2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程教案 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 教材利用斜率公式推導(dǎo)出了直線的點(diǎn)斜式方程，利用直線的點(diǎn)斜式方程推導(dǎo)出了直線的斜截式方程，讓學(xué)生討論得出直線的兩點(diǎn)式方程，在練習(xí)B中給出了直線的截距式方程． 值得注意的是本節(jié)所討論直線方程的四種形式中，點(diǎn)斜式方程是基礎(chǔ)是一個(gè)“母方程”，其他方程都可以看成是點(diǎn)斜式方程的“子方程”．因此在教學(xué)中要突出點(diǎn)斜式方程的教學(xué)，其他三種方程形式可以讓學(xué)生自己完成推導(dǎo)． 三維目標(biāo)　　　　　 1．掌握直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程；了解直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特例，培養(yǎng)普遍聯(lián)系的辯證思維能力． 2．理解直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程，并能探討直線方程不同形式的適用范圍，提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性． 3．會(huì)求直線方程，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：直線方程的四種形式及應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：求直線方程． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計(jì)1.我們知道兩點(diǎn)確定一條直線，除此之外，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)定點(diǎn)和斜率也能確定一條直線，那么怎樣求由一點(diǎn)和斜率確定的直線方程呢？教師引出課題． 設(shè)計(jì)2.上一節(jié)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線方程的概念，其中直線y＝kx＋b就是我們本節(jié)所要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師引出課題． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)如左下圖所示，已知直線l過(guò)P0(x0，y0)，且斜率為k，求直線l的方程． 　　　　 (2)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(0，b)，且斜率為k(如右上圖)，求直線l的方程． (3)已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，求直線AB的方程． (4)已知直線l在x軸上的截距是a，在y軸上的截距是b，且a≠0，b≠0.求證直線l的方程可寫(xiě)為＋＝1.(這種形式的直線方程，叫做直線的截距式方程) 討論結(jié)果： (1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)為直線l上不同于P0(x0，y0)的任意一點(diǎn)，則直線l的斜率k可由P和P0兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示為k＝.即y－y0＝k(x－x0)．① 方程①就是點(diǎn)P(x，y)在直線l上的條件．在l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，坐標(biāo)滿足方程①的點(diǎn)也一定在直線l上． 方程①是由直線上一點(diǎn)P0(x0，y0)和斜率k所確定的直線方程，我們把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式方程． 特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，直線方程變?yōu)閥＝y(tǒng)0.這時(shí)，直線平行于x軸或與x軸重合． (2)直線l的點(diǎn)斜式方程為y－b＝k(x－0)．整理，得y＝kx＋b. 這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程．其中k為斜率，b叫做直線y＝kx＋b在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱為直線的截距． 這種形式的方程，當(dāng)k不等于0時(shí)，就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式． (3)設(shè)P(x，y)是直線AB上任一點(diǎn)，則kAB＝，所以直線AB的點(diǎn)斜式方程為y－y1＝(x－x1)，整理得＝(x1≠x2，y1≠y2)，這種形式的方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程． (4)直線l過(guò)點(diǎn)(a,0)，(0，b)，則直線l的兩點(diǎn)式方程為＝，整理得＋＝1.這種形式的直線方程，叫做直線的截距式方程． 思路1 例1求下列直線的方程： (1)直線l1：過(guò)點(diǎn)(2,1)，k＝－1； (2)直線l2：過(guò)點(diǎn)(－2,1)和點(diǎn)(3，－3)． 解：(1)直線l1過(guò)點(diǎn)(2,1)，斜率k＝－1. 由直線的點(diǎn)斜式方程，得y－1＝－1(x－2)，整理，得l1的方程為x＋y－3＝0. (2)我們先求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程． 