2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽教案講義（13）排列組合與概率.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽教案講義（13）排列組合與概率 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1．加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法 2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n個(gè)步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法。 3．排列與排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)(m≤n)元素的所有排列個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n, 注：一般地=1，0！=1，=n!。 4．N個(gè)不同元素的圓周排列數(shù)為=(n-1)!。 5．組合與組合數(shù)：一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，即從n個(gè)不同元素中不計(jì)順序地取出m個(gè)構(gòu)成原集合的一個(gè)子集。從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用表示： 6．組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。 7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為。 [證明]將r個(gè)相同的小球裝入n個(gè)不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B，A的每個(gè)裝法對(duì)應(yīng)B的唯一一個(gè)解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對(duì)應(yīng)的解也不同，因此為單射。反之B中每一個(gè)解(x1,x2,…,xn),將xi作為第i個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)，i=1,2,…,n，便得到A的一個(gè)裝法，因此為滿射，所以是一一映射，將r個(gè)小球從左到右排成一列，每種裝法相當(dāng)于從r-1個(gè)空格中選n-1個(gè)，將球分n份，共有種。故定理得證。 推論1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 推論2 從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)允許元素重復(fù)出現(xiàn)的組合叫做n個(gè)不同元素的m可重組合，其組合數(shù)為 8．二項(xiàng)式定理：若n∈N+,則(a+b)n=.其中第r+1項(xiàng)Tr+1=叫二項(xiàng)式系數(shù)。 9．隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記作p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率，如果一次試驗(yàn)中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率為p(A)= 11.互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為 p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An). 12．對(duì)立事件：事件A，B為互斥事件，且必有一個(gè)發(fā)生，則A，B叫對(duì)立事件，記A的對(duì)立事件為。由定義知p(A)+p()=1. 13．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。 14．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為p(A1?A2? … ?An)=p(A1)?p(A2)? … ?p(An). 15.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):若n次重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的. 16.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率:如果在一次試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=?pk(1-p)n-k. 17．離散型隨機(jī)為量的分布列：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫隨機(jī)變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)ξ就是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果隨機(jī)變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫離散型隨機(jī)變量。 一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,ξ取每一個(gè)值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，則稱表 ξ x1 x2 x3 … xi … p p1 p2 p3 … pi … 為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列，稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均值、均值、簡稱期望，稱Dξ=(x1-Eξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+…+(xn-Eξ)2pn+…為ξ的均方差，簡稱方差。叫隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差。 18．二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為p(ξ=k)=, ξ的分布列為 ξ 0 1 … xi … N p … … 此時(shí)稱ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，則Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p. 19.幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所做試驗(yàn)的次數(shù)ξ也是一個(gè)隨機(jī)變量，若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率為p，則p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服從幾何分布，Eξ=，Dξ=(q=1-p). 二、方法與例題 1．乘法原理。 例1 有2n個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每兩個(gè)人結(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？ 2．加法原理。 例2 沒有電流通過電流表，其原因僅因?yàn)殡娮钄嗦返目赡苄怨灿袔追N？ 3．插空法。 例3 10個(gè)節(jié)目中有6個(gè)演唱4個(gè)舞蹈，要求每兩個(gè)舞蹈之間至少安排一個(gè)演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？ 4．映射法。 例4 如果從1，2，…，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時(shí)滿足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？ 5．貢獻(xiàn)法。 例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素個(gè)數(shù)之和。 6．容斥原理。 例6 由數(shù)字1，2，3組成n位數(shù)(n≥3)，且在n位數(shù)中，1，2，3每一個(gè)至少出現(xiàn)1次，問：這樣的n位數(shù)有多少個(gè)？ 7．遞推方法。 例7 用1，2，3三個(gè)數(shù)字來構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個(gè)緊挨著的1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問：能構(gòu)造出多少個(gè)這樣的n位數(shù)？ 8．算兩次。 例8 m,n,r∈N+，證明： ① 9．母函數(shù)。 例9 一副三色牌共有32張，紅、黃、藍(lán)各10張，編號(hào)為1，2，…，10，另有大、小王各一張，編號(hào)均為0。從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計(jì)算分值：每張編號(hào)為k的牌計(jì)為2k分，若它們的分值之和為xx，則稱這些牌為一個(gè)“好牌”組，求好牌組的個(gè)數(shù)。 10．組合數(shù)的性質(zhì)。 例10 證明：是奇數(shù)(k≥1). 例11 對(duì)n≥2,證明： 11．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。 例12 若n∈N, n≥2，求證： 例13 證明： 12．概率問題的解法。 例14 如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品，問：恰好有k件是次品的概率是多少？ 例15 將一枚硬幣擲5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 例16 甲、乙兩個(gè)乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時(shí)可以用三局二勝或五局三勝制，問：在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？ 例17 有A，B兩個(gè)口袋，A袋中有6張卡片，其中1張寫有0，2張寫有1，3張寫有2；B袋中有7張卡片，其中4張寫有0，1張寫有1，2張寫有2。從A袋中取出1張卡片，B袋中取2張卡片，共3張卡片。求：（1）取出3張卡片都寫0的概率；（2）取出的3張卡片數(shù)字之積是4的概率；（3）取出的3張卡片數(shù)字之積的數(shù)學(xué)期望。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．三邊長均為整數(shù)且最大邊長為11的三角形有_________個(gè)。 2．在正xx邊形中，當(dāng)所有邊均不平行的對(duì)角線的條數(shù)為_________。 3．用1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字可組成_________個(gè)數(shù)字不重復(fù)且8和9不相鄰的七位數(shù)。 4．10個(gè)人參加乒乓球賽，分五組，每組兩個(gè)人有_________種分組方法。 5．以長方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是_________。 6．今天是星期二，再過101000天是星期_________。 7．由展開式所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有_________項(xiàng)。 8．如果凸n邊形(n≥4)的任意三條對(duì)角線不共點(diǎn)，那么這些對(duì)角線在凸n邊形內(nèi)共有_________個(gè)交點(diǎn)。 9．袋中有a個(gè)黑球與b個(gè)白球，隨機(jī)地每次從中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率為_________。 10．一個(gè)箱子里有9張卡片，分別標(biāo)號(hào)為1，2，…，9，從中任取2張，其中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率是_________。 11．某人拿著5把鑰匙去開門，有2把能打開。他逐個(gè)試，試三次之內(nèi)打開房門的概率是_________。 12．馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的十盞路燈，要將其中三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)是_________。 13．a(chǎn),b,c,d,e五個(gè)人安排在一個(gè)圓桌周圍就坐，若a,b不相鄰有_________種安排方式。 14．已知i,m,n是正整數(shù)，且1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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