111《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》

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1、1.1.分 類 加 法 計 數(shù) 原 理分 步 乘 法 計 數(shù) 原 理 問 題 1. 從 甲 地 到 乙 地 ， 可 以 乘 火 車 ， 也可 以 乘 汽 車 。 一 天 中 ， 火 車 有 4 班 , 汽 車 有2班 。 那 么 一 天 中 乘 坐 這 些 交 通 工 具 從 甲 地到 乙 地 共 有 多 少 種 不 同 的 走 法 ?分 析 : 從 甲 地 到 乙 地 有 2類 方 法 , 第 一 類 方 法 , 乘 火 車 ， 有 4種 方 法 ; 第 二 類 方 法 , 乘 汽 車 ， 有 2種 方 法 ; 所 以 從 甲 地 到 乙 地 共 有 4 + 2 = 6 種方 法 。 完 成

2、 一 件 事 ， 有 n類 辦 法 . 在 第 1類 辦 法 中 有m1種 不 同 的 方 法 ， 在 第 2類 方 法 中 有 m2種 不 同 的方 法 ， ， 在 第 n類 方 法 中 有 mn種 不 同 的 方 法 ，則 完 成 這 件 事 共 有 2） 首 先 要 根 據(jù) 具 體 的 問 題 確 定 一 個 分 類 標(biāo) 準(zhǔn) ， 在 分類 標(biāo) 準(zhǔn) 下 進 行 分 類 ， 然 后 對 每 類 方 法 計 數(shù) .1） 各 類 辦 法 之 間 相 互 獨 立 ,都 能 獨 立 的 完 成 這 件 事 ， 要計 算 方 法 種 數(shù) ,只 需 將 各 類 方 法 數(shù) 相 加 ,因 此 分 類 計

3、數(shù) 原理 又 稱 加 法 原 理N= m1+m2+ + mn 種 不 同 的 方 法 問 題 2 如 圖 ,由 A村 去 B村 的 道 路 有 3條 ，由 B村 去 C村 的 道 路 有 2條 。 從 A村 經(jīng) B村 去C村 ， 共 有 多 少 種 不 同 的 走 法 ?A村 B村 C村北南中 北 南 分 析 : 從 A村 經(jīng) B村 去 C村 有 2步 , 第 一 步 , 由 A村 去 B村 有 3種 方 法 , 第 二 步 , 由 B村 去 C村 有 3種 方 法 , 所 以 從 A村 經(jīng) B村 去 C村 共 有 3 2 = 6 種不 同 的 方 法 。 完 成 一 件 事 ， 需 要 分

4、成 n個 步 驟 。 做 第 1步 有 m1種 不 同 的 方 法 ， 做 第 2步 有 m2種 不 同 的 方 法 ， ，做 第 n步 有 mn種 不 同 的 方 法 ， 則 完 成 這 件 事 共 有 2） 首 先 要 根 據(jù) 具 體 問 題 的 特 點 確 定 一 個 分 步 的 標(biāo) 準(zhǔn) ，然 后 對 每 步 方 法 計 數(shù) .1） 各 個 步 驟 相 互 依 存 ,只 有 各 個 步 驟 都 完 成 了 ,這 件 事才 算 完 成 ,將 各 個 步 驟 的 方 法 數(shù) 相 乘 得 到 完 成 這 件 事 的方 法 總 數(shù) ,又 稱 乘 法 原 理N=m1 m2 mn種 不 同 的 方

5、法 加 法 原 理 乘 法 原 理聯(lián) 系區(qū) 別 一 完 成 一 件 事 情 共 有 n類辦 法 ， 關(guān) 鍵 詞 是 “ 分 類 ” 完 成 一 件 事 情 ,共 分 n個步 驟 ， 關(guān) 鍵 詞 是 “ 分 步 ”區(qū) 別 二 每 類 辦 法 都 能 獨 立 完 成這 件 事 情 。 每 一 步 得 到 的 只 是 中 間 結(jié) 果 ，任 何 一 步 都 不 能 能 獨 立 完 成這 件 事 情 ， 缺 少 任 何 一 步 也不 能 完 成 這 件 事 情 ， 只 有 每個 步 驟 完 成 了 ， 才 能 完 成 這件 事 情 。分 類 計 數(shù) 原 理 和 分 步 計 數(shù) 原 理 ， 回 答 的 都

