【教學設計】《空間幾何體的直觀圖》(人教版)

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1、 《空間幾何體的直觀圖 》 ◆ 教材分析 “空間幾何體的直觀圖” 只介紹了最常用的、 直觀性好的斜二測畫法。 用斜二測畫法畫 直觀圖，關鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法，這是畫空間幾何體直觀圖的基礎。 因此， 教科書安排了兩個例題， 用以說明畫水平放置的平面圖形直觀圖的方法和步驟。 在教 學中，要引導學生體會畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點

2、的位置。 因為 多邊形頂點的位置一旦確定， 依次連接這些頂點就可畫出多邊形來， 因此平面多邊形水平放 置時， 直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。 而在平面上確定點的位置， 可以借助 于平面直角坐標系， 確定了點的坐標就可以確定點的位置。 因此，畫水平放置的平面直角坐 標系應當是學生首先要掌握的方法。 值得注意的是直觀圖的教學應注意引導學生正確把握圖形尺寸大小之間的關系；另外， 教學中還可以借助于信息技術向學生多展示一些圖片， 讓學生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形。 ◆ 教學目標

3、 【知識與能力目標】 （ 1）掌握斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖。 （ 2）采用對比的方法了解在平行投影下面空間圖形與在中心投影下面空間圖形兩種方法的各自特點。 【過程與方法目標】 學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。 【情感態(tài)度價值觀目標】 （ 1）提高空間想象力與直觀感受。 （ 2）體會對比在學習中的作用。 （ 3）感受幾何作圖在生產活動中的應用。 ◆ 教學重難點 ◆ 【教學重點】 用斜二測畫法畫空間幾何

4、體的直觀圖。 【教學難點】 直觀圖和三視圖的互化。 ◆ 課前準備 ◆ 多媒體課件 ◆ 教學過程 （一）導入新課 出示幻燈片 3( 浙江省臺州的斑馬線披上的“立體彩裝” ) 問題：左圖的斑馬線為什么會有立體的感覺？如何把立體圖形畫在紙上？ 由此引入“直觀圖”的概念 教師指出： 很多圖片都是空間圖形在平面上的反映， 通過對圖片的研究可以了解空間圖 形的一些性質和特征。 三視圖是用平面圖形表示空間圖形的一種重要方法， 但三視圖的直觀

5、 性較差， 因此有必要繪制空間圖形的直觀圖。 一般采用中心投影或平行投影。 中心投影雖然 可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖較復雜，又不易度量。立體幾何中常用平行投影 ( 斜 投影 ) 來畫空間圖形的直觀圖，這種畫法叫做斜二測畫法。 （出示幻燈片 5，介紹投影規(guī)律） （二）課堂探究 1 、水平放置的平面圖形的畫法 思考 1: 把一個矩形水平放置，從適當的角度觀察，給人以平行四邊形的感覺，如圖。 比較兩圖，其中哪些線段之間的位置關系、數量關系發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？ 思考 2: 把一個直角梯形水平放置，得其直觀圖如圖，比

6、較兩圖，其中哪些線段之間的位置關系、數量關系發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？ 思考 3: 畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，關鍵是確定直觀圖中各頂點的位置，我 們可以借助平面坐標系解決這個問題。 那么在畫水平放置的直角梯形的直觀圖時應如何操 作？ 活動：學生觀察幻燈片上的圖片，思考，交流討論回答思考 1、 2 中的問題，并結合前 兩副圖獲得的直觀認知， 嘗試解決思考 3 中的問題， 教師給予評價。 在此基礎之上再進一步 學習水平放置的正六邊形的直觀圖畫法。 例１、用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖。 活動：教師

7、首先示范畫法，并讓學生思考斜二測畫法的關鍵步驟 , 讓學生發(fā)表自己的見 解，教師及時給予點評。 討論結果：①畫法： 1如圖 1（ 1），在正六邊形 ABCDEF中，取 AD所在直線為 x 軸，對稱軸 MN所在直線為 y 軸，兩軸相交于點 O。在圖 1(2) 中，畫相應的 x′軸與 y′軸，兩軸相交于點 O′，使∠ x′ O′ y′ =45。 2 在圖 1(2) 中，以 O′為中點， 在 x′軸上取 A′ D′ =AD，在 y′軸上取 M′N′ = 1 2 MN。以點 N′為中點畫 B′C′平行于 x′軸， 并且等于 BC；再以 M′為中點畫 E′

8、F′平行于 x′軸，并且等于 EF。 3 連接 A′ B′， C′ D′， D′ E′， F′ A′，并擦去輔助線 x′軸和 y′軸，便獲得正六邊形 ABCDEF水平放置的直觀圖 A′ B′ C′D′ E′ F′〔圖 1(3) 〕。 圖 1 ②步驟是： 1在已知圖形中取互相垂直的 x 軸和 y 軸，兩軸相交于點 O。畫直觀圖時，把它們畫成對應的 x′軸與 y′軸， 兩軸交于點 O′， 且使∠ x′ O′ y′=45 ( 或 135 ) ，它們確定的平面表示水平面。 2已

