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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)下冊 第19章 四邊形單元綜合測驗(yàn) （新版）滬科版
一、單選題（每小題4分，共40分）
1、在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是下方形的條件是( )
A.AC=BD，ADCD
B.AD∥BC，∠A=∠C
C.AO=BO=OC=DO，AB=BC
D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
2、矩形的四個(gè)內(nèi)角平分線圍成的四邊形( )
A.一定是正方形
B.是矩形
C.菱形
D.只能是平行四邊形
3、從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是( )
A.8cm
B.64cm
C.8cm2
D.64cm2
4、如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處．若∠CDE=48，∠APD等于( )
A.42
B.48
C.52
D.58
5、如圖，□ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范圍是( )
A.1
AB=BC：<2>∠DAB=90：<3>BO=DO，AO=CO：<4>矩形ABCD；<5>菱形ABCD；<6>下方形ABCD，則下列推論中不正確的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題（每小題5分，共20分）
11、如圖，正方形ABCD邊長為1，E、F、G、H分別為其各邊的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為( )。
12、如圖是由5個(gè)邊長為1的正方形組成了“十”字型對稱圖形，則圖中∠BAC的度數(shù)是( )。
13、如圖，在□ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，AC分別交BE、DF于G、H，以下結(jié)論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③：④S△ABE=3S△AGE其中正確的有( )
14、如圖，是用4個(gè)相同的小矩形與一個(gè)小正方形鑲嵌成的正方形圖案，已知圖案的面積為49，小正方形的面積為4，若用x，y表示表示小矩形的兩邊長(x>y)，請觀察圖案，寫出用x，y表示的三個(gè)等式。
三、解答題
15、如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，O為對角線AC、BD的交點(diǎn)，且∠CAE=15
(1)求證：△AOB為等邊三角形： (2)求∠BOE度數(shù)。
16、已知：如圖，在□ABCD中，BE．CE分別平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．求□ABCD的周長和面積。
17、(1)圖中將兩個(gè)等寬矩形重疊一起，則重疊四邊形ABCD是什么特殊四邊形?不需證明。?
(2)若(1)中是兩個(gè)全等的矩形，矩形的長為8cm，寬為4cm，重疊一起時(shí)不完全重合，試求重疊四邊形ABCD的最小面積和最大面積，并請對面積最大時(shí)的情況畫出示意圖。
?
18、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=3cm，AB邊上有一只小蟲P，由A向B沿AB以1cm／秒的速度爬行，過P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，求：(1)矩形PECF的周長y(cm)與爬行時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式，及自變量的取值范圍；
(2)小蟲爬行多長時(shí)間，四邊形PECF是正方形。
19、(1)如圖，已知□ABCD，試用三種方法將它分成面積相等的兩部分。(保留作圖痕跡，不寫作法)
由上述方法，你能得到什么一般性的結(jié)論？
(2)解決問題：有兄弟倆分家時(shí)，原來共同承包的一塊平行四邊形田地ABCD，現(xiàn)要進(jìn)行平均劃分，由于在這塊地里有一口井P，如圖所示，為了兄弟倆都能方便使用這口井，兄弟倆在劃分時(shí)犯難了，聰明的你能幫他們解決這個(gè)問題嗎?(保留作圖痕跡，不寫作法)
20、如圖，在△ABC中，AB=BC，BD是中線，過點(diǎn)D作DE∥BC，過點(diǎn)A作AE∥BD，AE與DE交于點(diǎn)E．求證：四邊形ADBE是矩形．
21、如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
(1)求證：EO=FO；
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論。
22、已知：在△ABC中，BC>AC，動點(diǎn)D繞△ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD=BC，連結(jié)DC．過AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H．連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論∠AMF=∠BNE(不需證明)．
(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，∠AMF與∠BNE有何數(shù)量關(guān)系?請分別寫出猜想，并任選一種情況證明．
23、如圖，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2……，如此進(jìn)行下去得到四邊形AnBnCnDn。
?
