2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩角和與差的正弦教案 理.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩角和與差的正弦教案 理 教材分析 在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過(guò)程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時(shí)，通過(guò)練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過(guò)誘導(dǎo)公式sin（－α） ＝sinα，sinπ（－α ）＝cosα（α為任意角），可以實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個(gè)公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點(diǎn)為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運(yùn)算符號(hào)相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運(yùn)算符號(hào)相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積． 任務(wù)分析 這節(jié)課計(jì)劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對(duì)三角函數(shù)中的每一個(gè)公式要求學(xué)生會(huì)推導(dǎo)，會(huì)使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會(huì)把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀察、類比的方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時(shí)提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點(diǎn)是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明，難點(diǎn)是公式的變形使用和逆向使用． 教學(xué)目標(biāo) 1. 能用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個(gè)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系． 2. 能運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明． 3. 通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法． 教學(xué)過(guò)程 一、問(wèn)題情景 如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75角．已知電線桿的高度為5m，問(wèn)：至少要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的鋼絲繩？ 設(shè)電線桿與地面接觸點(diǎn)為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點(diǎn)為A． 在Rt△AOB中， 如果能求出sin75的值，那么即可求出鋼絲繩的長(zhǎng)度．75角可表示成兩個(gè)特殊角45與30的和，那么sin75的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來(lái)表示呢？ 二、建立模型 1. 探　究 已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過(guò)誘導(dǎo)公式可實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝ 推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． 3. 分析公式的結(jié)構(gòu)特征 Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運(yùn)算符號(hào)相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號(hào)的差異． 三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例題一］ 已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值． 分析：本題主要訓(xùn)練公式Sα-β與Sα+β的使用． 由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值． ［練習(xí)一］ 分析：1. （1）強(qiáng)調(diào)公式的直接運(yùn)用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30＋α）－30，再利用已知條件求出cos（30＋α）． 2. 應(yīng)注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）． 3. 應(yīng)注意分析角之間的關(guān)系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時(shí)，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個(gè)單角來(lái)表示． 4. 該題是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個(gè)三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）． 已知向量＝（3，4），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45到′→的位置，求點(diǎn)P′（x′，y′）的坐標(biāo)． 解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5， ∴cosα＝，sinα＝． ∵x′＝5cos（α＋45）＝5（cosαcos45－sinαsin45）＝－， y′＝5sin（α＋45）＝5（sinαcos45＋cosαsin45）＝， ∴P′ －，． 已知向量＝（4，3），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60，－135到1，2的位置，求點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)． ［例題三］ 求下列函數(shù)的最大值和最小值． （1）y＝cosｘ－sinx． （2）y＝3sinx＋4cosx． （3）y＝asinx＋bcosx，?。ǎ幔狻伲埃? 注：（1），（2）為一般性問(wèn)題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時(shí)，要關(guān)注解題過(guò)程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角φ滿足的條件． （3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標(biāo)的點(diǎn)P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個(gè)角為φ，則 ［練習(xí)三］ 求下列函數(shù)的最大值和最小值． （1）y＝cosx－sinx． （2）y＝sinx－sin（x＋） （3）已知兩個(gè)電流瞬時(shí)值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45），I2＝10sin（ωt＋30），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式． 四、拓展延伸 出示兩道延伸性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同解決． 1. 已知三個(gè)電流瞬時(shí)值的函數(shù)式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60），I3＝10sin（ωt＋60），求它們合成后的電流瞬時(shí)值的函數(shù)式I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3，并指出這個(gè)函數(shù)的振幅、初相和周期． 2. 已知點(diǎn)P（x，y），與原點(diǎn)的距離保持不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角到點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖42-2），求證： 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路清晰．案例首先通過(guò)問(wèn)題情景闡述了兩角和、差正弦公式產(chǎn)生的背景，然后引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)公式的形成過(guò)程，進(jìn)一步理解和分析化歸、換元、類比等數(shù)學(xué)常用思想方法在三角變換中的作用．例題的設(shè)計(jì)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設(shè)計(jì)有新意，有一定深度，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)． 整篇案例緊緊圍繞Sα+β的推導(dǎo)和應(yīng)用，內(nèi)容充實(shí)，環(huán)節(jié)緊湊，關(guān)注及時(shí)的鞏固和深化，同時(shí)，注意拓展延伸的難度和思維深度．應(yīng)該說(shuō)，這是一篇比較成功的教學(xué)設(shè)計(jì)案例．值得推敲的是，“問(wèn)題情景”似乎有些牽強(qiáng)．