34基本不等式

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1、(2 )2a bab 課 時 3. 4基本不等式： （2課時）一 、 導(dǎo) 學(xué) 提 示 ， 自 主 學(xué) 習(xí)二 、 新 課 引 入 ， 任 務(wù) 驅(qū) 動三 、 新 知 建 構(gòu) ， 典 例 分 析四 、 當(dāng) 堂 訓(xùn) 練 ， 針 對 點 評五 、 課 堂 總 結(jié) ， 布 置 作 業(yè)2a bab 一、導(dǎo)學(xué)提示，自主學(xué)習(xí)1.本 節(jié) 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)（ 1） 理 解 并 掌 握 基 本 不 等 式 及 其 推 導(dǎo) 過 程 ， 明 確基 本 不 等 式 成 立 的 條 件 （ 2） 能 利 用 基 本 不 等 式 求 代 數(shù) 式 或 函 數(shù) 的 最 值 ，并 會 解 決 有 關(guān) 的 實 際 問 題 .學(xué) 習(xí) 重

2、點 ： 基 本 不 等 式 的 應(yīng) 用學(xué) 習(xí) 難 點 ： 基 本 不 等 式 推 導(dǎo) 過 程 及 成 立 的 條 件 一、導(dǎo)學(xué)提示，自主學(xué)習(xí)2.本 節(jié) 主 要 題 型題 型 一 比 較 大 小題 型 二 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值題 型 三 基 本 不 等 式 的 實 際 應(yīng) 用3.自 主 學(xué) 習(xí) 教 材 P97-P1003. 4基 本 不 等 式 ： 2a bab 線 性 規(guī) 劃 的 兩 類 重 要 實 際 問 題 的 解 題 思 路 ： （ 1） 應(yīng) 準(zhǔn) 確 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 ， 即 根 據(jù) 題 意 找 出 約 束 條 件 ，確 定 線 性 目 標(biāo) 函 數(shù) 。 （ 2）

3、用 圖 解 法 求 得 數(shù) 學(xué) 模 型 的 解 ， 即 畫 出 可 行 域 ，在 可 行 域 內(nèi) 求 得 使 目 標(biāo) 函 數(shù) 取 得 最 值 的 解 .(一 般 最 優(yōu) 解在 直 線 或 直 線 的 交 點 上 ， 要 注 意 斜 率 的 比 較 .） （ 3） 要 根 據(jù) 實 際 意 義 將 數(shù) 學(xué) 模 型 的 解 轉(zhuǎn) 化 為 實 際問 題 的 解 ， 即 結(jié) 合 實 際 情 況 求 得 最 優(yōu) 解 。 二、新課引入，任務(wù)驅(qū)動 通 過 本 節(jié) 的 學(xué) 習(xí) 你 能 掌 握 基 本 不 等 式 及應(yīng) 用 嗎 ？二、新課引入，任務(wù)驅(qū)動 三、新知建構(gòu)，典例分析 一 .基 本 不 等 式 的 推 導(dǎo)二

4、 .基 本 不 等 式 這 是 2002年 在 北 京 召 開 的 第 24屆 國 際 數(shù)學(xué) 家 大 會 會 標(biāo) 會 標(biāo) 根 據(jù) 中 國 古 代 數(shù) 學(xué) 家 趙 爽的 弦 圖 設(shè) 計 的 ， 顏 色 的 明 暗 使 它 看 上 去 象 一 個風(fēng) 車 ， 代 表 中 國 人 民 熱 情 好 客 。三、新知建構(gòu)，典例分析 2002年 國 際 數(shù) 學(xué) 家 大 會 會 標(biāo) 三 國 時 期 吳 國 的 數(shù) 學(xué) 家 趙 爽三、新知建構(gòu)，典例分析 思 考 ： 這 會 標(biāo) 中 含 有怎 樣 的 幾 何 圖 形 ？思 考 ： 你 能 否 在 這 個圖 案 中 找 出 一 些 相 等關(guān) 系 或 不 等 關(guān) 系 ？

5、三、新知建構(gòu)，典例分析 問 2： Rt ABF,Rt BCG,Rt CDH,Rt ADE是 全 等 三角 形 ， 它 們 的 面 積 總 和 是 S =問 1： 在 正 方 形 ABCD中 ,設(shè) AF=a,BF=b,則 AB= 則 正 方 形 的 面 積 為 S= 。問 3： 觀 察 圖 形 S與 S 有 什 么 樣 的 大小 關(guān) 系 ？ 2 2a b2ab2 2 2a b ab 易 得 ， s s ,即 A D CBc 2 2a b H GFEa b問 4： 那 么 它 們 有 相 等 的 情 況 嗎 ？何 時 相 等 ？ 變 化 的 弦 圖 22 ba 問 題 4： s, S有 相 等 的