直線l2的斜率k＝＝－，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(－2,1)，由直線的點(diǎn)斜式方程，得y－1＝－[x－(－2)]，整理，得l2的方程4x＋5y＋3＝0. 另解：直線l2的兩點(diǎn)式方程為＝，整理，得4x＋5y＋3＝0. 點(diǎn)評(píng)：為了統(tǒng)一答案的形式，如沒(méi)有特別要求，直線方程都化為ax＋by＋c＝0的形式． 變式訓(xùn)練 分別求出通過(guò)點(diǎn)P(3,4)且滿足下列條件的直線方程，并畫(huà)出圖形： (1)斜率k＝2；(2)與x軸平行；(3)與x軸垂直． 解：(1)這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)，斜率k＝2，點(diǎn)斜式方程為y－4＝2(x－3)， 可化為2x－y－2＝0.如圖(1)所示． (2)由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與x軸平行，即斜率k＝0，所以直線方程為y＝4. 如圖(2)所示． (3)由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與x軸垂直，所以直線方程為x＝3. 如圖(3)所示． 圖(1) 　　 圖(2) 　　 圖(3) 例2已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0,1)，求這個(gè)三角形三邊各自所在直線的方程． 解：如下圖，因?yàn)橹本€AB過(guò)A(－3,0)，B(2，－2)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式，得＝，整理，得2x＋5y＋6＝0， 這就是直線AB的方程； 直線AC過(guò)A(－3,0)，C(0,1)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式，得＝，整理，得x－3y＋3＝0， 這就是直線AC的方程； 直線BC的斜率是k＝＝－，過(guò)點(diǎn)C(0,1)， 由點(diǎn)斜式，得y－1＝－(x－0)， 整理得3x＋2y－2＝0， 這就是直線BC的方程． 例3求過(guò)點(diǎn)(0,1)，斜率為－的直線的方程． 解：直線過(guò)點(diǎn)(0,1)，表明直線在y軸上的截距為1，又直線斜率為－，由直線的斜截式方程，得y＝－x＋1. 即x＋2y－2＝0. 變式訓(xùn)練 1．直線l：y＝4x－2在y軸上的截距是______，斜率k＝______. 答案：－2　4 2．已知直線l：y＝kx＋b經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，試判斷k和b的符號(hào)． 解：如下圖所示 因?yàn)橹本€l與x軸的正方向的夾角是鈍角，與y軸交點(diǎn)位于y軸的負(fù)半軸上，所以k<0，b<0. 思路2 例4過(guò)兩點(diǎn)(－1,1)和(3,9)的直線l在x軸上的截距是______，在y軸上的截距是______． 解析：直線l的兩點(diǎn)式方程是＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－.即直線l在x軸上的截距等于－，在y軸上的截距等于3. 答案：－　3 點(diǎn)評(píng)：已知直線的截距式方程，可以直接觀察得出在兩坐標(biāo)軸上的截距；已知直線的非截距式方程時(shí)，令x＝0，解得y的值即是在y軸上的截距，令y＝0，解得x的值即是在x軸上的截距． 變式訓(xùn)練 已知直線過(guò)點(diǎn)P(－2,3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程． 解：因?yàn)橹本€與x軸不垂直，所以可設(shè)直線的方程為y－3＝k(x＋2)． 令x＝0，得y＝2k＋3； 令y＝0，得x＝－－2. ∴由題意，得|(2k＋3)(－－2)|＝4. 若(2k＋3)(－－2)＝－8，無(wú)解； 若(2k＋3)(－－2)＝8， 解得k＝－，k＝－. ∴所求直線的方程為y－3＝－(x＋2)和y－3＝－(x＋2)，即x＋2y－4＝0和 9x＋2y＋12＝0. 例5 設(shè)△ABC的頂點(diǎn)A(1,3)，邊AB、AC上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0，y＝1，求△ABC中AB、AC各邊所在直線的方程． 分析：為了搞清△ABC中各有關(guān)元素的位置狀況，我們首先根據(jù)已知條件，畫(huà)出圖形，幫助思考問(wèn)題． 解：如下圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為F，則AC邊上的中線BF為y＝1. AB邊的中點(diǎn)為E，則AB邊上中線CE為x－2y＋1＝0. 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．在A、C、F三點(diǎn)中A點(diǎn)已知，C點(diǎn)未知，F(xiàn)雖然為未知但其在中線BF上，滿足y＝1這一條件． 這樣用中點(diǎn)公式解出n＝－1. 又C點(diǎn)在中線CE上，應(yīng)當(dāng)滿足CE的方程，則m－2n＋1＝0. ∴m＝－3. ∴C點(diǎn)為(－3，－1)． 用同樣的思路去求B點(diǎn)．設(shè)B點(diǎn)為(a，b)，顯然b＝1. 又B點(diǎn)、A點(diǎn)、E點(diǎn)中，E為中點(diǎn)，B點(diǎn)為(a,1)， E點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，即(，2)．E點(diǎn)在CE上，應(yīng)當(dāng)滿足CE的方程－4＋1＝0，解出a＝5.∴B點(diǎn)為(5,1)． 由兩點(diǎn)式，即可得到AB，AC所在直線的方程．lAC：x－y＋2＝0.lAB：x＋2y－7＝0. 點(diǎn)評(píng)：此題思路較為復(fù)雜，應(yīng)從中領(lǐng)悟到兩點(diǎn)： (1)中點(diǎn)公式要靈活應(yīng)用； (2)如果一個(gè)點(diǎn)在直線上，則這點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這條直線的方程，這一觀念必須牢牢地樹(shù)立起來(lái)． 