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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 3.2導數(shù)的應用（一）教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.利用導數(shù)的有關知識，研究函數(shù)的單調性、極值、最值；2.討論含參數(shù)的函數(shù)的單調性、極值問題．
復習備考要這樣做 1.從導數(shù)的定義和“以直代曲”的思想理解導數(shù)的意義，體會導數(shù)的工具作用；2.理解導數(shù)和單調性的關系，掌握利用導數(shù)求單調性、極值、最值的方法步驟．
1． 函數(shù)的單調性
在某個區(qū)間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞減．
2． 函數(shù)的極值
(1)判斷f(x0)是極值的方法
一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，
①如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；
②如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．
(2)求可導函數(shù)極值的步驟
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側導數(shù)值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．
3． 函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
(3)設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
①求f(x)在(a，b)內的極值；
②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
[難點正本 疑點清源]
1． 可導函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較．
2． f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調遞增的充分條件．
3． 對于可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．
1． 若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝________.
答案 3
解析 f′(x)＝＝.因為f(x)在x＝1處取極值，所以1是f′(x)＝0的根，將x＝1代入得a＝3.
2． 函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 [－3，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，
則f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.
3. 如圖是y＝f(x)導數(shù)的圖象，對于下列四個判斷：
①f(x)在[－2，－1]上是增函數(shù)；
②x＝－1是f(x)的極小值點；
③f(x)在[－1,2]上是增函數(shù)，在[2,4]上是減函數(shù)；
④x＝3是f(x)的極小值點．
其中正確的判斷是________．(填序號)
答案 ②③
解析?、佟遞′(x)在[－2，－1]上是小于等于0的，
∴f(x)在[－2，－1]上是減函數(shù)；
②∵f′(－1)＝0且在x＝0兩側的導數(shù)值為左負右正，
∴x＝－1是f(x)的極小值點；
③對， ④不對，由于f′(3)≠0.
4． 設函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為 ( )
A．－1 B．0 C．－ D.
答案 C
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
當x變化時，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
極小值
0
所以當x＝時，g(x)有最小值g＝－.
5． (xx遼寧)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為 ( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 設m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函數(shù)．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集為{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞).
題型一 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
例1 已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的單調增區(qū)間；
(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．
思維啟迪：函數(shù)的單調性和函數(shù)中的參數(shù)有關，要注意對參數(shù)的討論．
解 f′(x)＝ex－a，
(1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0，
即f(x)在R上遞增，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
因此當a≤0時，f(x)的單調增區(qū)間為R，當a>0時，f(x)的單調增區(qū)間是[ln a，＋∞)．
(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．
∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．
又∵－2
0和f′(x)<0；
④根據(jù)③的結果確定函數(shù)f(x)的單調區(qū)間．
(2)要注意對含參數(shù)的函數(shù)的單調性進行討論；
(3)對已知函數(shù)的單調性的問題一定要掌握導數(shù)的條件．
已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調區(qū)間．
解 (1)對f(x)求導，得f′(x)＝3x2－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤.
記t(x)＝，當x≥1時，t(x)是增函數(shù)，
∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0.
(2)由題意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，
∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
極大值
極小值
∴f(x)的單調遞增區(qū)間為，[3，＋∞)，f(x)的單調遞減區(qū)間為.
題型二 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
例2 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)設a＝2，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)設f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍．
思維啟迪：(1)單調區(qū)間即為f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間．
(2)f′(x)的零點在(2,3)內至少有一個．
解 (1)當a＝2時，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋)(x－2－)．
當x∈(－∞，2－)時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－)上單調遞增；
當x∈(2－，2＋)時，f′(x)<0，f(x)在(2－，2＋)上單調遞減；
當x∈(2＋，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(2＋，＋∞)上單調遞增．
綜上，f(x)的單調增區(qū)間是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，
f(x)的單調減區(qū)間是(2－，2＋)．
(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．
當1－a2≥0時，f′(x)≥0，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點；
當1－a2<0時，f′(x)＝0有兩個根x1＝a－，
x2＝a＋.
由題意，知20，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結合a>0，知00，
故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)；
當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，
故f(x)在(－2,2)上為減函數(shù)；
當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，
故f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．
由此可知f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，
f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝c－16.
由題設條件知16＋c＝28，解得c＝12.
此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.
