2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查垂直關系的命題的判定；2.考查線線、線面、面面垂直關系的判定和性質(zhì)；3.考查平行和垂直的綜合問題；4.考查空間想象能力，邏輯思維能力和轉化思想． 復習備考要這樣做　1.熟記、理解線面垂直關系的判定與性質(zhì)定理；2.解題中規(guī)范使用數(shù)學語言，嚴格證題過程；3.重視轉化思想的應用，解題中要以尋找線線垂直作為突破． 1． 直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法． ②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直． ③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面． (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線． ②垂直于同一個平面的兩條直線平行． ③垂直于同一條直線的兩平面平行． 2． 斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角． 3． 平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法． ②利用判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直． (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面． 4． 二面角的有關概念 (1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角． [難點正本　疑點清源] 1． 兩個平面垂直的性質(zhì)定理 兩個平面垂直的性質(zhì)定理，即如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面是作點到平面距離的依據(jù)，要過平面外一點P作平面的垂線，通常是先作(找)一個過點P并且和α垂直的平面β，設β∩α＝l，在β內(nèi)作直線a⊥l，則a⊥α. 2． 兩平面垂直的判定 (1)兩個平面所成的二面角是直角；(2)一個平面經(jīng)過另一平面的垂線． 1． 一平面垂直于另一平面的一條平行線，則這兩個平面的位置關系是__________． 答案　垂直 解析　由線面平行的性質(zhì)定理知，該面必有一直線與已知直線平行，再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面，另一條也垂直于該平面”得出結論． 2. △ABC中，∠ABC＝90，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)是 ________． 答案　4 3． α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個論斷作為條件，剩余的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題____________________________． 答案　可填①③④?②與②③④?①中的一個 4． 設a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則a⊥b的一個充分條件是(　　) A．a(chǎn)⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?β C．a(chǎn)⊥α，b∥α D．a(chǎn)⊥α，b⊥α 答案　C 解析　對于選項C，在平面α內(nèi)作c∥b，因為a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B選項中，直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；D選項中一定有a∥b. 5． (xx遼寧)如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD， 則下列結論中不正確的是 (　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 答案　D 解析　易證AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正確；AB∥DC，DC?平面SCD，故AB∥平面SCD，B 正確；由于SA，SC與平面SBD的相對位置一樣，因而所成的角相同. 題型一　直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例1　如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． 證明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 思維啟迪：第(1)問通過DC⊥平面PAC證明；也可通過AE⊥平面PCD 得到結論；第(2)問利用線面垂直的判定定理證明直線PD與平面ABE內(nèi)的兩條相交直線 垂直． 證明　(1)在四棱錐P—ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE. 探究提高　破解此類問題的關鍵在于熟練把握空間垂直關系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關系的靈活利用，這是證明空間垂直關系的基礎．由于“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”之間可以相互轉化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開，這是化解空間垂直關系難點的技巧所在．  (xx陜西)(1)如圖所示，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真； (2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)． (1)證明　方法一　如圖，過直線b上任一點作平面π的垂線n，設直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面． 根據(jù)平面向量基本定理，存在實數(shù)λ，μ使得c＝λb＋μn， 則ac＝a(λb＋μn)＝λ(ab)＋μ(an)． 因為a⊥b，所以ab＝0. 又因為a?π，n⊥π，所以an＝0. 故ac＝0，從而a⊥c. 方法二　如圖，記c∩b＝A，P為直線b上異于點A的任意一點，過P作PO⊥π，垂足為O，則O∈c. 因為PO⊥π，a?π， 所以直線PO⊥a. 又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b＝P， 所以a⊥平面PAO. 又c?平面PAO，所以a⊥c. (2)解　逆命題為a是平面π內(nèi)的一條直線， b是π外的一條直線(b不垂直于π)， c是直線b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b. 逆命題為真命題． 題型二　平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例2　(xx江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D， E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為 B1C1的中點． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 思維啟迪：(1)證明兩個平面垂直，關鍵是在一個平面內(nèi)找到另一個平面的一條直線；(2)兩個平面垂直的性質(zhì)是證明的突破點． 證明　(1)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點， 所以A1F⊥B1C1. 