變式訓(xùn)練 已知點(diǎn)M(1,0)，N(－1,0)，點(diǎn)P為直線2x－y－1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|2＋|PN|2的最小值為多少？ 解：∵P點(diǎn)在直線2x－y－1＝0上， ∴設(shè)P(x0,2x0－1)． ∴|PM|2＋|PN|2＝(2x0－1)2＋(x0－1)2＋(2x0－1)2＋(x0＋1)2＝2(2x0－1)2＋2x＋2＝10x－8x0＋4＝10(x0－)2＋≥. ∴最小值為. 例6 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線的方程． 解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)y＝kx，過(guò)點(diǎn)A(1,2)，則得k＝2，即y＝2x. 當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)＋＝1或＋＝1，過(guò)點(diǎn)A(1,2)， 則得a＝3，或a＝－1，即x＋y－3＝0或x－y＋1＝0. 綜上，所求的直線共有3條：y＝2x，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0. 點(diǎn)評(píng)：本題易漏掉直線y＝2x，其原因是忽視了直線方程的截距式滿足的條件之一：在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為零． 變式訓(xùn)練 　過(guò)點(diǎn)P(4，－3)的直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程． 解：直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等都為0時(shí)，直線過(guò)(0,0)、(4，－3)，由兩點(diǎn)式得直線方程為y＝－x；當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為0時(shí)，可以設(shè)截距為a，直線方程為＋＝1，過(guò)點(diǎn)(4，－3)，解得直線的方程為x＋y＝1. 1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－，2)，傾斜角是30的直線的方程是(　　) A．y＋＝(x－2) B．y＋2＝(x－) C．y－2＝(x＋) D．y－2＝(x＋) 答案：C 2．已知直線方程y－3＝(x－4)，則這條直線經(jīng)過(guò)的已知點(diǎn)，傾斜角分別是(　　) A．(4,3)，60 B．(－3，－4)，30 C．(4,3)，30 D．(－4，－3)，60 答案：A 3．直線方程可表示成點(diǎn)斜式方程的條件是(　　) A．直線的斜率存在 B．直線的斜率不存在 C．直線不過(guò)原點(diǎn) D．不同于上述答案 答案：A 4．直線y＝－(x－2)繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30所得的直線方程是______． 解析：直線y＝－(x－2)的傾斜角為120，繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30后，傾斜角為120－30＝90，則所得直線方程是x＝2，即x－2＝0. 答案：x－2＝0 5．已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－1,5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M是BC邊上的中點(diǎn)． (1)求AB邊所在的直線方程； (2)求中線AM的長(zhǎng)； 解：(1)由兩點(diǎn)式寫(xiě)方程，得＝，即6x－y＋11＝0. (2)設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x0＝＝1，y0＝＝1， 故M(1,1)，AM＝＝2. 6．已知如下圖，正方形邊長(zhǎng)是4，它的中心在原點(diǎn)，對(duì)角線在坐標(biāo)軸上，求正方形各邊及對(duì)稱軸所在直線的方程． 分析：由于正方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所以可用截距式求正方形各邊所在直線的方程．而正方形的對(duì)稱軸PQ、MN、x軸、y軸則不能用截距式，其中PQ、MN應(yīng)選用斜截式，x軸，y軸的方程可以直接寫(xiě)出． 解：因?yàn)閨AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝＝2. 因此A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0,2)、(－2，0)、(0，－2)． 所以AB所在直線的方程是＋＝1，即x＋y－2＝0. BC所在直線的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0. CD所在直線的方程是＋＝1，即x＋y＋2＝0. DA所在直線的方程是＋＝1，即x－y－2＝0. 對(duì)稱軸方程分別為xy＝0，x＝0，y＝0. 如左下圖，要在土地ABCDE上劃出一塊長(zhǎng)方形地面(不改變方向)，問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使占地面積最大？并求出最大面積(單位：m)． 　 解：如右上圖，建立直角坐標(biāo)系，在線段AB上任取一點(diǎn)P分別向CD、DE作垂線，劃得一矩形土地． ∵AB方程為＋＝1，∴P(x,20－)(0≤x≤30)，則S矩形＝(100－x)[80－(20－)]＝－(x－5)2＋6 000＋(0≤x≤30)， ∴當(dāng)x＝5，y＝，即P(5，)時(shí)，(S矩形)max＝(m2)． 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1．