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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語(yǔ)章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1
1.要注意全稱命題、存在性命題的自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.
2.正確理解“或”的意義,日常用語(yǔ)中的“或”有兩類用法:其一是“不可兼”的“或”;其二是“可兼”的“或”,我們這里僅研究“可兼”的“或”.
3.有的命題中省略了“且”“或”,要正確區(qū)分.
4.常用“都是”表示全稱肯定,它的存在性否定為“不都是”,兩者互為否定;用“都不是”表示全稱否定,它的存在性肯定可用“至少有一個(gè)是”來(lái)表示.
5.在判定充分條件、必要條件時(shí),要注意既要看由p能否推出q,又要看由q能否推出p,不能顧此失彼.證明題一般是要求就充要條件進(jìn)行論證,證明時(shí)要分兩個(gè)方面,防止將充分條件和必要條件的證明弄混.
6.否命題與命題的否定的區(qū)別.對(duì)于命題“若p,則q”,其否命題形式為“若綈p,則綈q”,其否定為“若p,則綈q”,即否命題是將條件、結(jié)論同時(shí)否定,而命題的否定是只否定結(jié)論.有時(shí)一個(gè)命題的敘述方式是簡(jiǎn)略式,此時(shí)應(yīng)先分清條件p,結(jié)論q,改寫(xiě)成“若p,則q”的形式再判斷.
題型一 充分條件與必要條件的理解及判斷方法
例1 已知p:-2
0}.
(1)若m=1,則p是q的什么條件?
(2)若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 (1)因?yàn)閜:={x|-2≤x≤10},
q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0}={x|0≤x≤2},
顯然{x|0≤x≤2}{x|-2≤x≤10},
所以p是q的必要不充分條件.
(2)由(1),知p:{x|-2≤x≤10},因?yàn)閜是q的充分不必要條件,
所以
解得m≥9,即m∈[9,+∞).
題型二 命題的否定與否命題
例2 寫(xiě)出下列命題的否定.
(1)所有人都晨練;
(2)?x∈Q,x2+x+1不是有理數(shù).
解 (1)“所有人都晨練”的否定是“有的人不晨練”.
(2)“?x∈Q,x2+x+1不是有理數(shù)”的否定是“?x∈Q,x2+x+1是有理數(shù)”.
跟蹤演練2 寫(xiě)出下列命題的否命題,并判斷其真假.
(1)若m>0,則關(guān)于x的方程x2+x-m=0有實(shí)根;
(2)若x,y都是奇數(shù),則x+y是奇數(shù).
解 (1)若m≤0,則關(guān)于x的方程x2+x-m=0無(wú)實(shí)根,假命題.
(2)若x,y不都是奇數(shù),則x+y不是奇數(shù),假命題.
題型三 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想
對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分、必要條件的判斷,往往利用“原命題與逆否命題是等價(jià)命題”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
例3 已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈p是綈q的必要而不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 方法一 由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0,
得1-m≤x≤1+m,
∴綈q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.
由≤2,解得-2≤x≤10,
∴綈p:B={x|x>10或x<-2}.
∵綈p是綈q的必要而不充分條件.
∴AB,∴或
即m≥9或m>9.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥9.
方法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分條件,
∴p是q的充分而不必要條件,
由q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,
∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m}.
由≤2,解得-2≤x≤10,
∴p:P={x|-2≤x≤10}.
∵p是q的充分而不必要條件,
∴PQ,∴或
即m≥9或m>9.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥9.
跟蹤演練3 已知a>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減,q:不等式x+|x-2a|>1的解集為R,若p和q有且只有一個(gè)正確,求a的取值范圍.
解 函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減知0<a<1,由p真知0<a<1,不等式:x+|x-2a|>1的解集為R,即y=x+|x-2a|在R上恒大于1,又∵x+|x-2a|=
∴函數(shù)y=x+|x-2a|在R上的最小值為2a,故要使解集為R,只需2a>1,
∴a>,∴q真時(shí)a>;若p真且q假,則0<a≤;若p假q真,則a≥1.故a的取值范圍為0<a≤或a≥1.
題型四 分類討論思想
若命題“p∨q”“p∧q”中含有參數(shù),在求解時(shí),可以先等價(jià)轉(zhuǎn)化命題p,q,直至求出這兩個(gè)命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍,再依據(jù)“p∨q”“p∧q”的真假情況分類討論參數(shù)的取值范圍.
例4 已知p:x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根,q:4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根,若p、q一真一假,求m的取值范圍.
解 若p真,則Δ1=m2-4>0且m>0,即m>2;若q真,則Δ2=16(m-2)2-16<0,即1<m<3;若p真q假,則即m≥3;若p假q真,則即1<m≤2.綜上,m的取值范圍是{m|1<m≤2或m≥3}.
跟蹤演練4 已知命題p:關(guān)于x的方程x2-ax+4=0有實(shí)根;命題q:關(guān)于x的函數(shù)y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函數(shù).若“p∨q”是真命題,“p∧q”是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 p真:Δ=(-a)2-44≥0,∴a≤-4或a≥4.
q真:-≤3,∴a≥-12.
由“p∨q”是真命題,“p∧q”是假命題得:p、q兩命題一真一假.
當(dāng)p真q假時(shí),a<-12;當(dāng)p假q真時(shí),-4
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