2019-2020年高中數(shù)學 《2.4.1.1 向量的數(shù)量積》教案 蘇教版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 《2.4.1.1 向量的數(shù)量積》教案 蘇教版必修4 教學目標： 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件. 教學重點： 平面向量的數(shù)量積定義. 教學難點： 平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用. 教學過程： Ⅰ.課題引入 在物理課中，我們學過功的概念，即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W可由下式計算： W＝｜F｜｜s｜cosθ 其中θ是F與s的夾角. 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量數(shù)量積的概念. Ⅱ.講授新課 1.兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量a與b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ (0≤θ≤π)叫a與b的夾角. 說明：(1)當θ＝0時，a與b同向； (2)當θ＝π時，a與b反向； (3)當θ＝時，a與b垂直，記a⊥b； (4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的. 2.數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即有ab＝｜a｜｜b｜cosθ(0≤θ≤π). 說明：(1)零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a＝0； (2)符號“”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替. 3.數(shù)量積的幾何意義 兩個向量的數(shù)量積等于其中一個向量的長度與另一個向量在其上的投影值的乘積. 說明：這個投影值可正可負也可為零，所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù). 4.數(shù)量積的重要性質(zhì) 設(shè)a與b都是非零向量，e是單位向量，θ0是a與e夾角，θ是a與b夾角. ①ea＝ae＝｜a｜cosθ0 ②a⊥bab＝0 ③當a與b同向時，ab＝｜a｜｜b｜ 當a與b反向時，ab＝－｜a｜｜b｜ 特別地，aa＝｜a｜2或｜a｜＝＝ ④cosθ＝ ⑤｜ab｜≤｜a｜｜b｜ 說明：上述性質(zhì)要求學生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證. 5.數(shù)量積的運算律 已知a，b，c和實數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律： ①ab＝ba (交換律) ②(λa)b＝λ (ab)＝a(λb) (數(shù)乘結(jié)合律) ③(a＋b)c＝ac＋bc (分配律) 說明：(1)一般地，(ab)c≠a(bc) (2)ac＝bc，c≠0a＝b (3)有如下常用性質(zhì)：a2＝｜a｜2， (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ［師］為使大家進一步熟悉數(shù)量積的性質(zhì)，加深對數(shù)量積定義的理解，我們來看下面的例題. ［例題］判斷正誤，并簡要說明理由. ①a0＝0；②0a＝0；③0－＝；④｜ab｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，則對任一非零b有ab≠0；⑥ab＝0，則a與b中至少有一個為0；⑦對任意向量a，b，c都有(ab)c＝a(bc)；⑧a與b是兩個單位向量，則a2＝b2. 分析：根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律，逐一判斷. 解：上述8個命題中只有③⑧正確； 對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有0a＝0； 對于②：應(yīng)有0a＝0； 對于④：由數(shù)量積定義有｜ab｜＝｜a｜｜b｜｜cosθ｜≤｜a｜｜b｜，這里θ是a與b的夾角，只有θ＝0或θ＝π時，才有｜ab｜＝｜a｜｜b｜； 對于⑤：若非零向量a、b垂直，有ab＝0； 對于⑥：由ab＝0可知a⊥b可以都非零； 對于⑦：若a與c共線，記a＝λc. 則ab＝(λc)b＝λ (cb)＝λ (bc)， ∴(ab)c＝λ (bc)c＝(bc)λ c＝(bc)a 若a與c不共線，則(ab)c≠(bc)a. 評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律. 說明： 1.概念辨析：正確理解向量夾角定義 對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如： ［例1］已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60，求. 對此題，有同學求解如下： 解：如圖，∵｜｜＝a＝5，｜｜＝b＝8，C＝60， ∴＝｜｜｜｜cosC＝58cos60＝20. 分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于 沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點并不同，因此，C并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當是C的補角120. 2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律 分析：若有(ab)c＝a(bc)，設(shè)a、b夾角為α，b、c夾角為β，則 (ab)c＝｜a｜｜b｜cosαc，a(bc)＝a｜b｜｜c｜cosβ. ∴若a＝c，α＝β，則｜a｜＝｜c｜，進而有：(ab)c＝a(bc) 這是一種特殊情形，一般情況則不成立.舉反例如下： 已知｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝，a與b夾角是60，b與c夾角是45，則： (ab)c＝(｜a｜｜b｜cos60)c＝c， a(bc)＝(｜b｜｜c｜cos45)a＝a 而c≠a，故(ab)c≠a(bc) 3.等式的性質(zhì)“實數(shù)a、b、c，且ab＝ac，a≠0推出b＝c”這一性質(zhì)在向量推理中不正確. ［例2］舉例說明ab＝ac，且a≠0，推不出b＝c. 解：?。黙｜＝1，｜b｜＝，a與b的夾角為45，｜c｜＝，a與c的夾角為0，顯然ab＝ac＝，但b≠c. 4.“如果ab＝0，那么a，b中至少有一個為零”這一性質(zhì)在向量推理中不正確. ［例3］已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a與b的夾角為90，求ab. 解：ab＝23cos90＝0，顯然a≠0，b≠0，由ab＝0可推出以下四種可能： ①a＝0，b≠0; ②b＝0，a≠0; ③a＝0且b＝0; ④a≠0且b≠0但a⊥b. Ⅲ.課堂練習 課本P80練習1，2，3 Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學習，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運算律，并能運用它們解決相關(guān)的問題. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P82習題 1，2，3