《極坐標(biāo)系》導(dǎo)學(xué)案

第2課時(shí)極 坐 標(biāo) 系1.通過(guò)實(shí)例了解極坐標(biāo)系的建立,會(huì)用極坐標(biāo)表示極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn),掌握極坐標(biāo)的應(yīng)用.2.理解極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)化,掌握轉(zhuǎn)化公式,并運(yùn)用公式實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)化.李先生是個(gè)外地人,他想到市教育局去,卻不知道該怎么去.于是他向路人詢問(wèn)去市教育局如何走?路人說(shuō)市教育局就在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處.請(qǐng)問(wèn)路人的回答,能讓李先生找到目的地嗎?“在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處”是一個(gè)確定的位置嗎?問(wèn)題1:極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫作極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫作;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向(通常取方向),這樣就建立了一個(gè)平面極坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱為.問(wèn)題2:對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,用表示點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離,用表示以O(shè)x為始邊,以O(shè)M為終邊的角度,其中叫作,叫作,有序數(shù)對(duì)(,)就叫作點(diǎn)M的,記為.問(wèn)題3:將點(diǎn)M的極坐標(biāo)(,)化為直角坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系式為.問(wèn)題4:將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(,)的關(guān)系式為.1.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(-2,6)的位置,可按如下規(guī)則確定().A.作射線OP,使xOP=6,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2B.作射線OP,使xOP=76,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2C.作射線OP,使xOP=76,再在射線OP的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使|OM|=2D.作射線OP,使xOP=-6,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=22.若1+2=0,1+2=,則點(diǎn)M1(1,1)與點(diǎn)M2(2,2)的位置關(guān)系是().A.關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱B.關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線對(duì)稱D.關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且與極軸成4的直線對(duì)稱3.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,2),那么它的極坐標(biāo)可表示為.4.在極坐標(biāo)系中作下列各點(diǎn),并說(shuō)明每組中各點(diǎn)的位置關(guān)系.(1)A(2,0)、B(2,6)、C(2,4)、D(2,2)、E(2,32)、F(2,54)、G(2,116);(2)A(0,4)、B(1,4)、C(2,54)、D(3,54)、E(3,4).化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).(1)(2,6);(2)(3,2);(3)(4,23);(4)(4,-12).極坐標(biāo)的概念已知極坐標(biāo)系中點(diǎn)A(2,2),B(2,34),O(0,0),則AOB為().A.等邊三角形B.頂角為鈍角的等腰三角形C.頂角為銳角的等腰三角形D.等腰直角三角形極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的互化在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(2,3)和點(diǎn)Q(4,56)之間的距離為.把下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限.(1)(2,43);(2)(2,23);(3)(2,-3);(4)(2,-2).在極坐標(biāo)系中,已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(2,3),B(2,),C(2,53).(1)判斷ABC的形狀;(2)求ABC的面積.極坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P(4,32)、Q(,-4)之間的距離為10,則=.1.在極坐標(biāo)系中,若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(2,3)、(3,-6),則AOB為().A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形2.將極坐標(biāo)(6,43)化為直角坐標(biāo)為().A.(-33,3) B.(-33,-3)C.(-3,-33)D.(-3,33) 3.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(3,3)、(4,6),則AOB(其中O為極點(diǎn))的面積為.4.在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)M(2,53),N(2,0),P(23,6).(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo);(2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A(2,4),B(2,54),且ABC為等腰直角三角形,求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)與該三角形的面積.考題變式(我來(lái)改編):第2課時(shí)極 坐 標(biāo) 系知識(shí)體系梳理問(wèn)題1:極軸逆時(shí)針極坐標(biāo)系問(wèn)題2:極徑極角極坐標(biāo)M(,)問(wèn)題3:x=cos,y=sin問(wèn)題4:2=x2+y2,tan=yx(x0)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.B當(dāng)<0時(shí),點(diǎn)M(,)的位置按下列規(guī)定確定:作射線OP,使xOP=,在OP的反向延長(zhǎng)線上取|OM|=|,則點(diǎn)M就是坐標(biāo)(,)的點(diǎn),故選B.2.A因?yàn)辄c(diǎn)(,)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)為(-,-),由點(diǎn)M1(1,1)和M2(2,2)滿足1+2=0,1+2=,可知點(diǎn)M1與M2關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱.3.