(1)證明：四邊形A1B1C1D1是矩形；
(2)仔細(xì)探索，解決以下問題：(填空)①四邊形A1B1C1D1的面積為________A2B2C2D2的面積為________；②四邊形AnBnCnDn的面積為________(用含n的代數(shù)式表示)；③四邊形A5B5C5D5的周長為________。
參考答案與試題解析
C
試題解析：
【分析】
本題是考查正方形的判別方法，判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；②先說明它是菱形，再說明它有一個(gè)角為直角．
?根據(jù)正方形的判定：對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進(jìn)行分析從而得到最后的答案．
【解答】
解：A.因?yàn)闂l件AD∥CD，且AD=CD不能成立，所以不能判定為正方形；
B.不能，只能判定為平行四邊形；
C.能；
D.不能，只能判定為菱形．
故選C．
A
試題解析：
【分析】
本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)和角平分線證出四邊形GMON為矩形，再證出△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，得出OD=OC，證明△AMD≌△BNC，得出NC=DM，得出OM=ON，即可得出結(jié)論．
【解答】
解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠CBA=∠BCD=∠ADC=90， AD=BC，
∵AF，BE是矩形的內(nèi)角平分線．
∴∠DAM=∠BAF=∠ABE=∠CBE=45．
∴∠1=∠2=90．
同理：∠MON=∠OMG=90，
∴四邊形GMON為矩形．
又∵AF、BE、DK、CJ為矩形ABCD的角的平分線，
∴△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，
∴OD=OC，
在△AMD和△BNC中，
∴△AMD≌△BNC（AAS），
∴NC=DM，
∴NC-OC=DM-OD，
即OM=ON，
∴矩形GMON為正方形．
故選A．
D
試題解析：
【分析】
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．解題過程中要注意根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行值的取舍．
可設(shè)正方形的邊長是xcm，根據(jù)“余下的面積是48cm2”，余下的圖形是一個(gè)矩形，矩形的長是正方形的邊長，寬是x-2，根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程求解．
【解答】
解：設(shè)正方形的邊長是xcm，根據(jù)題意得x（x-2）=48，
解得x1=-6（舍去），x2=8，
那么原正方形鐵片的面積是88=64（cm2）.
故選D．
B
試題解析：
【分析】
本題考查三角形中位線定理的位置關(guān)系，并運(yùn)用了三角形的翻折變換知識，解答此題的關(guān)鍵是要了解圖形翻折變換后與原圖形全等．由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位線定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，進(jìn)一步可得∠APD=∠CDE．
解：∵△PED是△CED翻折變換來的，
∴△PED≌△CED，
∴∠CDE=∠EDP=48，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∴∠APD=∠CDE=48，
故選B．
A
試題解析：
【分析】
本題考查對平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，求出OA、OB后得出OA-OB＜m＜OA+OB是解此題的關(guān)鍵.
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OA、OB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到OA-OB＜m＜OA+OB，代入求出即可．
【解答】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=12，BD=10，
∴OA=OC=6，OD=OB=5，
在△OAB中，OA-OB＜m＜OA+OB，
∴6-5＜m＜6+5，
∴1＜m＜11．
故選A．
B
試題解析：
【分析】
本題考查了矩形的性質(zhì)，比較簡單，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)解答即可．根據(jù)已知條件，可得出△AEP∽△ADC；△DFP∽△DAB，從而可得出PE，PF的關(guān)系式，然后整理即可解答本題．
【解答】
解：設(shè)AP=x，PB=3-x．
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；
∴△AEP∽△ABC，故=①；
同理可得△BFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，
∴PE+PF=.
故選B.
A
試題解析：
【分析】
此題主要考查了正方形的對角線平分對角的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì).
根據(jù)正方形的對角線的性質(zhì)，可得∠ACD=∠ACB=45，進(jìn)而可得∠ACE的大小，再根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合CE=AC，易得∠CEF=22.5，再由三角形外角定理可得∠AFC的大?。?
【解答】
解：AC是正方形的對角線，
∴∠ACD=∠ACB=45，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135，
又∵CE=AC，
∴∠CEF=22.5，
∴∠AFC=90+22.5=112.5.
故選A．
B
試題解析：
【分析】
本題主要考查了三角形的面積公式和平行四邊形的性質(zhì)（平行四邊形的兩組對邊分別相等）．要求能靈活的運(yùn)用等量代換找到需要的關(guān)系.根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半．所以S陰影=S四邊形ABCD.