因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 探究提高　面面垂直的關鍵是線面垂直，線面垂直的證明方法主要有判定定理法、平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面)、面面垂直性質(zhì)定理法，本題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法． (xx江蘇)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點． 求證：(1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 證明　(1)如圖，在△PAD中， 因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD. 又因為EF?平面PCD， PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60，所以△ABD為正三角形． 因為F是AD的中點，所以BF⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 題型三　線面、面面垂直的綜合應用 例3　如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4. (1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD； (2)求四棱錐P—ABCD的體積． 思維啟迪：(1)因為兩平面垂直與M點位置無關，所以在平面MBD內(nèi)一定有一條直線垂直于平面PAD，考慮證明BD⊥平面PAD. (2)四棱錐底面為一梯形，高為P到面ABCD的距離． (1)證明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， BD?面ABCD，∴BD⊥面PAD. 又BD?面BDM， ∴面MBD⊥面PAD. (2)解　過P作PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD， ∴PO⊥面ABCD， 即PO為四棱錐P—ABCD的高． 又△PAD是邊長為4的等邊三角形， ∴PO＝2. 在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC， ∴四邊形ABCD為梯形． 在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為＝， 此即為梯形的高． ∴S四邊形ABCD＝＝24. ∴VP—ABCD＝242＝16. 探究提高　當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉化為線面垂直，進而可以證明線線垂直．  如圖所示，已知長方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點， (1)求證：EF∥平面ABCD； (2)設M為線段C1C的中點，當?shù)谋戎禐槎嗌贂r，DF⊥平面D1MB？并說明理由． (1)證明　∵E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點，∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)解　當＝時，DF⊥平面D1MB. ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面ABC，∴D1D⊥AC. ∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF. ∵F，M分別是BD1，CC1的中點，∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D＝AD，∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1為正方形． ∵F為BD1的中點，∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB. 題型四　線面角、二面角的求法 例4　如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)證明AE⊥平面PCD； (3)求二面角A—PD—C的正弦值． 思維啟迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，線面角的定義要能靈活運用；(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角的定義作角． (1)解　在四棱錐P—ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 從而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA， 從而∠APB為PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45. (2)證明　在四棱錐P—ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 故CD⊥PA.由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE?平面PAC，∴AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD. (3)解　過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示． 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM， 則AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角． 由已知，可得∠CAD＝30. 設AC＝a，可得 PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a. 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AMPD＝PAAD， 則AM＝＝＝a. 在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝. 所以二面角A—PD—C的正弦值為. 探究提高　(1)求直線與平面所成的角的一般步驟： ①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成； ②計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解． (2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖，連接BD交AC于O，連接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即為所求．設正方體的棱長為1， 則DD1＝1，DO＝，D1O＝， ∴cos ∠DD1O＝＝＝. ∴BB1與平面ACD1所成角的余弦值為. 解答過程要規(guī)范 典例：(12分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的 棱AB，CD，C1D1的中點． 求證：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK. 審題視角　(1)要證線面平行，需證線線平行．(2)要證面面垂直， 需證線面垂直，要證線面垂直，需證線線垂直． 規(guī)范解答 證明　(1)如圖所示，連接NK. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中， ∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分] ∵N，K分別為CD，C1D1的中點， ∴DN∥D1K，DN＝D1K， ∴四邊形DD1KN為平行四邊形．