量a與b的夾角為θ,定義ab為a與b的“向量積”,且ab是一個向量,它的長度|ab|=|a||b|sin θ,若u=(2,0),u-v=(1,-),則|u(u+v)|等于( D )
(A)4 (B) (C)6 (D)2
解析:由題意v=u-(u-v)=(1,),
則u+v=(3,),
cos=,
得sin=,
由定義知|u(u+v)|=|u||u+v|sin
=22
=2.
故選D.
10.如圖,設向量=(3,1),=(1,3),若=λ+μ,且λ≥μ≥1,則用陰影表示C點所有可能的位置區(qū)域正確的是( D )
解析:設向量=(x,y),
由題意得
所以
λ≥μ≥1,
所以
即
即選項D的形式.故選D.
11.設△ABC,P0是邊AB上一定點,滿足P0B=AB,且對于邊AB上任一點P,恒有≥,則( D )
(A)∠ABC=90 (B)∠BAC=90
(C)AB=AC (D)AC=BC
解析:設AB=4,以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立平面直角坐標系,
則A(-2,0),B(2,0),
則P0(1,0),
設C(a,b),P(x,0),
所以=(2-x,0),
=(a-x,b).
=(1,0),=(a-1,b).
則≥?(2-x)(a-x)≥a-1恒成立,
即x2-(2+a)x+a+1≥0恒成立.
所以Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0恒成立.
所以a=0.
即點C在線段AB的中垂線上,
所以AC=BC.故選D.
12.(xx河南鄭州市級第一次質(zhì)量預測)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜邊AB上的兩個動點,且MN=,則的取值范圍為( B )
(A)[3,6] (B)[4,6] (C)[2,] (D)[2,4]
解析:以點C為坐標原點,
邊CA,CB所在的直線分別為x軸,y軸,建立平面直角坐標系,
直線AB的方程為x+y=3.
設M(x,3-x),
則N(x+1,2-x),(0≤x≤2),
所以=x(x+1)+(3-x)(2-x)
=2x2-4x+6
=2(x-1)2+4(0≤x≤2),
當x=0或2時,取最大值6,
當x=1時,取最小值4.
二、填空題
13.(xx北京卷)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),則|λ|= .
解析:|b|=.因為b=-λa,
所以|b|=|λ||a|,
所以|λ|==.
答案:
14.(xx江西卷)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β= .
解析:因為a2=(3e1-2e2)2=9-232cos α+4=9,
所以|a|=3,
又b2=(3e1-e2)2=9-231cos α+1=8,
所以|b|=2,
ab=(3e1-2e2)(3e1-e2)
=9-9e1e2+2
=9-911+2
=8,
所以cos β===.
答案:
15.(xx山西大同市三模)已知a,b是非零向量,f(x)=(ax+b)
(bx-a)的圖象是一條直線,|a+b|=2,|a|=1,則f(x)= .
解析:f(x)=abx2-(a2-b2)x-ab的圖象是一條直線,
可得ab=0.
因為|a+b|=2,
所以a2+b2=4.
因為|a|=1,
所以a2=1,b2=3,
所以f(x)=2x.
答案:2x
16.(xx江西南昌市第一次模擬)已知三角形ABC中,AB=AC,BC=4,
∠BAC=120,=3,若P是BC邊上的動點,則的取值范圍是 .
解析:法一 設=λ(0≤λ≤1),
=+=+λ,
=(+λ)(+)
=+λ+(+λ)
=4λ-.
因為0≤λ≤1,
所以0≤4λ≤4,
所以-≤4λ-≤.
法二 如圖所示,以BC的中點O為坐標原點,直線BC為x軸,直線AO為y軸建立平面直角坐標系,
由已知可得A(0,),B(-2,0),C(2,0),E(1,0).
設點P(x,0)(-2≤x≤2),
則=(x,-),=(1,-),
所以=x+∈.
答案:[-,]
2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題1 高考客觀題?？贾R 第2講 平面向量、復數(shù) 理.doc
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