【解答】
解：設(shè)兩個(gè)陰影部分三角形的底為AB，CD，高分別為h1，h2，則h1+h2為平行四邊形的高，
∴S△EAD+S△ECB
=AD?h1+CB?h2=AD（h1+h2）
=S四邊形ABCD
=4．
故選B.
D
試題解析：
【分析】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的面積，平行四邊形的對角線將平行四邊形分成面積相等的兩個(gè)三角形，本題解題關(guān)鍵是利用三角形的面積計(jì)算公式找出所求三角形與已知三角形的面積關(guān)系．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知△ABC的面積是平行四邊形面積的一半，再進(jìn)一步確定△BEF和△ABC的面積關(guān)系即可．
【解答】
解：∵S?ABCD=12，
∴S△ABC=S?ABCD=6，
∴S△ABC=AC高=3EF高=6，
得到：EF高=2，
∵△BEF的面積=EF高=2．
∴△BEF的面積為2．
故選D．
10、C
試題解析：
【分析】
本題考查是矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形；對角線互相平分且一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析．
【解答】
解：A.由<1><4>得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故A正確；
B.由<3>得，四邊形ABCD是平行四邊形，再由<1>，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故B正確；
C.由<1><2>不能判斷四邊形是正方形，故C錯(cuò)誤；
D.由<3>得，四邊形是平行四邊形，再由<2>，一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故D正確；
故選C.
11、
試題解析：
【分析】
本題利用了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解．
?根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求得陰影部分的邊長，從而即可求得陰影部分的面積．
【解答】
解：
正方形的邊長為1，則CD=1，CF=，
由勾股定理得，DF=，
由同角的余角相等，易得△FCW∽△FDC，
∴CF：DF=CW：DC=WF：CF，得WF=，CW=，
同理，DS=，
∴SW=DF-DS-WF=，
∴陰影部分小正方形的面積()2=.
故答案為.
12、45
試題解析：
【分析】
本題考查了正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造特殊三角形求解是解決角度問題的一般做法，要求熟練掌握.由題意知，各正方形的邊長均為1，連接BC，利用角度關(guān)系可以得出△ABC為等腰直角三角形，進(jìn)而得出∠BAC=45．
【解答】
解：如圖，根據(jù)題意可知，∠BAD=∠FBC、∠ABD=∠BCF，
∴∠ABD+∠FBC=90，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45．
故答案為45．
13、①②③④
試題解析：
【分析】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線等分線段定理與全等三角形的判定，中等難度，解答此類題目的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的幾個(gè)重要的性質(zhì)．
根據(jù)三角形全等的判定，由已知條件可證①△ABE≌△CDF；繼而證得②AG=GH=HC；又根據(jù)三角形的中位線定理可證△ABG≌△DCH，得③EG=BG．而④S△ABE=3S△AGE正確，從而判斷出了答案．
【解答】
解：①在?ABCD中，∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴ED∥BF，ED=BF，
∴四邊形BFDE是?，
∴BE=DF，
∴①是正確的；
②∵BE∥DF，在△ADH中，E是AD邊的中點(diǎn)，
∴G是AH邊的中點(diǎn)，
∴AG=GH，
同理可證CH=GH，
即AG=GH=HC，
∴②是正確的；
③由②的結(jié)論可判斷EG=DH，
再根據(jù)已知條件及結(jié)論得AD=BC，AH=CG，∠DAC=∠BCG，
∴△ADH≌△CBG，
∴BG=DH，
故EG=BG，
∴③是正確的；
④在△ABE與△AGE中，分別以BE、GE為底邊時(shí)，
∴它們的高相等，面積之比即為底邊BE與GE之比，
根據(jù)③的結(jié)論，BE：GE=1：3，
∴S△ABE=3S△AGE，
∴④是正確的．
故答案為①②③④．
14、x+y=7，x=y+2，（x+y）2=（2y+2）2（答案不唯一）
試題解析：
【分析】
本題考查了列代數(shù)式.根據(jù)正方形的邊長和面積列式即可．
【解答】
解：∵圖案的面積為49，小正方形的面積為4，
∴圖案的邊長為7，小正方形的邊長為2，
