2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 11.3變量間的相關關系、統(tǒng)計案例教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 11.3變量間的相關關系、統(tǒng)計案例教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　考查線性回歸的基本思想和簡單應用． 復習備考要這樣做　1.理解散點圖和相關關系的概念；2.注意線性回歸方程在實際問題中的應用． 1． 兩個變量的線性相關 (1)正相關 在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關． (2)負相關 在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關． (3)線性相關關系、回歸直線 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． 2． 回歸方程 (1)最小二乘法 求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回歸方程 方程 ＝ x＋ 是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)的回歸方程，其中 ， 是待定參數(shù)． . 3． 回歸分析 (1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(，)稱為樣本點的中心． (3)相關系數(shù) 當r>0時，表明兩個變量正相關； 當r<0時，表明兩個變量負相關． r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性． [難點正本　疑點清源] 1． 相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別 相關關系與函數(shù)關系不同．函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系．例如正方形面積S與邊長x之間的關系S＝x2就是函數(shù)關系．相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系．例如商品的銷售額與廣告費是相關關系．兩個變量具有相關關系是回歸分析的前提． 2． 對回歸分析的理解 回歸分析是處理變量相關關系的一種數(shù)學方法，它主要解決三個問題： (1)確定兩個變量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式，否則求出的回歸方程沒有意義； (2)根據(jù)一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢； (3)求出線性回歸方程． 1． 已知x、y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從所得的散點圖分析，y與x線性相關，且 ＝0.95x＋ ，則 ＝________. 答案　2.6 解析　因為回歸直線必過樣本點的中心(，)， 又＝2，＝4.5，代入 ＝0.95x＋ ，得 ＝2.6. 2． (xx遼寧)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的線性回歸方程： ＝0.254x＋0.321.由線性回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加______萬元． 答案　0.254 解析　由題意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 3． (xx湖南)設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是 (　　) A．y與x具有正的線性相關關系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 答案　D 解析　由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85， 因此y與x具有正的線性相關關系，故A正確． 又線性回歸方程必過樣本點的中心(，)，因此B正確． 由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1 cm，其體重約增加0.85 kg，故C正確． 當某女生的身高為170 cm時，其體重估計值是58.79 kg，而不是具體值，因此D不正確． 4． 對于回歸分析，下列說法錯誤的是 (　　) A．在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，那么因變量不能由自變量唯 一確定 B．線性相關系數(shù)可以是正的或負的 C．回歸分析中，如果r2＝1或r＝1，說明x與y之間完全線性相關 D．樣本相關系數(shù)r∈(－1,1) 答案　D 解析　由定義可知相關系數(shù)|r|≤1，故D錯誤． 5． 已知變量x，y具有線性相關關系，測得一組數(shù)據(jù)如下：(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70)，若它們的回歸直線的斜率為6.5，則在這些樣本點中任取一點，它在回歸直線上方的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意可知， ＝6.5，＝5，＝50，則 ＝－ ＝17.5，所以線性回歸方程為 ＝6.5x＋17.5，將樣本數(shù)據(jù)代入線性回歸方程檢驗可知，只有兩點(5,60)，(8,70)在回歸直線上方，所以所求概率為. 題型一　兩個變量間的相關關系 例1　5個學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚? 　　學生 學科　　 A B C D E 數(shù)學 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點圖，并判斷它們是否具有相關關系． 思維啟迪：將每個學生的數(shù)學成績和物理成績分別作為點的橫坐標和縱坐標，作散點圖，然后根據(jù)散點圖判斷兩個變量是否存在相關關系． 解　以x軸表示數(shù)學成績，y軸表示物理成績，可得到相應的散點圖如圖所示． 由散點圖可知，各組數(shù)據(jù)對應點大致在一條直線附近，所以兩者之間具有相關關系，且為正相關． 探究提高　判斷變量之間有無相關關系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖，根據(jù)散點圖很容易看出兩個變量之間是否具有相關性，是不是存在線性相關關系，是正相關還是負相關，相關關系是強還是弱． 　對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi) (i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u、v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi) (i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷(　　) A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 答案　C 解析　由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負相關；由圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關． 題型二　線性回歸方程 例2　(xx福建)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求線性回歸方程＝x＋，其中＝－20，＝－； (2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 思維啟迪：根據(jù)回歸直線過樣本點中心來求線性回歸方程，然后利用回歸方程求最大利潤． 解　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又＝－20， 所以＝－＝80＋208.5＝250， 從而線性回歸方程為＝－20x＋250. (2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－20(x－8.25)2＋361.25. 