2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征課堂探究 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征課堂探究 新人教B版必修2 探究一 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 判斷一個(gè)幾何體是棱柱的依據(jù)及關(guān)鍵點(diǎn) (1)依據(jù)：判斷是否是棱柱要緊扣棱柱的定義． (2)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)． ①底面：兩個(gè)多邊形全等且所在平面互相平行． ②側(cè)面：都是平行四邊形． ③側(cè)棱：互相平行且相等． 以上三點(diǎn)缺一不可． 【典型例題1】 (1)下列幾何體是棱柱的有(　　) A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 解析：棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行，當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的特征時(shí)，這個(gè)幾何體才是棱柱． ①上述三方面的特征都符合，是棱柱；②沒有兩個(gè)平行平面，所以不是；③符合條件，是棱柱；④雖然有兩個(gè)平面平行，但其余各面不是平行四邊形，因此不是；⑤只有三角形的面，沒有符合的一個(gè)條件，所以不是；⑥有兩個(gè)平行平面，但其余各面中有的不是平行四邊形，所以⑥不是．因此符合條件的只有①③． 答案：D (2)給出下列幾個(gè)結(jié)論： ①長(zhǎng)方體一定是正四棱柱． ②正方體一定是正四棱柱． ③長(zhǎng)方體一定是直棱柱． ④有一條側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱． ⑤有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱． 其中錯(cuò)誤的是__________．(填序號(hào)) 解析：側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱，而底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱．對(duì)照各結(jié)論知①④⑤錯(cuò)誤． 答案：①④⑤ 探究二 棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 判斷棱錐、棱臺(tái)的常用方法有： (1)舉反例法： 結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確． (2)直接法： 棱錐 棱臺(tái) 定底面 只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面 兩個(gè)互相平行的面，即為底面 看側(cè)棱 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn) 【典型例題2】 判斷以下說法，正確的是(　　) A．所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐 B．三棱錐的每一個(gè)面都可作為底面 C．底面是正多邊形，各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐 D．正棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等 解析：如圖(1)的幾何體所有的面為三角形，但不是三棱錐，故A錯(cuò)．如圖(2)中，棱AD＝1，其余棱長(zhǎng)為2， 滿足題意，但不是正三棱錐，故C錯(cuò)．正棱錐中，所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，故D錯(cuò)．而三棱錐又稱四面體，每個(gè)面都是三角形，故每個(gè)面都可作為底面，故B正確． 答案：B 【典型例題3】 下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法： (1)用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)． (2)棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形． (3)棱錐的側(cè)面只能是三角形． (4)由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐． (5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐． 其中正確說法的序號(hào)是__________． 解析：(1)錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)； (2)正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形； (3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形； (4)正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； (5)錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐． 答案：(2)(3)(4) 探究三 有關(guān)正棱錐、正棱臺(tái)中的計(jì)算問題 1．正棱錐、正棱臺(tái)中的直角三角形，正棱錐中的幾個(gè)重要的直角三角形．如圖所示，正棱錐中，點(diǎn)O為底面中心，M是CD的中點(diǎn)，則△SOM，△SOC均是直角三角形，很明顯，△SMC，△OMC也是直角三角形． 2．正棱臺(tái)中的幾個(gè)重要的直角梯形：如圖所示，由斜高、側(cè)棱構(gòu)成的直角梯形E1ECC1，由斜高、高構(gòu)成的直角梯形O1E1EO，由高、側(cè)棱構(gòu)成的直角梯形O1OCC1． 【典型例題4】 (1)若正四棱錐的底面積為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其斜高為__________． 解析：正四棱錐的側(cè)面為等腰三角形，如圖，作PE⊥CD于點(diǎn)E，則PE為斜高，E為CD的中點(diǎn)．由底面積為4，知底面邊長(zhǎng)為2，在Rt△PCE中，PC＝2，CE＝1，所以PE＝＝． 答案： (2)一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16，一側(cè)面面積為12，求該棱臺(tái)的斜高、高、側(cè)棱長(zhǎng)． 解：如圖，設(shè)O′，O分別為上、下底面的中心，即OO′為正四棱臺(tái)的高，E，F(xiàn)分別為B′C′，BC的中點(diǎn)， 則EF⊥BC，EF為斜高． 由上底面面積為4，上底面為正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4． 因?yàn)樗倪呅蜝CC′B′的面積為12， 所以(2＋4)EF＝12， 所以EF＝4． 過B′作B′H⊥BC交BC于點(diǎn)H， 則BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4． 在Rt△B′BH中， BB′＝＝＝． 同理，在直角梯形O′OFE中，計(jì)算出O′O＝．綜上，該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為4，高為． 探究四 立體圖形的展開問題 解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短線路問題，一般都是將空間幾何體表面按某一種方式展開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想． 【典型例題5】 如圖所示，在四面體PABC中，PA＝PB＝PC＝2．∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30，一只蜜蜂從A點(diǎn)出發(fā)沿四面體的表面繞行一周，再回到A點(diǎn)，求蜜蜂經(jīng)過的最短路程． 解：將四面體沿PA剪開，并展成如圖所示的平面圖形，則AA′就是所求的最短路程． 因?yàn)椤螦PA′＝90，PA＝PA′＝2，所以最短路程AA′為． 探究五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)把握不清而致誤 【典型例題6】 如圖所示，關(guān)于幾何體的說法正確的序號(hào)有______． (1)這是一個(gè)六面體； (2)這是一個(gè)四棱臺(tái)； (3)這是一個(gè)四棱柱； (4)此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到； (5)此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到． 錯(cuò)解：答案中含有(2)． 錯(cuò)因分析：未對(duì)幾何體側(cè)棱延長(zhǎng)后是否交于一點(diǎn)驗(yàn)證，而直接由側(cè)面是否為梯形做出誤判． 正解：(1)正確，因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍； (2)錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確； (3)正確，如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱； (4)(5)都正確，如圖所示． 　　　 答案：(1)(3)(4)(5)