∴可列等式可以為：x+y=7，x=y+2，（x+y）2=49，（x+y）2=（2y+2）2，（x+y）2=4xy+4（任選三個(gè)即可）．
故答案為x+y=7，x=y+2，（x+y）2=（2y+2）2．（答案不唯一）
15、正確答案：
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90，AO=BO=AC=BD，
∵AE是∠BAD的角平分線，
∴∠BAE=45，
∵∠CAE=15，
∴∠BAC=60，
∴△AOB是等邊三角形；
（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=45，
∴AB=BE，
∵△ABO是等邊三角形，
∴AB=BO，
∴OB=BE，
∵∠OBE=30，OB=BE，
∴∠BOE=（180-30）=75．
試題解析：
本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以O(shè)A=OB，則只需求得∠BAC=60，即可證明三角形是等邊三角形；
（2）因?yàn)椤螧=90，∠BAE=45，所以AB=BE，又因?yàn)椤鰽BO是等邊三角形，則∠OBE=30，故∠BOE度數(shù)可求．
16、正確答案：
解：∵BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3=∠ABC，∠DCE=∠BCE=∠BCD，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180，
∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90，
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90，
在直角三角形BCE中，根據(jù)勾股定理得：BC=13，
根據(jù)平行四邊形的對邊相等，得到：AB=CD，AD=BC，
∴平行四邊形的周長等于：13+13+13=39．
作EF⊥BC于F．根據(jù)直角三角形的面積公式得：EF==，
所以平行四邊形的面積==60．
即平行四邊形的周長為39cm，面積為60cm2.
試題解析：
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根據(jù)直角三角形的勾股定理得到BC=13．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=CD=AD=BC=6.5，從而求得該平行四邊形的周長；根據(jù)直角三角形的面積可以求得平行四邊形BC邊上的高.
17、正確答案：
解：（1）重疊四邊形ABCD是菱形．
（2）當(dāng)菱形ABCD為正方形時(shí)，s最小=42=16(cm2)；
當(dāng)菱形ABCD如圖時(shí)，面積最大．
設(shè)CD=x，根據(jù)勾股定理得x2=(8-x)2+42，
解得x=5．
∴s最大=BCDE=54=20(cm2)．
試題解析：
此題考查了菱形的判定方法、矩形的性質(zhì)及面積的計(jì)算問題．應(yīng)明白在什么情況下重疊面積最小或最大，這是此題的難點(diǎn)．
（1）易證ABCD為平行四邊形；根據(jù)矩形等寬，說明平行四邊形的各邊上的高相等，利用等積表示法證明鄰邊相等．根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證；
證明：根據(jù)矩形對邊平行，可得ABCD是平行四邊形；
因?yàn)榫匦蔚葘挘碅BCD各邊上的高相等．
根據(jù)平行四邊形的面積公式可得鄰邊相等，
所以ABCD是菱形；
（2）當(dāng)ABCD為正方形時(shí)面積最??；當(dāng)對角線重合時(shí)的菱形面積最大．分別計(jì)算求解．
18、正確答案：
解：∵小蟲P由A向B沿AB以1cm／秒的速度爬行，
∴AP=tcm，
∵在△ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=3cm，
∴PF=AP=tcm，AC=BCtan30=3=3cm，AF=AP=tcm，
∴PE=FC=（3-t）cm，
∴矩形PECF的周長y=2（PF+PE）=2（t+3-t）=（1-）t+6，
∴矩形PECF的周長y（cm）與爬行時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式為y=（1-）t+6；
（2）當(dāng)小蟲爬行（9-3）秒時(shí)，四邊形PECF是正方形，理由如下：
由（1）知四邊形PECF是矩形，若四邊形PECF是正方形，
則有PE=PF，
∵根據(jù)題意可知AP=tcm，由（1）知PF=AP=tcm，PE=FC=（3-t）cm
∴t=3-t時(shí)，四邊形PECF是正方形，
解得t=9-3，
∴當(dāng)小蟲爬行（9-3）秒時(shí)，四邊形PECF是正方形.
試題解析：
本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定及解直角三角形，一元一次方程的應(yīng)用.
（1）根據(jù)題意可得出PF=tcm，PE=FC=（3-t）cm，然后利用周長y=2（PF+PE）求出即可；
（2）由（1）知四邊形PECF是矩形，若四邊形PECF是正方形，則有PE=PF，即t=3-t，解出方程即可.