6、 是 關(guān) 于完 成 一 件 事 情 的 不 同 方 法 的 種 數(shù) 的 問 題 。區(qū) 別 三 各 類 辦 法 是 互 斥 的 、并 列 的 、 獨 立 的 各 步 之 間 是 相 關(guān) 聯(lián) 的分 類 計 數(shù) 與 分 步 計 數(shù) 原 理 的 區(qū) 別 和 聯(lián) 系 ： 例 1 在 填 寫 高 考 志 愿 表 時 ， 一 名 高 中 畢 業(yè) 生 了 解 到 A、 B兩所 大 學(xué) 各 有 一 些 自 己 感 興 趣 的 強 項 專 業(yè) ， 具 體 情 況 如 下 ：A大 學(xué) B大 學(xué)生 物 學(xué)化 學(xué)醫(yī) 學(xué)物 理 學(xué)工 程 學(xué) 數(shù) 學(xué)會 計 學(xué)信 息 技 術(shù) 學(xué)法 學(xué)如 果 這 名 同 學(xué) 只 能 選 一

7、個 專 業(yè) ， 那 么 他 共 有 多 少 種 選 擇 呢 ？解 ： 這 名 同 學(xué) 在 A大 學(xué) 中 有 5種 專 業(yè) 選 擇 ， 在 B大 學(xué) 中 有 4種 專 業(yè) 選 擇 。 根 據(jù) 分 類 計 數(shù) 原 理 ： 這 名 同 學(xué) 可 能 的 專 業(yè) 選 擇 共 有 5+4 9種 。 例 2、 設(shè) 某 班 有 男 生 30名 ， 女 生 24名 。 現(xiàn) 要 從 中 選 出男 、 女 生 各 一 名 代 表 班 級 參 加 比 賽 ， 共 有 多 少 種 不同 的 選 法 ？ 30 24=720 例 3、 書 架 上 第 1層 放 有 4本 不 同 的 計 算 機 書 ,第 2層 放 有 3本

8、 不 同 的 文 藝 書 ,第 3層 放 有 2本 不 同 的體 育 雜 志 .(2)從 書 架 的 第 1、 2、 3層 各 取 1本 書 ,有 多 少 種 不 同 取 法 ? N 4 3+2 9 N 4 3 2 24(1)從 書 架 上 任 取 1本 書 ,有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 例 4 要 從 甲 、 乙 、 丙 3幅 不 同 的 畫 中 選 出 2幅 ，分 別 掛 在 左 右 兩 邊 墻 上 的 指 定 位 置 ， 問 共 有 多少 種 不 同 的 掛 法 ？ 3 2 練 習(xí) ： 課 本 第 6頁 例 5： 從 1,2,3,4中 選 三 個 數(shù) 字 ， 組 成 無 重

9、復(fù)數(shù) 字 的 整 數(shù) ， 則 滿 足 下 列 條 件 的 數(shù) 有 多 少個 ？（ 1） 三 位 數(shù)（ 2） 三 位 偶 數(shù) 4 3 2=242 3 2=12 例 6：（ 1） 若 他 從 這 些 參 考 書 中 帶 1本 去 圖 書 館 ， 則 有 多 少 種 不同 的 帶 法 ？（ 2） 若 帶 外 語 、 數(shù) 學(xué) 、 物 理 參 考 書 各 一 本 ， 則 有 多 少 種不 同 的 帶 法 ？（ 3） 若 從 這 些 參 考 書 中 選 2本 不 同 學(xué) 科 的 參 考 書 帶 到 圖 書館 ， 則 有 多 少 種 不 同 的 帶 法 ？5+4+3=125 4 3=60分 三 類 ： 選

10、1本 外 語 書 和 1本 數(shù) 學(xué) 書 ： 5 4=20 選 1本 數(shù) 學(xué) 書 和 1本 物 理 書 ： 4 3=12 選 1本 外 語 書 和 1本 物 理 書 ： 5 3=15 20+12+15=47 跟 蹤 訓(xùn) 練有 一 項 活 動 ， 需 在 3名 老 師 、 8名 男 同 學(xué) 和 5名 女 同 學(xué) 中 選部 分 人 參 加 。（ 1） 若 只 需 一 人 參 加 ， 有 多 少 種 不 同 的 選 法 ？（ 2） 若 需 老 師 、 男 同 學(xué) 、 女 同 學(xué) 各 一 人 參 加 ， 有 多 少 種不 同 的 選 法 ？（ 3） 若 需 一 名 老 師 、 一 名 同 學(xué) 參 加 ，

