2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊二 乘法原理完整講義(學(xué)生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊二 乘法原理完整講義(學(xué)生版) 知識內(nèi)容 1.基本計數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計數(shù)原理:做一件事,完成它有類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種方法,……,在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱加法原理. ⑵乘法原理 分步計數(shù)原理:做一件事,完成它需要分成個子步驟,做第一個步驟有種不同的方法,做第二個步驟有種不同方法,……,做第個步驟有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱乘法原理. ⑶加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成一件事的各種方法是相互獨立的,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分類計數(shù)原理.如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的,即各個步驟都必須完成,這件事才告完成,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分步計數(shù)原理. 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ),也是求解排列、組合問題的基本思想方法,這兩個原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好,并正確地靈活加以應(yīng)用. 2. 排列與組合 ⑴排列:一般地,從個不同的元素中任取個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.(其中被取的對象叫做元素) 排列數(shù):從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示. 排列數(shù)公式:,,并且. 全排列:一般地,個不同元素全部取出的一個排列,叫做個不同元素的一個全排列. 的階乘:正整數(shù)由到的連乘積,叫作的階乘,用表示.規(guī)定:. ⑵組合:一般地,從個不同元素中,任意取出個元素并成一組,叫做從個元素中任取個元素的一個組合. 組合數(shù):從個不同元素中,任意取出個元素的所有組合的個數(shù),叫做從個不同元素中,任意取出個元素的組合數(shù),用符號表示. 組合數(shù)公式:,,并且. 組合數(shù)的兩個性質(zhì):性質(zhì)1:;性質(zhì)2:.(規(guī)定) ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題,首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義,即首先弄清是分類還是分步,是排列還是組合,同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法: 1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法:先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素; 位置優(yōu)先法:先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置; 2.分類分步法:對于較復(fù)雜的排列組合問題,常需要分類討論或分步計算,一定要做到分類明確,層次清楚,不重不漏. 3.排除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法. 4.捆綁法:某些元素必相鄰的排列,可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素,與其它元素進(jìn)行排列,然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列. 5.插空法:某些元素不相鄰的排列,可以先排其它元素,再讓不相鄰的元素插空. 6.插板法:個相同元素,分成組,每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排,從個空中選個空,各插一個隔板,有. 7.分組、分配法:分組問題(分成幾堆,無序).有等分、不等分、部分等分之別.一般地平均分成堆(組),必須除以!,如果有堆(組)元素個數(shù)相等,必須除以! 8.錯位法:編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里,每個盒子放一個小球,要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列,特別當(dāng),3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算,可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題. 1.排列與組合應(yīng)用題,主要考查有附加條件的應(yīng)用問題,解決此類問題通常有三種途徑: ①元素分析法:以元素為主,應(yīng)先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素; ②位置分析法:以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置; ③間接法:先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理;然后分析題目條件,避免“選取”時重復(fù)和遺漏;最后列出式子計算作答. 2.具體的解題策略有: ①對特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排; ②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類,分類后要驗證是否不重不漏; ③對于抽出部分元素進(jìn)行排列的問題一般是先選后排,以防出現(xiàn)重復(fù); ④對于元素相鄰的條件,采取捆綁法;對于元素間隔排列的問題,采取插空法或隔板法; ⑤順序固定的問題用除法處理;分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理; ⑥對于正面考慮太復(fù)雜的問題,可以考慮反面. ⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題,需要構(gòu)造模型. 典例分析 乘法原理 【例1】 公園有個門,從一個門進(jìn),一個門出,共有_____種不同的走法. 【例2】 將個不同的小球放入個盒子中,則不同放法種數(shù)有_______. 【例3】 如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館,每天最多只安排一所學(xué)校,要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天,其余兩所學(xué)校均只參觀一天,那么不同的安排方法共有 種. 【例4】 高二年級一班有女生人,男生人,從中選取一名男生和一名女生作代表,參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán),問選取代表的方法有幾種. 【例5】 六名同學(xué)報名參加三項體育比賽,每人限報一項,共有多少種不同的報名結(jié)果? 【例6】 六名同學(xué)參加三項比賽,三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種? 【例7】 用,,,,,組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字),要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同,且和相鄰,這樣的六位數(shù)的個數(shù)是__________(用數(shù)字作答). 【例8】 從集合中任選兩個元素作為橢圓方程中的和,則能組成落在矩形區(qū)域且內(nèi)的橢圓個數(shù)為( ?。? A. B. C. D. 【例9】 若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為,值域為的“同族函數(shù)”共有( ) A.個 B.個 C.個 D.個 【例10】 某銀行儲蓄卡的密碼是一個位數(shù)碼,某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)字(如)的方法設(shè)計密碼,當(dāng)積為一位數(shù)時,十位上數(shù)字選,并且千位、百位上都能取.這樣設(shè)計出來的密碼共有( ) A.個 B.個 C.個 D.個 【例11】 從集合中,選出個數(shù)組成子集,使得這個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于,則取出這樣的子集的個數(shù)為( ) A. B. C. D. 【例12】 若、是整數(shù),且,,則以為坐標(biāo)的不同的點共有多少個? 【例13】 用,,,,,這個數(shù)字: ⑴可以組成______________個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù). ⑵可以組成______________個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù). 【例14】 六名同學(xué)報名參加三項體育比賽,共有多少種不同的報名結(jié)果? 【例15】 將名教師分配到所中學(xué)任教,每所中學(xué)至少一名教師,則不同的分配方案共有( )種. A. B. C. D.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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