直線方程的四種形式； 2．會(huì)求直線方程； 3．注意直線方程的使用條件，尤其關(guān)注直線的斜率是否存在從而分類討論． 本節(jié)練習(xí)B　2,3題． 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)，以課程標(biāo)準(zhǔn)為指南，對(duì)直線方程的四種形式放在一起集中學(xué)習(xí)，這樣有利于對(duì)比方程的適用范圍，比教材中分散學(xué)習(xí)效果要好，特別是應(yīng)用示例思路2的總體難度較大，適用于基礎(chǔ)扎實(shí)、學(xué)習(xí)有余力的同學(xué)． 解析幾何的應(yīng)用 解析幾何又分為平面解析幾何和空間解析幾何．在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關(guān)性質(zhì)．在空間解析幾何中，除了研究平面、直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面、橢圓、雙曲線、拋物線的有關(guān)性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用．比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門(mén)在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的．總的來(lái)說(shuō)，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問(wèn)題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過(guò)坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過(guò)方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)．運(yùn)用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對(duì)方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語(yǔ)言敘述，從而得到原先幾何問(wèn)題的答案． 備選習(xí)題 1．求與兩坐標(biāo)軸正向圍成面積為2的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程． 解：設(shè)直線方程為＋＝1，則由題意知ab＝2，∴ab＝4.又|a－b|＝3， 解得a＝4，b＝1或a＝1，b＝4.則直線方程是＋＝1或＋＝1，即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0. 2．已知直線l1：y＝4x和點(diǎn)P(6,4)，過(guò)點(diǎn)P引一直線l與l1交于點(diǎn)Q，與x軸正半軸交于點(diǎn)R，當(dāng)△OQR的面積最小時(shí)，求直線l的方程． 分析：因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)P(6,4)，所以只要求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，就能由直線方程的兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線l的方程． 解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(6,4)的直線方程為x＝6和y－4＝k(x－6)， 當(dāng)l的方程為x＝6時(shí)，△OQR的面積為S＝72； 當(dāng)l的方程為y－4＝k(x－6)時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為R(，0)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(，)， 此時(shí)△OQR的面積S＝＝. ∵S≥0，∴r(r－4)>0， ∴r>4或r<0. 變形為(S－72)k2＋(96－4S)k－32＝0(S≠72)． 因?yàn)樯鲜龇匠谈呐袆e式Δ≥0， 所以(96－4S)2＋432(S－72)≥0， 解得16S(S－40)≥0，即S≥40. 此時(shí)k＝－1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)k＝－1時(shí)，S有最小值40. 此時(shí)，直線l的方程為y－4＝－(x－6)，即x＋y－10＝0. 點(diǎn)評(píng)：此題是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題．如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．怎樣求這個(gè)面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo)． 3．已知直線y＝kx＋k＋2與以A(0，－3)、B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 分析：本題要首先畫(huà)出圖形如下圖，幫助我們找尋思路，仔細(xì)研究直線y＝kx＋k＋2，我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥－2＝k(x＋1)，這就可以看出，這是過(guò)(－1,2)點(diǎn)的一組直線．設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為P(－1,2)． 解：我們?cè)O(shè)PA的傾斜角為α1，PC的傾斜角為α，PB的傾斜角為α2，且α1≤α≤α2. 則k1＝tanα1≤k≤k2＝tanα2. 又k1＝＝－5，k2＝＝－， 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是－5≤k≤－.