2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.4 點(diǎn)到直線的距離教案 新人教B版必修2.doc

《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.4 點(diǎn)到直線的距離教案 新人教B版必修2.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.4 點(diǎn)到直線的距離教案 新人教B版必修2.doc（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.4 點(diǎn)到直線的距離教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 點(diǎn)到直線的距離的公式的推導(dǎo)方法很多，可探究的題材非常豐富．除了本節(jié)課探究方法外，還有應(yīng)用三角函數(shù)、應(yīng)用向量等方法．因此“課程標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的要求是：“探索并掌握點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行線間的距離”．希望通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，能讓學(xué)生在公式的探索過(guò)程中深刻地領(lǐng)悟到蘊(yùn)涵其中的重要的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想和分類方法，由淺入深、由特殊到一般地研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維． 三維目標(biāo)　　　　　 1．讓學(xué)生掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并會(huì)求兩條平行線間的距離，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 2．引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)思距離公式的推導(dǎo)方案，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問(wèn)題的能力，鼓勵(lì)創(chuàng)新． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)距離公式推導(dǎo)方法的感悟與數(shù)學(xué)模型的建立． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計(jì)1.點(diǎn)P(0,5)到x軸的距離是多少？更進(jìn)一步，在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎樣由點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn)P到直線l的距離呢？教師引出課題． 設(shè)計(jì)2.我們知道點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上，當(dāng)點(diǎn)不在直線上時(shí)，怎樣求出該點(diǎn)到直線的距離呢？教師引出課題． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)設(shè)坐標(biāo)平面上(如下圖)，有點(diǎn)P(x1，y1)和直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)． 作直線m通過(guò)點(diǎn)P(x1，y1)，并且與直線l垂直，設(shè)垂足為P0(x0，y0)． 求證：①B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0；②C＝－Ax0－By0. (2)試求出(x1－x0)2＋(y－y0)2. (3)寫(xiě)出點(diǎn)P到直線l的距離d的計(jì)算公式． (4)寫(xiě)出求點(diǎn)P(x1，y1)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的計(jì)算步驟． 討論結(jié)果： (1)證明：①設(shè)直線m的方程為Bx－Ay＋D＝0， ∵P(x1，y1)在m上，∴Bx1－Ay1＋D＝0， ∴D＝Ay1－Bx1，∴直線m的方程為Bx－Ay＋(Ay1－Bx1)＝0，即B(x－x1)－A(y－y1)＝0. ∴B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0. ②∵P0(x0，y0)在直線l上，∴P0(x0，y0)的坐標(biāo)是方程Ax＋By＋C＝0的一組解，∴Ax0＋By0＋C＝0，∴C＝－Ax0－By0. (2)Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1＋(－Ax0－By0)＝A(x1－x0)＋B(y1－y0)，則[A(x1－x0)＋B(y1－y0)]2＝(Ay1＋By1＋C)2，又∵[B(x0－x1)－A(y0－y1)]2＝0，∴兩等式相加，得(A2＋B2)[(x1－x0)2＋(y1－y0)2]＝(Ax1＋By1＋C)2，∴(x1－x0)2＋(y1－y0)2＝. (3)求點(diǎn)P到直線l距離轉(zhuǎn)化為求P和P0兩點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題．由距離公式，只要列出關(guān)于x1－x0，y1－y0的兩個(gè)方程，就可求出這兩點(diǎn)的距離d. 則d＝|PP0|＝＝. 即d＝. (4)步驟： ①給點(diǎn)的坐標(biāo)賦值：x1＝？，y1＝？； ②給A，B，C賦值：A＝？，B＝？，C＝？； ③計(jì)算d＝； ④給出d的值． 思路1 例1求點(diǎn)P(－1,2)到直線2x＋y＝5的距離d. 解：將直線方程化為一般式：2x＋y－5＝0. 因?yàn)閤1＝－1，y1＝2，A＝2，B＝1，C＝－5，所以由點(diǎn)到直線的距離公式，得d＝＝＝. 變式訓(xùn)練 1．求原點(diǎn)到直線l1：5x－12y－9＝0的距離； 答案： 2．求點(diǎn)P(－1，－2)到直線l2：x＋2y－10＝0的距離． 答案：3 例2(1)求證：兩條平行線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離是d＝； (2)求平行線l1：12x－5y＋8＝0與l2：12x－5y－24＝0之間的距離． 分析：兩條平行線的距離，就是其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離． 解：(1)在l1上任取一點(diǎn)P(x1，y1)，則Ax1＋By1＝－C1.l1與l2之間的距離等于點(diǎn)P到l2的距離d＝＝； (2)由(1)所得公式，直線l1與l2的距離為d＝＝.即平行線l1與l2之間的距離是. 點(diǎn)評(píng)：利用公式d＝求兩平行直線間的距離時(shí)，必須將這兩條直線方程化為含x與y的系數(shù)分別相等的形式，否則容易出錯(cuò)． 變式訓(xùn)練 1．兩平行直線l1：2x－7y＋8＝0和l2：2x－7y－6＝0的距離d＝______. 答案： 2．兩平行直線l1：3x＋5y＋2＝0和l2：6x＋10y＋8＝0的距離d＝______. 答案： 思路2 例3求直線2x＋11y＋16＝0關(guān)于點(diǎn)P(0,1)對(duì)稱的直線方程． 分析：中心對(duì)稱的兩條直線是互相平行的，并且這兩條直線與對(duì)稱中心的距離相等． 解：設(shè)所求直線方程為2x＋11y＋C＝0，則 ＝C＝16(舍去)或C＝－38. ∴所求直線為2x＋11y－38＝0. 點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是明確所求直線與已知直線平行． 變式訓(xùn)練 1．