[3分] ∴KN∥DD1，KN＝DD1， ∴AA1∥KN，AA1＝KN. ∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K.[4分] ∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK， ∴AN∥平面A1MK.[6分] (2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中， AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分別為AB，C1D1的中點，∴BM∥C1K，BM＝C1K. ∴四邊形BC1KM為平行四邊形．∴MK∥BC1.[8分] 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C， BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK. ∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.[10分] ∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK?平面A1MK， ∴平面A1MK⊥平面A1B1C.[12分] 溫馨提醒　(1)步驟規(guī)范是答題得滿分的最后保證，包括使用定理的嚴謹性，書寫過程的流暢性． (2)本題證明常犯錯誤： ①定理應用不嚴謹．如：要證AN∥平面A1MK，必須強調(diào)AN?平面A1MK. ②解題過程不完整，缺少關鍵步驟，如第(1)問中，應先證四邊形ANKA1為平行四邊形．第(2)問中，缺少必要的條件，使思維不嚴謹，過程不流暢． 方法與技巧 1． 證明線面垂直的方法 (1)線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α； (2)判定定理1：?l⊥α； (3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α； (4)面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β； (5)面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 2． 證明線線垂直的方法 (1)定義：兩條直線所成的角為90； (2)平面幾何中證明線線垂直的方法； (3)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b； (4)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b. 3． 證明面面垂直的方法 (1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 4． 轉化思想：垂直關系的轉化 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決． 失誤與防范 1．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化． 2．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可． A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是 (　　) A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 答案　B 解析　若l⊥m，m?α，則l與α可能平行、相交或l?α；若l⊥α，l∥m，則m⊥α；若l∥α，m?α，則l與m可能平行或異面；若l∥α，m∥α，則l與m可能平行、相交或異面，故只有B選項正確． 2． 已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則 (　　) A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直 B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直 D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 答案　C 解析　如圖，在平面β內(nèi)的直線若與α，β的交線a平行，則有m與 之垂直．但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線，只有當α⊥β時才 存在． 3． 已知m是平面α的一條斜線，點A?α，l為過點A的一條動直線，那么下列情形可能出現(xiàn)的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α 答案　C 解析　設m在平面α內(nèi)的射影為n，當l⊥n且與α無公共點時，l⊥m，l∥α. 4． 正方體ABCD—A′B′C′D′中，E為A′C′的中點，則直線CE垂直于(　　) A．A′C′ B．BD C．A′D′ D．AA′ 答案　B 解析　連接B′D′， ∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′， ∴B′D′⊥平面CC′E. 而CE?平面CC′E， ∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5. 如圖，∠BAC＝90，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在 的直線中：與PC垂直的直線有______________；與AP垂直的直 線有________． 答案　AB，BC，AC　AB 解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥PC.與AP垂直的直線是AB. 6. 如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、 F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結論的序號是________． 答案　①②③ 解析　由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正確． 7． 已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當滿足條件________時，有m⊥β.(填所選條件的序號) 答案?、冖? 解析　若m⊥α，α∥β，則m⊥β. 三、解答題(共22分) 8． (10分)如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形， A1B1＝A1C1，側面BB1C1C⊥底面A1B1C1. (1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1； (2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M，若AM＝MA1， 求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C. 