6、 情 況 嗎 ？ 何 時 相 等 ？ 圖 片 說 明 ： 當(dāng) 直 角 三 角 形變 為 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即a=b時 ， 正 方 形 EFGH縮 為 一個 點 ， 這 時 有 2 2=2a b abu形 的 角 度u數(shù) 的 角 度 當(dāng) a=b時a2+b2 2ab=(a b)2=0 結(jié) 論 ： 一 般 地 ， 對 于 任 意 實 數(shù) a、 b， 我 們 有 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時 ， 等 號 成 立2 2 2a b a b 問 5： 當(dāng) a,b為 任 意 實 數(shù) 時 ， 還 成 立 嗎 ？此 不 等 式 稱 為 重 要 不 等 式2 2 2a b a b 0, 0, , , ,a

7、 b a b a b 如 果 我 們 用 分 別 代 替可 得 到 什 么 結(jié) 論 ？2 2( ) ( ) 2a b a b 2a b ab 替 換 后 得 到 ： 即 ： )0,0( ba2a b ab 即 ：你 能 用 不 等 式 的 性 質(zhì) 直 接 推 導(dǎo) 這 個 不 等 式 嗎 ？三、新知建構(gòu)，典例分析 2a b ab 證 明 ： 要 證 只 要 證 _a b 要 證 ， 只 要 證 _ 0a b 要 證 ， 只 要 證 2(_ _) 0 顯 然 , 是 成 立 的 .當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時 , 中 的 等 號 成 立 . 分析法2 2( 0, 0, ( ) , ( ) )a b a

8、 a b b 2a b ab )0,0( ba證 明 不 等 式 ： 2 ab2 abba 特 別 地 ， 若 a0， b0， 則 _2a b ab通 常 我 們 把 上 式 寫 作 ： ( 0, 0)2a bab a b 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時 取 等 號 ， 這 個 不 等 式 就 叫 做 基 本 不 等 式 .在 數(shù) 學(xué) 中 ， 我 們 把 叫 做 正 數(shù) a， b的 算 術(shù) 平 均 數(shù) ， 叫 做 正 數(shù) a， b的 幾 何 平 均 數(shù) ；2a bab文 字 敘 述 為 ：兩 個 正 數(shù) 的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 不 小 于 它 們 的 幾 何 平 均 數(shù) .適 用 范 圍 ： a0,

9、b0 你 能 用 這 個 圖 得 出 基 本 不 等 式 的 幾 何 解 釋 嗎 ?Rt ACD Rt DCB， BC DC 所 以 DCAC2DC BC AC ab 所 以 A BCDEa bO如 圖 , AB是 圓 的 直 徑 , O為 圓 心 ，點 C是 AB上 一 點 , AC=a, BC=b. 過 點 C作 垂 直 于 AB的 弦 DE,連 接AD、 BD、 OD. 如 何 用 a, b表 示 CD? CD=_ 如 何 用 a, b表 示 OD? OD=_2a bab 你 能 用 這 個 圖 得 出 基 本 不 等 式 的 幾 何 解 釋 嗎 ? 如 何 用 a, b表 示 CD?

10、CD=_ 如 何 用 a, b表 示 OD? OD=_2a bab OD與 CD的 大 小 關(guān) 系 怎 樣 ? OD_CD如 圖 , AB是 圓 的 直 徑 , O為 圓 心 ，點 C是 AB上 一 點 , AC=a, BC=b. 過 點 C作 垂 直 于 AB的 弦 DE,連 接AD、 BD、 OD. 2a b ab 幾 何 意 義 ： 半 徑 不 小 于 弦 長 的 一 半A D BEOCa b 適 用 范 圍文 字 敘 述“=”成 立 條 件 2 2 2a b ab 2a b ab a=b a=b兩 個 正 數(shù) 的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 不小 于 它 們 的 幾 何 平 均 數(shù)兩 數(shù) 的

11、平 方 和 不小 于 它 們 積 的 2倍 a,b R a0,b0填 表 比 較 ：注 意 從 不 同 角 度 認 識 基 本 不 等 式三、新知建構(gòu)，典例分析 重 要 變 形 ： 2 220, 0, 2 2ab a b a ba b aba ba b 若 則 ，當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時 取 等 號 。 （ 由 小 到 大 ）三、新知建構(gòu)，典例分析 2 .典 例 分 析 ：題 型 一 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值題 型 二 基 本 不 等 式 的 實 際 應(yīng) 用三、新知建構(gòu)，典例分析 11(1) 0, ;x x x 例 . 已 知 求 的 最 值 .21xx1x 2121:時原式有最小值即