利用導數(shù)求函數(shù)最值問題
典例：(14分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax (a∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
(2)當a>0時，求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值．
審題視角 (1)已知函數(shù)解析式求單調區(qū)間，實質上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域．(2)先研究f(x)在[1,2]上的單調性，再確定最值是端點值還是極值．(3)由于解析式中含有參數(shù)a，要對參數(shù)a進行分類討論．
規(guī)范解答
解 (1)f′(x)＝－a (x>0)，[1分]
①當a≤0時，f′(x)＝－a>0，即函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(0，＋∞)．[3分]
②當a>0時，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
當00；
當x>時，f′(x)＝<0，
故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為，
單調遞減區(qū)間為. [5分]
(2)①當≤1，即a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a. [9分]
②當≥2，即0－1
C．a>－ D．a<－
答案 A
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點，
則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0時，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
3． 函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是 ( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案 C
解析 ∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
∴f(x)在[－1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1]上是減函數(shù)．
∴f(x)max＝f(x)極大值＝f(0)＝2.
4． 若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)內為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)內為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A．a≤2 B．5≤a≤7
C．4≤a≤6 D．a≤5或a≥7
答案 B
解析 因為f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1，
所以f′(x)＝x2－ax＋a－1，
由題意知當12或a<－1
解析 ∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]，
∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．
令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
∵函數(shù)f(x)有極大值和極小值，
∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個不相等的實根．
即Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2或a<－1.
三、解答題(共22分)
8． (10分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值.
(1)求a，b的值；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調區(qū)間．
解 (1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1處有極值.
得 即解之得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定義域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)<0，得00，得x>1.
所以函數(shù)y＝f(x)的單調減區(qū)間是(0,1)，
單調增區(qū)間是(1，＋∞)．
9． (12分)已知函數(shù)f(x)＝ln|x| (x≠0)，函數(shù)g(x)＝＋af′(x) (x≠0)．
(1)求函數(shù)y＝g(x)的表達式；
(2)若a>0，函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值．
解 (1)因為f(x)＝ln|x|，
所以當x>0時，f(x)＝ln x，當x<0時，f(x)＝ln(－x)．
所以當x>0時，f′(x)＝，
當x<0時，f′(x)＝(－1)＝.
所以當x≠0時，函數(shù)y＝g(x)＝x＋.
(2)由(1)，知當x>0時，g(x)＝x＋.
所以當a>0，x>0時，g(x)≥2，當且僅當x＝時取等號．
所以函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2.
所以2＝2.解得a＝1.
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx重慶)設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是 ( )
答案 C
解析 ∵f(x)在x＝－2處取得極小值，
∴當x<－2時，f(x)單調遞減，即f′(x)<0；
當x>－2時，f(x)單調遞增，即f′(x)>0.
∴當x<－2時，y＝xf′(x)>0；
當x＝－2時，y＝xf′(x)＝0；
當－20時，y＝xf′(x)>0.
結合選項中圖象知選C.
2． 函數(shù)y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為 ( )
A．0 B. C. D.
答案 A
解析 y′＝－e－x(x－1)，
y′與y隨x變化情況如下表：
x
0
(0,1)
1
(1,4)
4
y′
＋
0
－
y
0
取極大值
當x＝0時，函數(shù)y＝xe－x取到最小值0.
3． f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x<0時，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，則不等式xf(x)>0的解集為 ( )
A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－4,0)∪(0,4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0,4)
答案 D
解析 令g(x)＝xf(x)，則g(x)為奇函數(shù)且當x<0時，g′(x)＝f(x)＋
xf′(x)<0，
∴g(x)的圖象的變化趨勢如圖所示：
所以xf(x)>0的解集為(－∞，－4)∪(0,4)．
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])對應的曲線C過坐標原點，且在x＝1處切線的斜率均為－1，則f(x)的最大值和最小值之和等于________．
答案 0
解析 由曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])過坐標原點可知c＝0.
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知得
解得a＝0，b＝－4，
∴f(x)＝x3－4x，f(x)在x∈[－2,2]上有最大值，最小值，且函數(shù)f(x)＝x3－4x為奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝x3－4x的最大值和最小值之和為0.
5． 設函數(shù)f(x)＝p－2ln x(p是實數(shù))，若函數(shù)f(x)在其定義域內單調遞增，則實數(shù)p的取值范圍為______．
答案 [1，＋∞)
解析 易知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，因為f′(x)＝，要使f(x)為單調增函數(shù)，須f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥＝在(0，＋∞)上恒成立，又≤1，
所以當p≥1時，f(x)在(0，＋∞)上為單調增函數(shù)．
6． 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內有最小值，則a的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
顯然a>0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，
由已知條件0<<1，解得00時，因為二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a<0，
所以需f′(1)＝(a－1)e<0，即00，f(x)不符合條件．
故a的取值范圍為0≤a≤1.
(2)因為g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，
所以g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.
(i)當a＝0時，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.
(ii)當a＝1時，對于任意x∈(0,1)有g′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝2，在x＝1處取得最小值g(1)＝0.
(iii)當00.
①若≥1，即0
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3.2導數(shù)的應用一教案
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