《極坐標(biāo)系》導(dǎo)學(xué)案

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1、第2課時(shí)　極 坐 標(biāo) 系 1.通過(guò)實(shí)例了解極坐標(biāo)系的建立,會(huì)用極坐標(biāo)表示極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn),掌握極坐標(biāo)的應(yīng)用. 2.理解極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)化,掌握轉(zhuǎn)化公式,并運(yùn)用公式實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)化. 李先生是個(gè)外地人,他想到市教育局去,卻不知道該怎么去.于是他向路人詢問(wèn)去市教育局如何走?路人說(shuō)市教育局就在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處.請(qǐng)問(wèn)路人的回答,能讓李先生找到目的地嗎?“在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處”是一個(gè)確定的位置嗎? 問(wèn)題1:極坐標(biāo)系的建立 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫作極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫作　　　　;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向(通

2、常取　　　　　方向),這樣就建立了一個(gè)平面極坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱為　　　　　. 問(wèn)題2:對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,用ρ表示點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離,用θ表示以O(shè)x為始邊,以O(shè)M為終邊的角度,其中ρ叫作　　　　,θ叫作　　　　,有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)就叫作點(diǎn)M的　　　　　,記為　　　　　　. 問(wèn)題3:將點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ,θ)化為直角坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系式為　　　　　　　　　. 問(wèn)題4:將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ)的關(guān)系式為　　　　　　　　　　. 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(-2,π6)的位置,可按如下規(guī)則確定(　　). A.作射線OP,使∠x(chóng)O

3、P=π6,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2 B.作射線OP,使∠x(chóng)OP=7π6,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2 C.作射線OP,使∠x(chóng)OP=7π6,再在射線OP的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使|OM|=2 D.作射線OP,使∠x(chóng)OP=-π6,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2 2.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,則點(diǎn)M1(ρ1,θ1)與點(diǎn)M2(ρ2,θ2)的位置關(guān)系是(　　). A.關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱 B.關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱 C.關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線對(duì)稱 D.關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且與極軸成π4的直線對(duì)稱 3.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,2),那么它的極坐標(biāo)可表示為　　　　.

4、4.在極坐標(biāo)系中作下列各點(diǎn),并說(shuō)明每組中各點(diǎn)的位置關(guān)系. (1)A(2,0)、B(2,π6)、C(2,π4)、D(2,π2)、E(2,3π2)、F(2,5π4)、G(2,11π6); (2)A(0,π4)、B(1,π4)、C(2,5π4)、D(3,5π4)、E(3,π4). 化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo) 分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo). (1)(2,π6);(2)(3,π2);(3)(4,2π3);(4)(4,-π12). 極坐標(biāo)的概念 已知極坐標(biāo)系中點(diǎn)A(2,π2),B(2,3π4),O(0,0),

5、則△AOB為(　　). A.等邊三角形　　　　　　　 B.頂角為鈍角的等腰三角形 C.頂角為銳角的等腰三角形 D.等腰直角三角形 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的互化 在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(2,π3)和點(diǎn)Q(4,5π6)之間的距離為　　　　. 把下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限. (1)(2,4π3);(2)(2,2π3);(3)(2,-π3);(4)(2,-2). 在極坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(2,π3),B(2,π),C(2,5π3). (1)判斷△ABC的形狀; (2)求△ABC的面積

6、. 極坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P(4,3π2)、Q(ρ,-π4)之間的距離為10,則ρ=　　　　. 1.在極坐標(biāo)系中,若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(2,π3)、(3,-π6),則△AOB為(　　). A.鈍角三角形　　　　 B.直角三角形 C.銳角三角形　　　　 D.等邊三角形 2.將極坐標(biāo)(6,4π3)化為直角坐標(biāo)為(　　). A.(-33,3)　　　 B.(-33,-3) C.(-3,-33)　　 D.(-3,33) 3.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(3,π3)、(4,π6),則△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積為　　　　. 4.在極

7、坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)M(2,5π3),N(2,0),P(23,π6). (1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo); (2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上. 　　在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A(2,π4),B(2,5π4),且△ABC為等腰直角三角形,求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)與該三角形的面積. 　　考題變式(我來(lái)改編): 第2課時(shí)　極 坐 標(biāo) 系 知識(shí)體系梳理 問(wèn)題1:極軸　逆時(shí)針　極坐標(biāo)系 問(wèn)題2:極徑　極角　極坐標(biāo)　M(ρ,θ) 問(wèn)題3:x=ρcosθ,y=ρsinθ 問(wèn)題4:ρ

8、2=x2+y2,tanθ=yx(x≠0) 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 1.B　當(dāng)ρ<0時(shí),點(diǎn)M(ρ,θ)的位置按下列規(guī)定確定:作射線OP,使∠x(chóng)OP=θ,在OP的反向延長(zhǎng)線上取|OM|=|ρ|,則點(diǎn)M就是坐標(biāo)(ρ,θ)的點(diǎn),故選B. 2.A　因?yàn)辄c(diǎn)(ρ,θ)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)為(-ρ,π-θ),由點(diǎn)M1(ρ1,θ1)和M2(ρ2,θ2)滿足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知點(diǎn)M1與M2關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱. 3.(2,3π4)(答案不唯一)　直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求解,即ρ=(-2)2+(2)2=2,tan θ=-1.因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限,所以可取一個(gè)極角為3π4. 4.解:

9、(1)所有點(diǎn)都在以極點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上.點(diǎn)B、G關(guān)于極軸對(duì)稱,點(diǎn)D、E關(guān)于極軸對(duì)稱,點(diǎn)C、F關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱. (2)所有點(diǎn)都在傾斜角為π4,且過(guò)極點(diǎn)的直線上.點(diǎn)D、E關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱. 重點(diǎn)難點(diǎn)探究 探究一:【解析】(1)∵x=ρcos θ=2cosπ6=3,y=ρsin θ=2sinπ6=1.∴點(diǎn)(2,π6)的直角坐標(biāo)為(3,1). (2)∵x=ρcos θ=3cosπ2=0,y=ρsin θ=3sinπ2=3. ∴點(diǎn)(3,π2)的直角坐標(biāo)為(0,3). (3)∵x=ρcos θ=4cos2π3=-2,y=ρsin θ=4sin2π3=23. ∴點(diǎn)(4,2π3)的直角坐

10、標(biāo)為(-2,23). (4)∵cosπ12=1+cosπ62=1+322=6+24,sinπ12=1-cosπ62=1-322=6-24,∴x=ρcos θ=4cos(-π12)=4cosπ12=6+2,y=ρsin θ=4sin(-π12)=-4sinπ12=2-6.∴點(diǎn)(4,-π12)的直角坐標(biāo)為(2+6,2-6). 【小結(jié)】嚴(yán)格按照x=ρcosθ,y=ρsinθ進(jìn)行轉(zhuǎn)化,注意準(zhǔn)確計(jì)算. 　　探究二:【解析】顯然OA=2,OB=2,∠AOB=π4,由余弦定理得AB=OA2+OB2-2OAOBcos∠AOB=2,故OB=AB,∠ABO=π2,即△AOB為等腰直角三角形. 【答案】D

11、 【小結(jié)】極坐標(biāo)中的ρ和θ分別表示到極點(diǎn)的距離和極軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度. 　　探究三:【解析】(法一)由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ ,得點(diǎn)P(2,π3)和點(diǎn)Q(4,5π6)的直角坐標(biāo)分別為P(1,3)和Q(-23,2),由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|=(1+23)2+(3-2)2=25. (法二)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(2,π3)和點(diǎn)Q(4,5π6),故∠POQ=π2,所以|PQ|=22+42=25. 【答案】25 【小結(jié)】如果極坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)確定,那么它們之間的距離也確定,可以把各點(diǎn)極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中計(jì)算,也可以利用極徑、極角的定義和余弦定理在三角形中計(jì)算.

12、 思維拓展應(yīng)用 應(yīng)用一:(1)由題意知x=2cos4π3=2(-12)=-1,y=2sin4π3=2(-32)=-3,即點(diǎn)(2,4π3)的直角坐標(biāo)為(-1,-3),是第三象限內(nèi)的點(diǎn). (2)由題意知x=2cos 2π3=-1,y=2sin 2π3=3,即點(diǎn)(2,2π3)的直角坐標(biāo)為(-1,3),是第二象限內(nèi)的點(diǎn). (3)由題意知x=2cos(-π3)=1,y=2sin(-π3)=-3,即點(diǎn)(2,-π3)的直角坐標(biāo)為(1,-3),是第四象限內(nèi)的點(diǎn). (4)由題意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(π2<2<π),y=2sin(-2)=-2sin 2<0,即點(diǎn)(2,-2)的直角坐標(biāo)

13、為(2cos 2,-2sin 2),是第三象限點(diǎn). 　　應(yīng)用二:(1)畫(huà)圖可知,A、B、C三點(diǎn)都在以極點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上,且所對(duì)的圓心角均為23π,∴|AB|=|AC|=|BC|,∴△ABC為正三角形. (2)由(1)知12|AB|=2sin π3,∴|AB|=23,∴△ABC的面積為S=12232332=33. 　　應(yīng)用三:2或32　根據(jù)x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P、Q的直角坐標(biāo)分別為P(0,-4)、Q(22ρ,-22ρ).∴|PQ|=(0-22ρ)2+(-4+22ρ)2=10,解得ρ=2或ρ=32. 基礎(chǔ)智能檢測(cè) 1.B　由題意知∠AOB=π3-(-π6)=π2

14、,故選B. 2.C　由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x=6(-12)=-3,y=6(-32)=-33,所以直角坐標(biāo)為(-3,-33),選擇C. 3.3　結(jié)合圖形,△AOB的面積S=12OAOBsin(π3-π6)=3. 4.解:(1)將三點(diǎn)坐標(biāo)代入公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,可知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,-3),點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3,3). (2)∵kMN=32-1=3,kNP=3-03-2=3,∴kMN=kNP,∴M、N、P三點(diǎn)在同一條直線上. 全新視角拓展 (法一)利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化. 點(diǎn)A(2,π4)的直角坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)B(2,5π4

15、)的直角坐標(biāo)為(-2,-2),設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x,y). 由題意得AC⊥BC,|AC|=|BC|. ∴ACBC=0,|AC|2=|BC|2,于是(x-2,y-2)(x+2,y+2)=0,即x2+y2=4.?、? (x-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y+2)2,即y=-x.　② 將②代入①得x2=2,解得x=2,∴x=2,y=-2或x=-2,y=2, ∴點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2,-2)或(-2,2). ∴ρ=2+2=2,tan θ=-1,θ=7π4或3π4,∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,3π4)或(2,7π4).S△ABC=12|AC||BC|=12|AC|2=128=4. (法二)設(shè)點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=π2,|AC|=|BC|,∴|AC|=|BC|=22, 根據(jù)余弦定理可得ρ2+22-22ρcos(θ-π4)=8,?、佴?+22-22ρcos(θ-5π4)=8,　② ①+②化簡(jiǎn)得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-π4)=0,∴θ-π4=π2+kπ,k∈Z,即θ=3π4+kπ,k∈Z,又∵0≤θ<2π,令k=0,1,得θ=3π4或7π4,∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,3π4)或(2,7π4),S△ABC=12|AC||BC|=12|AC|2=128=4.