2019-2020年高中數(shù)學競賽教材講義 第十五章 復數(shù).doc

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2019-2020年高中數(shù)學競賽教材講義 第十五章 復數(shù) 一、基礎(chǔ)知識 1．復數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構(gòu)成的集合稱復數(shù)集。通常用C來表示。 2．復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應(yīng)，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可以用點來表示，表示復數(shù)的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應(yīng)復平面內(nèi)的點Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z). r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復數(shù)的指數(shù)形式。 3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。 4．復數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過乘以共軛復數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ). 6.開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。 7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對任意整數(shù)m，當n≥2時，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 8.復數(shù)相等的充要條件：（1）兩個復數(shù)實部和虛部分別對應(yīng)相等；（2）兩個復數(shù)的模和輻角主值分別相等。 9．復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）. 10.代數(shù)基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。 11．實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個根，則=a-bi也是一個根。 12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當Δ=b2-4ac<0時方程的根為 二、方法與例題 1．模的應(yīng)用。 例1 求證：當n∈N+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。 [證明] 若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。 例2 設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。 [解] 因為4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| ≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。 所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。 所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0. 2.復數(shù)相等。 例3 設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個虛根，求λ滿足的充要條件。 [解] 若方程有實根，則方程組有實根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ<0無實根，所以λ≠-1。所以x=-1, λ=2.所以當λ≠2時，方程無實根。所以方程有兩個虛根的充要條件為λ≠2。 3．三角形式的應(yīng)用。 例4 設(shè)n≤xx,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個？ [解] 由題設(shè)得 ，所以n=4k+1.又因為0≤n≤xx，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個。 4．二項式定理的應(yīng)用。 例5 計算：（1）；（2） [解] (1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項式定理(1+i)100= =)+()i，比較實部和虛部，得=-250，=0。 5．復數(shù)乘法的幾何意義。 例6 以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點為定點。 [證明] 設(shè)|BC|=2a，以BC中點O為原點，BC為x軸，建立直角坐標系，確定復平面，則B，C對應(yīng)的復數(shù)為-a,a,點A，M，N對應(yīng)的復數(shù)為z1,z2,z3,，由復數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點為P，對應(yīng)的復數(shù)z=,為定值，所以MN的中點P為定點。 例7 設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。 [證明] 用A，B，C，D表示它們對應(yīng)的復數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因為|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立當且僅當，即=π，即A，B，C，D共圓時成立。不等式得證。 6．復數(shù)與軌跡。 例8 ΔABC的頂點A表示的復數(shù)為3i，底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。 [解]設(shè)外心M對應(yīng)的復數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點對應(yīng)的復數(shù)分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點M對應(yīng)的復數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得 所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。 7．復數(shù)與三角。 例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。 [證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則 z1+z2+z3=0。所以又因為|zi|=1,i=1,2,3. 所以zi?=1，即 由z1+z2+z3=0得 ① 又 所以 所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0. 所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。 例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18200. [解] 令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18200,則S+iP=w+2w2+…+18w18. ①由①w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以 8．復數(shù)與多項式。 例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復系數(shù)多項式(c0≠0). 求證：一定存在一個復數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|. [證明] 記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)?…?(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|. 9.單位根的應(yīng)用。 例12 證明：自⊙O上任意一點p到正多邊形A1A2…An各個頂點的距離的平方和為定值。 [證明] 取此圓為單位圓，O為原點，射線OAn為實軸正半軸，建立復平面，頂點A1對應(yīng)復數(shù)設(shè)為，則頂點A2A3…An對應(yīng)復數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點p對應(yīng)復數(shù)z,則|z|=1,且=2n- =2n-命題得證。 10．復數(shù)與幾何。 例13 如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點的等腰直角三角形。