12、當(dāng)且僅當(dāng)解 xxxx ;1,0)2(的最值求已知xxx 有最值，并求其最值。為何值時，函數(shù)當(dāng)函數(shù)若xxxyx ,31,3)3( 結(jié) 論 1： 兩 個 正 數(shù) 積 為 定 值 ， 則 和 有 最 小 值 5331)3(2 33-x1)3-x(31y 3x:3 xxxx、解。最大值為時，函數(shù)有最大值，即當(dāng)且僅當(dāng)5 4,313 xxx .21xx1x 2)1()(2)x1()x(1:2 時有最大值即當(dāng)且僅當(dāng)、解xxxx 配 湊 系 數(shù)分 析 : x+(1-2x) 不 是 常 數(shù) .2 =1為 解 : 0 x0.12 y=x(1-2x)= 2x(1-2x) 12 22x+(1-2x) 212 18=

13、. 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時 , 取 “ =”號 .2x=(1-2x), 即 x= 14 當(dāng) x = 時 , 函 數(shù) y=x(1-2x) 的 最 大 值 是 .14 18 例 2. 若 0 x0， 0， 若 是 與 的 等 比 中 項 ， 則a b 3 a3 b3 ba 11得 最 小 值 為 （ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（ 2009年 天 津 理 6）B因 此 ， 這 個 矩 形 的 長 為 12m、 寬 為 6m時 ，花 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 72m2因 此 ， 這 個 矩 形 的 長 為 12m、 寬 為 6m時 ，花 園 面 積 最 大 ， 最 大 面

14、 積 是 72m 2 四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對點評 a2.（ 2009山 東 理 12T)設(shè) 滿 足 約 束 條 件 若 目 標(biāo) 函 數(shù)yx, ,0y,0 x ,02yx ,06yx3byaxz （ 0， 0） 的 最 大 值 為 12， 則 的 最 小 值 為 （ ）b b3a2 A. B. C. D. 4 625 38 311略 解 ： xy0 2-2 2 02yx 063 yx byaxz (4,6) 點 選把 （ 4， 6） 代 入 z=ax+by得 4a+6b=12,2 3 2 3 2a+3b即 2a+3b=6,而 + = +a b a b 613 b a 13 25= +( + ) +2

15、= ,故 A6 a b 6 6 A 2.如 圖 ， 用 一 段 長 為 24m 的 籬 笆 圍 一 個 一 邊 靠 墻的 矩 形 花 園 ， 問 這 個 矩 形 的 長 、 寬 各 為 多 少 時 ， 花園 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對點評 2.如 圖 ， 用 一 段 長 為 24m 的 籬 笆 圍 一 個 一 邊 靠 墻的 矩 形 花 園 ， 問 這 個 矩 形 的 長 、 寬 各 為 多 少 時 ， 花園 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？解 ： 設(shè) AB=x ， BC=24 2x ， 矩 形 花 園 的 面 積 為 x(24

16、 2x) m2(24 2 )y x x 令因 此 ， 這 個 矩 形 的 長 為 12m、 寬 為 6m時 ，花 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 72m 2當(dāng) x=6時 ， 函 數(shù) y取 得 最 小 值 為 722 224 2 2( 6) 72y x x x 則 (0 12)x 五、課堂總結(jié)，布置作業(yè)1 課 堂 總 結(jié) ：（ 1） 涉 及 知 識 點 ：基 本 不 等 式 及 其 應(yīng) 用 。（ 2） 涉 及 數(shù) 學(xué) 思 想 方 法 ：轉(zhuǎn) 化 與 回 歸 思 想 ； 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 ； 分 類 與 整 合思 想 。 2 21 R, 2 ( ) , ,a b a b ab a

17、b那 么 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時 ,等 號 成 立(2) ( 0, 0)2a bab a b a b ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時 ， 等 號 成 立 。求 最 值 時 注 意 把 握 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ”已 知 x, y 都 是 正 數(shù) , P, S 是 常 數(shù) .(1) xy=P x+y 2 P(當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y 時 , 取 “ =”號 ).(2) x+y=S xy S2(當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y 時 , 取 “ =”號 ).142. 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值1. 兩 個 重 要 的 不 等 式三、新知建構(gòu)，典例分析 五、課堂總結(jié)，布置作業(yè)2.作 業(yè) 設(shè) 計 ： P93習(xí) 題 3.3A組 1-23.預(yù) 習(xí) 任 務(wù) ： 必 修 5教 材 87- 913.3.2簡 單 的 線 性 規(guī) 劃 問 題