已知直線l過(guò)兩條直線3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交點(diǎn)，且與A(2,3)，B(－4,5)兩點(diǎn)的距離相等，求直線l的方程． 解：直線3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交點(diǎn)為(－1,2)． 若直線l平行于直線AB，易求得直線l的方程為x＋3y－5＝0； 若直線l通過(guò)線段AB的中點(diǎn)，易求得直線l的方程為x＝－1. 所以直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0. 2．兩平行直線l1，l2分別過(guò)A(1,0)與B(0,5)．若l1與l2的距離為5，求這兩直線方程． 解：|AB|＝＝>5， 顯然，直線l1，l2均不與x軸垂直．設(shè)l1的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，則點(diǎn)B到l1的距離為＝5，所以k＝0或k＝. l1的方程為y＝0或5x－12y－5＝0，可得l2的方程為y＝5或y＝x＋5. 故所求兩直線方程分別為l1：y＝0，l2：y＝5； 或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. 1．求點(diǎn)P0(－1,2)到下列直線的距離：(1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2. 解：(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得d＝＝＝2. (2)因?yàn)橹本€3x＝2平行于y軸，所以d＝|－(－1)|＝. 2．已知點(diǎn)A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面積． 解：設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝|AB|h. |AB|＝＝2. AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到AB的距離， AB邊所在直線方程為＝，即x＋y－4＝0. 點(diǎn)C到x＋y－4＝0的距離為h＝＝， 因此，S△ABC＝2＝5. 3．用解析法證明等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高． 證明：在△ABC中，AB＝AC，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如下圖)． 設(shè)A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a>0，b>0)，則直線AB方程為bx－ay＋ab＝0，直線AC方程為bx＋ay－ab＝0，取P(x0,0)，使x0>a，則點(diǎn)P到直線AB，AC的距離分別為 |PD|＝＝， |PE|＝＝ . 點(diǎn)C到直線AB的距離為|CF|＝＝， 則|PD|－|PE|＝＝|CF|. 問(wèn)題：已知直線l：2x－y＋1＝0和點(diǎn)O(0,0)、M(0,3)，試在l上找一點(diǎn)P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出這個(gè)最大值． 解：點(diǎn)O(0,0)關(guān)于直線l：2x－y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為O′(－，)， 則直線MO′的方程為y－3＝x， 直線MO′與直線l：2x－y＋1＝0的交點(diǎn)N(－，－)即為所求， 則||PO－|PM||＝||PO′|－|PM||≤|MO′| 所以||PO|－|PM||的最大值為|MO′|＝. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了：點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行直線間距離． 本節(jié)練習(xí)B　2,3題． 本節(jié)課采用探究式的教學(xué)方法，通過(guò)設(shè)問(wèn)、啟發(fā)、鋪墊，為學(xué)生搭建探究問(wèn)題的平臺(tái)，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中，自己去觀察、歸納、猜想并證明公式，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，在自主探究、合作交流中獲得知識(shí)，在多角度、多方面的解決問(wèn)題中，使不同層次的學(xué)生都能有所收獲與發(fā)展．根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，學(xué)習(xí)方法為接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)相結(jié)合．學(xué)生的探究并不是漫無(wú)邊際的探究，而是在教師引導(dǎo)之下的探究；教師也要提供必要的時(shí)間和空間給學(xué)生展示自己思維過(guò)程，使學(xué)生在教師和其他同學(xué)的幫助下，充分體驗(yàn)作為學(xué)習(xí)主體進(jìn)行探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂(lè)趣． 備選習(xí)題 1．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分別滿足下列條件的a、b的值． (1)直線l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，并且直線l1與直線l2垂直； (2)直線l1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)1＝0， 即a2－a－b＝0.① 又點(diǎn)(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率為1－a. ∴l(xiāng)1的斜率也存在，即＝1－a，則b＝. 故l1和l2的方程可分別表示為 l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0. ∵原點(diǎn)到l1和l2的距離相等， ∴4||＝||. 解得a＝2或a＝.因此或 2．求過(guò)點(diǎn)M(2,3)且與點(diǎn)P(1,0)的距離是1的直線方程． 解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M(2,3)且與點(diǎn)P(1,0)距離是1的直線的方程是y－3＝k(x－2)，將其化簡(jiǎn)為一般形式得kx－y－2k＋3＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式得P點(diǎn)到直線的距離是1＝，解得k＝，所求直線方程為4x－3y＋1＝0. 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝2時(shí)也滿足已知條件． 綜上所述可知，所求直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2. 3．證明等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于定值． 證明：建立直角坐標(biāo)系，如下圖，設(shè)邊長(zhǎng)為2a，則A(0，a)、B(－a,0)、C(a,0)，直線AB的方程為x－y＋a＝0，直線AC的方程為x＋y－a＝0，直線BC的方程為y＝0. 設(shè)P(x0，y0)是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)， 則|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋|y0|＋. ∵點(diǎn)P在直線AB、AC的下方， ∴|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋y0＋＝a(定值).