(2,34)(答案不唯一)直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求解,即=(-2)2+(2)2=2,tan =-1.因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限,所以可取一個(gè)極角為34.4.解:(1)所有點(diǎn)都在以極點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上.點(diǎn)B、G關(guān)于極軸對(duì)稱,點(diǎn)D、E關(guān)于極軸對(duì)稱,點(diǎn)C、F關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱.(2)所有點(diǎn)都在傾斜角為4,且過(guò)極點(diǎn)的直線上.點(diǎn)D、E關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)x=cos =2cos6=3,y=sin =2sin6=1.點(diǎn)(2,6)的直角坐標(biāo)為(3,1).(2)x=cos =3cos2=0,y=sin =3sin2=3.點(diǎn)(3,2)的直角坐標(biāo)為(0,3).(3)x=cos =4cos23=-2,y=sin =4sin23=23.點(diǎn)(4,23)的直角坐標(biāo)為(-2,23).(4)cos12=1+cos62=1+322=6+24,sin12=1-cos62=1-322=6-24,x=cos =4cos(-12)=4cos12=6+2,y=sin =4sin(-12)=-4sin12=2-6.點(diǎn)(4,-12)的直角坐標(biāo)為(2+6,2-6).【小結(jié)】嚴(yán)格按照x=cos,y=sin進(jìn)行轉(zhuǎn)化,注意準(zhǔn)確計(jì)算.探究二:【解析】顯然OA=2,OB=2,AOB=4,由余弦定理得AB=OA2+OB2-2OAOBcosAOB=2,故OB=AB,ABO=2,即AOB為等腰直角三角形.【答案】D【小結(jié)】極坐標(biāo)中的和分別表示到極點(diǎn)的距離和極軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度.探究三:【解析】(法一)由公式x=cos,y=sin ,得點(diǎn)P(2,3)和點(diǎn)Q(4,56)的直角坐標(biāo)分別為P(1,3)和Q(-23,2),由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|=(1+23)2+(3-2)2=25.(法二)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(2,3)和點(diǎn)Q(4,56),故POQ=2,所以|PQ|=22+42=25.【答案】25【小結(jié)】如果極坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)確定,那么它們之間的距離也確定,可以把各點(diǎn)極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中計(jì)算,也可以利用極徑、極角的定義和余弦定理在三角形中計(jì)算.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由題意知x=2cos43=2(-12)=-1,y=2sin43=2(-32)=-3,即點(diǎn)(2,43)的直角坐標(biāo)為(-1,-3),是第三象限內(nèi)的點(diǎn).(2)由題意知x=2cos 23=-1,y=2sin 23=3,即點(diǎn)(2,23)的直角坐標(biāo)為(-1,3),是第二象限內(nèi)的點(diǎn).(3)由題意知x=2cos(-3)=1,y=2sin(-3)=-3,即點(diǎn)(2,-3)的直角坐標(biāo)為(1,-3),是第四象限內(nèi)的點(diǎn).(4)由題意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(2<2<),y=2sin(-2)=-2sin 2<0,即點(diǎn)(2,-2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2,-2sin 2),是第三象限點(diǎn).應(yīng)用二:(1)畫(huà)圖可知,A、B、C三點(diǎn)都在以極點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上,且所對(duì)的圓心角均為23,|AB|=|AC|=|BC|,ABC為正三角形.(2)由(1)知12|AB|=2sin 3,|AB|=23,ABC的面積為S=12232332=33.應(yīng)用三:2或32根據(jù)x=cos ,y=sin ,得P、Q的直角坐標(biāo)分別為P(0,-4)、Q(22,-22).|PQ|=(0-22)2+(-4+22)2=10,解得=2或=32.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B由題意知AOB=3-(-6)=2,故選B.2.C由公式x=cos,y=sin,得x=6(-12)=-3,y=6(-32)=-33,所以直角坐標(biāo)為(-3,-33),選擇C.3.3結(jié)合圖形,AOB的面積S=12OAOBsin(3-6)=3.4.解:(1)將三點(diǎn)坐標(biāo)代入公式x=cos,y=sin,可知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,-3),點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3,3).(2)kMN=32-1=3,kNP=3-03-2=3,kMN=kNP,M、N、P三點(diǎn)在同一條直線上.全新視角拓展(法一)利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.點(diǎn)A(2,4)的直角坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)B(2,54)的直角坐標(biāo)為(-2,-2),設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x,y).由題意得ACBC,|AC|=|BC|.ACBC=0,|AC|2=|BC|2,于是(x-2,y-2)(x+2,y+2)=0,即x2+y2=4.(x-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y+2)2,即y=-x.將代入得x2=2,解得x=2,x=2,y=-2或x=-2,y=2,點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2,-2)或(-2,2).=2+2=2,tan =-1,=74或34,點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,34)或(2,74).SABC=12|AC|BC|=12|AC|2=128=4.(法二)設(shè)點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(,)(>0,0<2),|AB|=2|OA|=4,C=2,|AC|=|BC|,|AC|=|BC|=22,根據(jù)余弦定理可得2+22-22cos(-4)=8,2+22-22cos(-54)=8,+化簡(jiǎn)得2=4,由>0得=2,代入得cos(-4)=0,-4=2+k,kZ,即=34+k,kZ,又0<2,令k=0,1,得=34或74,點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,34)或(2,74),SABC=12|AC|BC|=12|AC|2=128=4.