2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 12.6《雙曲線的性質(zhì)》教案（1） 滬教版.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 12.6《雙曲線的性質(zhì)》教案（1） 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)的重點(diǎn)是雙曲線性質(zhì)的研究，通過雙曲線的圖像來研究雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等內(nèi)容. 本節(jié)的難點(diǎn)是漸近線方程與雙曲線方程之間的關(guān)系，以及漸近線與雙曲線的位置關(guān)系. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 本節(jié)課主要采用類比的教學(xué)方法研究雙曲線的基本性質(zhì)，介紹等軸雙曲線、共軛雙曲線的概念及性質(zhì)，討論共漸近線的雙曲線系方程，使學(xué)生加深對雙曲線性質(zhì)的理解，能利用這些性質(zhì)解決實(shí)際問題. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì). 難點(diǎn)：雙曲線的漸近線與雙曲線的位置關(guān)系. 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 漸近線的研究 問題拓展: 共漸近線的雙曲線系方程 等軸雙曲線 共軛雙曲線 小結(jié) 概念辨析 范圍,頂點(diǎn),對稱性 復(fù)習(xí)引入 類比橢圓性質(zhì) 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、 復(fù)習(xí)引入 1．觀察 復(fù)習(xí)雙曲線的定義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)位置）、標(biāo)準(zhǔn)方程中的意義（與橢圓對比） 2．思考 （類比橢圓）橢圓有哪些幾何性質(zhì)？ [說明] 討論雙曲線的幾何性質(zhì)與討論橢圓的幾何性質(zhì)，方法是相同的，這部分的內(nèi)容可以采用類比的教學(xué)方法，讓學(xué)生根據(jù)研究橢圓性質(zhì)的方法類比雙曲線的性質(zhì)，得到一些結(jié)論并加以研究. 3．討論 研究雙曲線幾何性質(zhì)，雙曲線圖形發(fā)展趨勢怎樣？ 二、學(xué)習(xí)新課 1．概念辨析 以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，為例進(jìn)行說明. 1．范圍: 觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè). 從雙曲線的方程如何驗(yàn)證？ 由標(biāo)準(zhǔn)方程可得，當(dāng)時(shí)，y才有實(shí)數(shù)值；對于y的任何值，x都有實(shí)數(shù)值這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 2.對稱性：雙曲線不封閉，但仍具三個(gè)對稱性，稱其對稱中心為雙曲線的中心 3．頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn).(結(jié)合圖形)，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，它們是雙曲線的頂點(diǎn),對稱軸上位于兩頂點(diǎn)間的線段叫做雙曲線的實(shí)軸長，它的長是2a，a叫半實(shí)軸長 而在方程中令x=0得，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，說明雙曲線和y軸沒有交點(diǎn).但y軸上的兩個(gè)特殊點(diǎn)，在雙曲線中也有非常重要的作用 把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長是2b，b叫做虛半軸長 歸納：頂點(diǎn)： 特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長為2a，a叫做半實(shí)軸長. 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長. 注意：名稱，不要把虛軸與橢圓的短軸混淆雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，與橢圓的又一差異 4． 漸近線：經(jīng)過作軸、軸的平行線，圍成一個(gè)矩形，其對角線所在的直線方程為. （1） 定義：如果有一條直線使得當(dāng)曲線上的一點(diǎn)沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到該直線的距離無限接近于零，則這條直線叫這一曲線的漸近線； （2） 直線與雙曲線在無窮遠(yuǎn)處是否相交？ 解：不失一般性，只研究雙曲線在第一象限內(nèi)的部分與直線的位置關(guān)系; 設(shè)是上的點(diǎn)，是直線上與有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則, ，∴在的下方. ∴ ，是關(guān)于的減函數(shù)，∴無限增大時(shí)，無限趨近于，而到直線的距離，∴無限增大時(shí)，也無限趨近于，但永不相交.其他象限類似證明； （3） 求法：在方程中，令右邊為零，則，得漸近線方程即； 若方程為，則漸近線方程為. 2．問題拓展 （一）等軸雙曲線 1、定義：若a=b即實(shí)軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 2、方程：或. 3、等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直.注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià).3）等軸雙曲線方程可以設(shè)為：,當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上. 例：等軸雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)在直線上，線段的中點(diǎn)是原點(diǎn)，分別寫出等軸雙曲線和兩條漸近線的方程. （二）共軛雙曲線 1、定義：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線. 2、方程：（1）的共軛雙曲線為；的共軛雙曲線為; （2）互為共軛的一對雙曲線方程合起來寫成為或; 3、性質(zhì)：有一對共同的漸近線；有相同的焦距，四焦點(diǎn)共圓； 4、注意：（1）共漸近線的兩雙曲線不一定是共軛雙曲線，如和； （2）與（a≠b）不共漸近線，有相同的焦距，四焦點(diǎn)共圓； 例如：分清①、與②、③、④、⑤之間的關(guān)系. （三）共漸近線的雙曲線系方程 問題 (1)與;(2) 與的區(qū)別? (1) 不同（互換）相同，焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了,但二者具有相同的漸近線(共軛雙曲線);(2) 不同,不同，焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸未變且二者具有相同的漸近線.由此: 雙曲線的漸近線是，但反過來此漸近線對應(yīng)的雙曲線則很多. 問題: 共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什么樣的特征？ 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗? 當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在y軸上. 即:雙曲線（）與雙曲線有共同的漸近線. 證明：若，則雙曲線方程可化為，漸近線，雙曲線的漸近線方程為， ∴兩雙曲線漸近線相同； 若，則雙曲線方程可化為，漸近線，即，又∵雙曲線的漸近線方程為， ∴兩雙曲線漸近線相同，所以，原命題結(jié)論成立. [說明]與雙曲線（）有共同漸近線的所有雙曲線方程為（）． 3．例題分析 1、若雙曲線以為漸近線, 根據(jù)下列條件，分別求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程. （1） 且實(shí)軸長為；（2）過點(diǎn)；（3）一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 解：（1）設(shè)雙曲線方程為, 當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，，雙曲線方程; 當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在y軸上，，雙曲線方程; （2）設(shè)雙曲線方程為 將代入得，雙曲線方程 （3）設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，雙曲線方程為. 2、（1）求雙曲線的兩條漸近線包含雙曲線的部分所成的角； （2）焦距為，兩條漸近線包含雙曲線的部分所成角為，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程. 解：（1）漸近線方程為，，; （2） 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為; 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為. 三、鞏固練習(xí) 1、中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(3，0)，一條漸近線方程2x-3y=0的雙曲線方程是 . 2、求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程. 3、求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離. 4、以5x2+8y2=40的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且以5x2+8y2=40的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程是 . 四、課堂小結(jié) 雙曲線的范圍、對稱性、中心、頂點(diǎn)、實(shí)軸和虛軸、實(shí)軸長、虛軸長、漸近線方程、等軸雙曲線；雙曲線的漸近線是，但反過來此漸近線對應(yīng)的雙曲線則是或?qū)懗? 五、作業(yè)布置 1、習(xí)題冊P363，4，5，6，7 2、補(bǔ)充作業(yè) （1）求方程mx2＋ny2＋mn=0(m下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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