證明　(1)∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥側面BB1C1C， ∴AD⊥側面BB1C1C，∴AD⊥CC1. (2)如圖，延長B1A1與BM的延長線交于點N，連接C1N. ∵AM＝MA1，∴MA1綊BB1， ∴NA1＝A1B1. ∵A1B1＝A1C1， ∴A1C1＝A1N＝A1B1， ∴NC1⊥C1B1. ∵底面NB1C1⊥側面BB1C1C，∴C1N⊥側面BB1C1C， ∴截面C1NB⊥側面BB1C1C， 即截面MBC1⊥側面BB1C1C. 9． (12分)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1 的中點． (1)求證：AB1⊥BF； (2)求證：AE⊥BF； (3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由． (1)證明　連接A1B，則AB1⊥A1B， 又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1， ∴AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，∴AB1⊥BF. (2)證明　取AD中點G，連接FG，BG，則FG⊥AE， 又∵△BAG≌△ADE， ∴∠ABG＝∠DAE. ∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G， ∴AE⊥平面BFG. 又BF?平面BFG，∴AE⊥BF. (3)解　存在．取CC1中點P，即為所求．連接EP，AP，C1D， ∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1. 由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP. 又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E， ∴BF⊥平面AEP. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 已知l，m是不同的兩條直線，α，β是不重合的兩個平面，則下列命題中為真命題的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，則l∥β B．若l∥α，α⊥β，則l∥β C．若l⊥m，α∥β，m?β，則l⊥α D．若l⊥α，α∥β，m?β，則l⊥m 答案　D 解析　∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β.又∵m?β，∴l(xiāng)⊥m. 2． (xx浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中 (　　) A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直 B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直 D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直 答案　B 解析　找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量． 對于選項A，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過點C作CF⊥BD，垂足為F， 在圖(1)中，由邊AB，BC不相等可知點E，F(xiàn)不重合． 在圖(2)中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直， 又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE， ∴BD⊥CE，與點E，F(xiàn)不重合相矛盾，故A錯誤． 對于選項B，若AB⊥CD， 又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D， ∴AB⊥面ADC， ∴AB⊥AC，由ABAB， ∴不存在這樣的直角三角形．∴C錯誤． 由上可知D錯誤，故選B. 3． 已知三棱錐S－ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖所示，過點A作AD⊥BC于點D，連接SD；作AG⊥SD 于點G，連接GB. ∵SA⊥底面ABC，△ABC為等邊三角形， ∴BC⊥SA，BC⊥AD. ∴BC⊥平面SAD. 又AG?平面SAD，∴AG⊥BC. 又AG⊥SD，∴AG⊥平面SBC. ∴∠ABG即為直線AB與平面SBC所成的角． ∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝，SD＝2. 在Rt△SAD中，AG＝＝， ∴sin∠ABG＝＝＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知P為△ABC所在平面外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正確的個數(shù)是________． 答案　3 解析　如圖所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P， ∴PA⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC， ∴PA⊥BC. 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 5． 在正四棱錐P—ABCD中，PA＝AB，M是BC的中點，G是△PAD的重心，則在平面PAD中經(jīng)過G點且與直線PM垂直的直線有________條． 答案　無數(shù) 解析　設正四棱錐的底面邊長為a，(如圖)則側棱長為a. 由PM⊥BC， ∴PM＝＝a. 連接PG并延長與AD相交于N點，則PN＝a，MN＝AB＝a， ∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN， 又PM⊥AD，PN∩AD＝N，∴PM⊥面PAD， ∴在平面PAD中經(jīng)過G點的任意一條直線都與PM垂直． 6． 已知a、b、l表示三條不同的直線，α、β、γ表示三個不同的平面，有下列四個命題： ①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ； ②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α； ④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，l?α，則l⊥α. 其中正確命題的序號是________． 答案　②③ 解析?、僭谡襟wA1B1C1D1—ABCD中，可令平面A1B1CD為α，平面DCC1D1為β，平面A1B1C1D1為γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因為CD∥C1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即α與γ不平行，故①錯誤．②因為a、b相交，假設其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．③由兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知③正確．④當a∥b時，l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，不可得出l⊥α，④錯誤． 三、解答題 7． (13分)如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60， A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝. (1)求證：平面A1BC⊥平面ACC1A1； (2)如果D為AB中點，求證：BC1∥平面A1CD. 證明　(1)因為∠A1AC＝60，A1A＝AC＝1， 所以△A1AC為等邊三角形．所以A1C＝1. 因為BC＝1，A1B＝，所以A1C2＋BC2＝A1B2. 所以∠A1CB＝90，即A1C⊥BC. 因為BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 因為BC?平面A1BC， 所以平面A1BC⊥平面ACC1A1. (2)連接AC1交A1C于點O，連接OD. 因為ACC1A1為平行四邊形， 所以O為AC1的中點． 因為D為AB的中點， 所以OD∥BC1. 因為OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.