當且僅當x＝8.25時，L取得最大值． 故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤． 探究提高　回歸直線過樣本點中心(，)是一條重要性質(zhì)；利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢． 　(xx廣東)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關系： 時間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為________；用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________． 答案　0.5　0.53 解析　小李這5天的平均投籃命中率 ＝＝0.5，可求得小李這5天的平均打籃球時間＝3.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得 ＝0.01， ＝0.47，故線性回歸方程為 ＝0.01x＋0.47，將x＝6代入得6號打6小時籃球的投籃命中率約為0.53. 統(tǒng)計中的數(shù)形結(jié)合思想 典例：(12分)某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如表所示： 年收入x(萬元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年飲食支出y(萬元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關關系； (2)如果某家庭年收入為9萬元，預測其年飲食支出． 審題視角　可以畫出散點圖，根據(jù)圖中點的分布判斷家庭年收入和年飲食支出的線性相關性． 規(guī)范解答 解　(1)由題意，知年收入x為解釋變量，年飲食支出y為預報變量，作散點圖如圖所示． [3分] 從圖中可以看出，樣本點呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系．[4分] 因為＝6，＝1.83，＝406，＝35.13， iyi＝117.7， 所以＝≈0.172， ＝－≈1.83－0.1726＝0.798. 從而得到線性回歸方程為＝0.172x＋0.798.[8分] (2)＝0.1729＋0.798＝2.346(萬元)． 所以家庭年收入為9萬元時，可以預測年飲食支出為2.346萬元．[12分] 溫馨提醒　(1)在統(tǒng)計中，用樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖、統(tǒng)計圖表中的莖葉圖、折線圖、條形圖，去估計總體的相關問題，以及用散點圖判斷相關變量的相關性等都體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合．借助于形的直觀，去統(tǒng)計數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，無不體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． (2)本題利用散點圖分析兩變量間的相關關系，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用． (3)本題易錯點為散點圖畫的不準確，導致判斷錯誤. 方法與技巧 1． 求回歸方程，關鍵在于正確求出系數(shù) ， ，由于 ， 的計算量大，計算時應仔細謹慎，分層進行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤．(注意線性回歸方程中一次項系數(shù)為 ，常數(shù)項為 ，這與一次函數(shù)的習慣表示不同．) 2． 回歸分析是處理變量相關關系的一種數(shù)學方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程． 失誤與防范 1． 回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義． 2． 根據(jù)回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值． A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 相關系數(shù)度量 (　　) A．兩個變量之間線性相關關系的強度 B．散點圖是否顯示有意義的模型 C．兩個變量之間是否存在因果關系 D．兩個變量之間是否存在關系 答案　A 解析　相關系數(shù)來衡量兩個變量之間線性相關關系的強弱． 2． (xx陜西)設(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本 點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如 圖)，以下結(jié)論中正確的是 (　　) A．直線l過點(，) B．x和y的相關系數(shù)為直線l的斜率 C．x和y的相關系數(shù)在0到1之間 D．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 答案　A 解析　因為相關系數(shù)是表示兩個變量是否具有線性相關關系的一個值，它的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關程度越強，所以B、C錯誤．D中n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)可以不相同，所以D錯誤．根據(jù)線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心可知A正確． 3． (xx山東)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程 ＝ x＋ 中的 為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為 (　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 答案　B 解析　∵＝＝，＝＝42， 又 ＝ x＋ 必過(，)， ∴42＝9.4＋ ，∴ ＝9.1. ∴線性回歸方程為 ＝9.4x＋9.1. ∴當x＝6時， ＝9.46＋9.1＝65.5(萬元)． 4． (xx課標全國)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為 (　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案　D 解析　樣本點都在直線上時，其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的，即yi＝i，代入相關系數(shù)公式r＝＝1. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 某市居民xx～xx年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示： 年份 xx xx xx xx xx 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關關系． 答案　13　正 解析　把xx～xx年家庭年平均收入按從小到大順序排列為11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位數(shù)為13(萬元)，由統(tǒng)計資料可以看出，當年平均收入增多時，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正線性相關關系． 6． 在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計算K2的觀測值k＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是________的(有關，無關)． 答案　有關 解析　由觀測值k＝27.63與臨界值比較，我們有99.9%的把握說打鼾與患心臟病有關． 6． 