求證：必存在另一點Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點的等腰直角三角形。 [證明] 以P為原點建立復平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應(yīng)的復數(shù)，由題設(shè)及復數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點。綜上命題得證。 例14 平面上給定ΔA1A2A3及點p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時針旋轉(zhuǎn)1200時pk所到達的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。 [證明] 令u=，由題設(shè)，約定用點同時表示它們對應(yīng)的復數(shù)，取給定平面為復平面，則p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, ①u2+②(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。 三、基礎(chǔ)訓練題 1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(x,y)有__________組。 2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。 3.復數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)?z是純虛數(shù)，則__________。 4．已知，則1+z+z2+…+z1992=__________。 5.設(shè)復數(shù)z使得的一個輻角的絕對值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。 6．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程-Λz=w的解為z=__________。 7.設(shè)0c2是a2+b2-c2>0成立的__________條件。 10．已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個不同的根在復平面上對應(yīng)的點共圓，則m取值的集合是__________。 11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實數(shù)a的取值范圍。 12．復平面上定點Z0，動點Z1對應(yīng)的復數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個動點Z對應(yīng)的復數(shù)z滿足z1?z=-1，②求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀和位置。 13．N個復數(shù)z1,z2,…,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠1,復數(shù)w1,w2,…,wn滿足條件：wk=zk++h，其中k=1,2,…,n,h為已知實數(shù)，求證：復平面內(nèi)表示w1,w2,…,wn的點p1,p2,…,pn都在一個焦距為4的橢圓上。 四、高考水平訓練題 1．復數(shù)z和cosθ+isinθ對應(yīng)的點關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對稱，則z=__________。 2.設(shè)復數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=__________。 3．有一個人在草原上漫步，開始時從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點，則n=__________。 4.若，則|z|=__________。 5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式恒成立的實數(shù)λ的最大值為__________。 6．已知點P為橢圓上任意一點，以O(shè)P為邊逆時針作正方形OPQR，則動點R的軌跡方程為__________。 7．已知P為直線x-y+1=0上的動點，以O(shè)P為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時針方向排列)。則點Q的軌跡方程為__________。 8．已知z∈C,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的__________條件。 9．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個數(shù)為__________。 10．設(shè)(xxx+xxx+3)xx=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則+…+a3k-__________。 11.設(shè)復數(shù)z1,z2滿足z1?,其中A≠0，A∈C。證明： （1）|z1+A|?|z2+A|=|A|2； （2） 12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時的復數(shù)z. 13.給定實數(shù)a,b,c,已知復數(shù)z1,z2,z3滿足求 |az1+bz2+cz3|的值。 三、聯(lián)賽一試水平訓練題 1．已知復數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是__________。 2．設(shè)復數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復數(shù)z,(1+i)z，2在復平面上對應(yīng)的三個點分別是P，Q，R，當P，Q，R不共線時，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S，則S到原點距離的最大值為__________。 3．設(shè)復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應(yīng)的復數(shù)依次為z1,z2,…,z20,則復數(shù)所對應(yīng)的不同點的個數(shù)是__________。 4．已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為__________。 5．設(shè)，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應(yīng)復平面上的點A，B，點O為原點，∠AOB=900，|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。 6．設(shè)，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為__________。 7．已知()m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。 8．復平面上，非零復數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，?z2的實部為零，z1的輻角主值為，則z2=__________。 9.當n∈N,且1≤n≤100時，的值中有實數(shù)__________個。 10．已知復數(shù)z1,z2滿足，且，，，則的值是__________。 11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問：集合C中有多少個不同的元素？ 12．證明：如果復數(shù)A的模為1，那么方程的所有根都是不相等的實根（n∈N+）. 13.對于適合|z|≤1的每一個復數(shù)z，要使0<|αz+β|<2總能成立，試問：復數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條件？ 六、聯(lián)賽二試水平訓練題 1．設(shè)非零復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足 其中S為實數(shù)且|S|≤2，求證：復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上。 2．求證：。 3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是復變量z的實系數(shù)多項式，且|p(i)|<1，求證：存在實數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2<4b2+1. 4．運用復數(shù)證明：任給8個非零實數(shù)a1,a2,…,a8，證明六個數(shù)a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個是非負數(shù)。 5．已知復數(shù)z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：|z|=1. 6.設(shè)z1,z2,z3為復數(shù)，求證： |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。