19、正確答案：
解：（1）
結(jié)論：過平行四邊形對角線交點(diǎn)的任意一條直線都將平行四邊形分成相等的兩部分；
（2）解：連接AC、BD相交于點(diǎn)O，過O、P作直線分別交AD、BC于E、F，
則一人分四邊形ABFE，另一人分四邊形CDEF．
試題解析：
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形是中心對稱圖形．本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用平行四邊形的中心對稱性即可解決問題．
（1）1、利用平行四邊形的對角線；2、連接一組對邊的中點(diǎn)
3、過平行四邊形的對稱中心作一條直線即可．根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)得結(jié)論；
（2）先找出平行四邊形的對稱中心，過中心和P作直線即可 .
20、正確答案：
證明：∵D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∵AE∥BD，DE∥BC，
∴∠EAD=∠BDC，∠ADE=∠DCB，
∴△ADE≌△DCB，
∴AE=DB，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，
∵AB=CB，
∴BD⊥AC即∠ADB=90，
∴平行四邊形ADBE是矩形.
試題解析：
本題考查了矩形的判定定理，即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.根據(jù)矩形的判定定理，欲證四邊形ADBE是矩形，先證明四邊形ADBE是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形底邊的中線垂直底邊得出四邊形ADBE的一個(gè)角是90，得出四邊形ADBE是矩形.
21、正確答案：
（1）證明：如圖，
∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=180=90．
即∠ECF=90，
∴四邊形AECF是矩形．
試題解析：
本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定、矩形的判定定理，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論．
（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線的定義，以及等角對等邊可得結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的判定方法，即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證．
22、正確答案：
解：（1）圖1：∠AMF=∠ENB；
圖2：∠AMF=∠ENB；
圖3：∠AMF+∠ENB=180．
（2）證明：如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF．
∵F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，
∴HF∥AD，HF=AD，
∴∠AMF=∠HFE，
同理，HE∥CB，HE=CB，
∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠ENB=∠AMF.
如圖3：取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF．
∵F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，
∴HF∥AD，HF=AD，
∴∠AMF+∠HFE=180，
同理，HE∥CB，HE=CB，
∴∠ENB=∠HEF．
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠AMF+∠ENB=180．
試題解析：
此題考查了中位線定理，平行線的性質(zhì)等概念，解答此題的關(guān)鍵是需要作出兩條輔助線．（1）（2）思路基本相同，都需要作出兩條輔助線，兩次運(yùn)用中位線定理解答即可．
23、正確答案：
（1）證明：∵點(diǎn)A1，D1分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴A1D1是△ABD的中位線，
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD，
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD，
∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90，
∴四邊形A1B1C1D1是矩形；
（2）12；6；24；.
試題解析：
【分析】
本題利用了三角形的中位線的性質(zhì)，相似圖形的面積比等于相似比的平方求解．
（1）由A1D1分別是△ABD的中位線，B1C1是△CBD的中位線知，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD，故四邊形A1B1C1D1是平行四邊形，由AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1知，四邊形A1B1C1D1是矩形；
（2）由三角形的中位線的性質(zhì)知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，故矩形A1B1C1D1的面積為12，可以得到故四邊形A2B2C2D2的面積是A1B1C1D1的面積的一半，為6；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推得，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，故四邊形AnBnCnDn的面積為24；由相似圖形的面積比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的邊長，再求得它的周長．
【解答】
（1）證明見答案；
（2）解：由三角形的中位線的性質(zhì)知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，
得：四邊形A1B1C1D1的面積為24=12；
四邊形A2B2C2D2的面積為24=6；
四邊形AnBnCnDn的面積為24；
四邊形A5B5C5D5的面積為24=，
由（1）得矩形A1B1C1D1的長為4，寬為3．邊長為14，
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴矩形A5B5C5D5的面積：矩形A1B1C1D1的面積=（矩形A5B5C5D5的周長）2：（矩形A1B1C1D1的周長）2
即：12=（矩形A5B5C5D5的周長）2：142，
∴矩形A5B5C5D5的周長=＝.
故答案為12；6；24；.
2019-2020年八年級數(shù)學(xué)下冊 第19章 四邊形單元綜合測驗(yàn) （新版）滬科版.doc
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