11、 有 多 少 種 不 同 的 選法 ？ 例 7. （ 1） 4名 同 學(xué) 分 別 報 名 參 加 學(xué) 校 的 足 球 隊 、 籃 球 隊 、 乒 乓 球 隊 ，每 人 限 報 其 中 的 一 個 運 動 隊 ， 有 多 少 種 不 同 的 報 法 ？（ 2） 3個 班 分 別 從 5個 風(fēng) 景 點 中 選 擇 一 處 游 覽 ， 有 多 少 種 不 同的 選 法 ？解 ： （ 1） 4名 同 學(xué) 中 任 一 名 均 可 報 其 中 的 任 一 隊 ， 因 此 每個 同 學(xué) 都 有 3種 報 名 方 法 ， 4名 學(xué) 生 都 報 了 項 目 才 能 算 完 成這 一 事 件 故 報 名 方 法

12、種 數(shù) 為 3 3 3 3= 種 .（ 2） 3個 班 中 任 一 班 均 可 選 其 中 的 任 一 處 游 覽 ， 因 此每 個 班 都 有 5種 選 擇 方 法 ， 3個 班 都 選 了 景 點 才 能 算 完成 這 一 事 件 故 選 擇 方 法 種 數(shù) 為 5 5 5= 種 43 35 2、 某 商 場 有 6個 門 ， 如 果 某 人 從 其 中 的 任 意 一 個 門 進 入 商場 ， 并 且 要 求 從 其 他 的 門 出 去 ， 共 有 多 少 種 不 同 的 進 出 商 場 的方 式 ？ 課 堂 練 習(xí) ：3、 某 縣 的 部 分 電 話 號 碼 是 05798415 ,后

13、 面 每 個 數(shù) 字來 自 0 9這 10個 數(shù) ,問 可 以 產(chǎn) 生 多 少 個 不 同 的 電 話 號 碼 ? 甲丙 丁乙 N1=2 3=6N2=4 2=8N= N1+N2 =144、 將 內(nèi) 容 均 不 相 同 的 5封 信 投 入 3個 郵 筒 ， 有 多 少 種 不 同 的 投 法 ？53 如 圖 ,要 給 下 面 A、 B、 C、 D四 個 區(qū) 域 分 別 涂 上 5種 不 同 顏色 中 的 某 一 種 ,允 許 同 一 種 顏 色 使 用 多 次 ,但 相 鄰 區(qū) 域 必 須 涂不 同 的 顏 色 ,不 同 的 涂 色 方 案 有 多 少 種 ？N = 5 4 3 4 = 240

14、 注 意 ： 分 步 乘 法 計 數(shù) 關(guān) 鍵 要 算 好 每 一 步 的 方 法數(shù) 加 法 原 理 乘 法 原 理聯(lián) 系區(qū) 別 一 完 成 一 件 事 情 共 有 n類辦 法 ， 關(guān) 鍵 詞 是 “ 分 類 ” 完 成 一 件 事 情 ,共 分 n個步 驟 ， 關(guān) 鍵 詞 是 “ 分 步 ”區(qū) 別 二 每 類 辦 法 都 能 獨 立 完 成這 件 事 情 。 每 一 步 得 到 的 只 是 中 間 結(jié) 果 ，任 何 一 步 都 不 能 能 獨 立 完 成這 件 事 情 ， 缺 少 任 何 一 步 也不 能 完 成 這 件 事 情 ， 只 有 每個 步 驟 完 成 了 ， 才 能 完 成 這件 事 情 。分 類 計 數(shù) 原 理 和 分 步 計 數(shù) 原 理 ， 回 答 的 都 是 關(guān) 于完 成 一 件 事 情 的 不 同 方 法 的 種 數(shù) 的 問 題 。區(qū) 別 三 各 類 辦 法 是 互 斥 的 、并 列 的 、 獨 立 的 各 步 之 間 是 相 關(guān) 聯(lián) 的分 類 計 數(shù) 與 分 步 計 數(shù) 原 理 的 區(qū) 別 和 聯(lián) 系 ：