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生 產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對應數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程為 ＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為________． 答案　3 解析　樣本點中心是(，)，即. 因為線性回歸方程過該點， 所以＝0.74.5＋0.35，解得t＝3. 三、解答題(共22分) 8． (10分)某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下： 月份 產(chǎn)量(千件) 單位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 且已知產(chǎn)量x與成本y具有線性相關關系． (1)求出線性回歸方程； (2)指出產(chǎn)量每增加1 000件時，單位成本平均變動多少？ (3)假定產(chǎn)量為6 000件時，單位成本為多少元？ 解　(1)n＝6，＝3.5，＝71，x＝79，xiyi＝1 481， ＝＝≈－1.82， ＝－ ＝71＋1.823.5＝77.37， ∴線性回歸方程為 ＝ x＋ ＝－1.82x＋77.37. (2)因為單位成本平均變動 ＝－1.82<0，且產(chǎn)量x的計量單位是千件，所以根據(jù)回歸系數(shù) 的意義有產(chǎn)量每增加一個單位即1 000件時，單位成本平均減少1.82元． (3)當產(chǎn)量為6 000件時，即x＝6，代入線性回歸方程， 得 ＝77.37－1.826＝66.45(元) ∴當產(chǎn)量為6 000件時，單位成本大約為66.45元． 9． (12分)(xx安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 年份 xx xx xx xx xx 需求量(萬噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程 ＝x＋； (2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地xx年的糧食需求量． 解　(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升的，下面求線性回歸方程．為此對數(shù)據(jù)預處理如下： 年份－xx －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 對預處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 ＝0，＝3.2. ＝ ＝＝6.5， ＝－＝3.2. 由上述計算結(jié)果，知所求線性回歸方程為 －257＝ (x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2， 即 ＝6.5(x－2 006)＋260.2.① (2)利用直線方程①，可預測xx年的糧食需求量約為 6．5(2 012－2 006)＋260.2＝6.56＋260.2＝299.2(萬噸)． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 以下三個命題，其中正確的是 (　　) ①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣； ②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1 ； ③在線性回歸方程 ＝0.2x＋12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量 平均增加0.2個單位． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 答案　D 2． 若變量y與x之間的相關系數(shù)r＝－0.936 2，則變量y與x之間 (　　) A．不具有線性相關關系 B．具有線性相關關系 C．它們的線性相關關系還要進一步確定 D．不確定 答案　B 解析　相關系數(shù)r主要是來衡量兩個變量之間線性相關關系的強弱，|r|越接近1，兩個變量之間線性關系就越強，|r|越接近0，兩個變量之間幾乎不存在線性關系．因為|r|＝0.936 2，接近1，所以變量y與x之間具有線性相關關系． 3．(xx江西)為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高x(cm) 174 176 176 176 178 兒子身高y(cm) 175 175 176 177 177 則y對x的線性回歸方程為 (　　) A. ＝x－1 B. ＝x＋1 C. ＝88＋x D. ＝176 答案　C 解析　因為＝＝176， ＝＝176， 又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(，)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗知選C. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． ①若r>0，則x增大時，y也相應增大；②若r<0，則x增大時，y也相應增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數(shù)關系)，在散點圖上各個點均在一條直線上． 上面是關于相關系數(shù)r的幾種說法，其中正確的序號是__________． 答案　①③ 解析　若r>0，表示兩個相關變量正相關，x增大時，y也相應增大，故①正確；r<0，表示兩個相關變量負相關，x增大時，y相應減小，故②錯誤；|r|越接近1，表示兩個變量相關性越高，|r|＝1表示兩個變量有確定的關系(即函數(shù)關系)，故③正確． 5． (xx廣東)某數(shù)學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________ cm. 答案　185 解析　兒子和父親的身高可列表如下： 父親身高 173 170 176 兒子身高 170 176 182 設線性回歸方程 ＝ ＋ x，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得 ＝1，故 ＝－ ＝176－173＝3，故線性回歸方程為 ＝3＋x，將x＝182代入得孫子的身高為185 cm. 6． 某煉鋼廠廢品率x(%)與成本y(元/t)的線性回歸方程為＝105.492＋42.569x.當成本控制在176.5元/t時，可以預計生產(chǎn)的1 000 t鋼中，約有________ t鋼是廢品． 答案　16.68 解析　∵176.5＝105.492＋42.569x， ∴x≈1.668， 即成本控制在176.5元/t時，廢品率為1.668%. ∴生產(chǎn)的1 000 t鋼中，約有1 0001.668%＝16.68(t)鋼是廢品． 三、解答題 7． (13分)一臺機器使用時間較長，但還可以使用．它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少，隨機器運轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗結(jié)果： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12 8 每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 (1)對變量y與x進行相關性檢驗； (2)如果y與x有線性相關關系，求線性回歸方程； (3)若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為10個，那么，機器的運轉(zhuǎn)速度應控制在什么范圍內(nèi)？(結(jié)果保留整數(shù)) 解　(1)＝12.5，＝8.25，xiyi＝438， 4 ＝412.5，x＝660，y＝291， 所以r＝ ＝ ＝≈≈0.995. 因為r>0.75，所以y與x有很強的線性相關關系． (2) ＝≈0.728 6， ＝－ ＝8.25－0.728 612.5＝－0.857 5， ∴所求線性回歸方程為 ＝0.728 6x－0.857 5. (3)要使 ≤10?0.728 6x－0.857 5≤10， 所以x≤14.901 9≈15. 所以機器的轉(zhuǎn)速應控制在15轉(zhuǎn)/秒以下．