9、知圖形中平行于 x 軸或 y 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 x′軸或 y′軸的 3已知圖形中平行于 x 軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于 y 軸的線段， 長度為原來的一半。 思考 4: 斜二測畫法可以畫任意多邊形水平放置的直觀圖，如果把一個圓水平放置，看起來像什么圖形？在實際畫圖時用什么方法？ 2、 空間幾何體的直觀圖的畫法 思考 1: 對于柱、 錐、臺等幾何體的直觀圖， 可用斜二測畫法或橢圓模板畫出一個底面， 我們能否再用一個坐標確定底面外的點的位置？ （由此引入空間直角坐標系，教

10、師強調三個坐標軸的位置關系。 ） 例 2、用斜二測畫法畫長、 寬、高分別是 4 cm、3 cm、2 cm的長方體 ABCD-A′ B′ C′D′ 的直觀圖。 活動：讓學生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點評。 討論結果：③畫法：1畫軸。如圖 2，畫 x 軸、y 軸、z 軸，三軸相交于點 O，使∠ xOy=45， ∠ xOz=90。 圖 2 2畫底面。以點 O為中點，在 x 軸上取線段 MN，使 MN=4 cm;在 y 軸上取線段 PQ，使 PQ=3

11、cm。分別過點 M和 N作 y 軸的平行線，過點 P 和 Q作 x 軸的平行線，設它們的交點分 2 別為 A、 B、 C、 D，四邊形 ABCD就是長方體的底面 ABCD。 3畫側棱。過 A、B、C、D各點分別作 z 軸的平行線，并在這些平行線上分別截取 2 cm 長的線段 AA′、 BB′、 CC′、 DD′。 4成圖。順次連接 A′、 B′、 C′、 D′，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分 改為虛線），就得到長方體的直觀圖。 點評： 畫幾何體的直觀圖時，如果不作嚴格要求， 圖形尺寸可以適當選取， 用斜二測畫 法畫圖的角

12、度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感。 思考 2: 畫棱柱、棱錐的直觀圖大致可分幾個步驟進行？ 討論結果： 畫幾何體的直觀圖時還要建立三條軸， 實際是建立了空間直角坐標系， 而畫 水平放置平面圖形的直觀圖實際上建立的是平面直角坐標系。畫幾何體的直觀圖的步驟是： 畫軸 畫底面畫側棱 成圖，具體步驟如下 1 在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸 Ox、Oy，再作 Oz 軸， 使∠ xOy=90 , ∠ yOz=90。 2 畫出與 Ox、Oy、Oz 對應的軸 O′x′、 O′y′、O′ z′，使∠ x

13、′O′ y′ =45， ∠ y′ O′ z′ =90 ,x ′ O′ y′所確定的平面表示水平平面。 3 已知圖形中， 平行于 x 軸、 y 軸和 z 軸的線段， 在直觀圖中分別畫成平行于 x′ 軸、 y′軸和 z′軸的線段，并使它們在所畫坐標軸中的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同。 4 已知圖形中平行于 x 軸和 z 軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于 y 軸 的線段，長度為原來的一半。 5 擦除作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖。斜二測畫法的作圖技巧 : 1 在已知

14、圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖 時，一般建立特殊的直角坐標系， 盡量運用原有直線為坐標軸或圖形的對稱直線為坐標軸或 圖形的對稱點為原點或利用原有垂直正交的直線為坐標軸等。 2 在原圖中與 x 軸或 y 軸平行的線段在直觀圖中依然與 x′軸或 y′軸平行，原圖 中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線， 畫端點時作坐標軸的平行線為輔助 線。原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點， 利用上述方法作出直觀圖中的相應點后， 用平 滑的曲線連接而畫出。 3 在畫一個水平放置的平

15、面時，由于平面是無限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個水平平面的直觀圖。 例 3 已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖。 圖 4 活動：讓學生由三視圖還原為實物圖，并判斷該幾何體的結構特征。 教師分析： 由幾何體的三視圖知道， 這個幾何體是一個簡單組合體， 它的下部是一個圓 柱，上部是一個圓錐， 并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合。 我們可以先畫 出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐。 解：畫法

16、： （1）畫軸。如圖 5（ 1），畫 x 軸、 y 軸、 z 軸，使∠ xOy=45 , ∠ xOz=90。 (1) (2) 圖 5 （2）畫圓柱的兩底面，仿照例 2 畫法，畫出底面⊙ O。在 z 軸上截取 O′，使 OO′等于三視 圖中相應高度，過 O′作 Ox 的平行線 O′ x′ ,Oy 的平行線 O′y′ , 利用 O′ x′與 O′y′畫出底面⊙ O′（與畫⊙ O一樣）。 （3）畫圓錐的頂點。在  Oz 上截取點  P，使

17、  PO′等于三視圖中相應的高度。 （4）成圖。連接  PA′，PB′，A′A，B′ B，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖  〔圖  5(2)  〕。 點評： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖。同時，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖。 （三）課堂訓練 1、已知一個四邊形 ABCD的水平放置的直觀圖 A′ B′ C′ D′是一個邊長為 2 的正方形， 請 畫出這個圖形的真是圖形，并計算真是圖形的面積。

18、 2、一個四邊形的直觀圖是邊長為 a 的正方形，則原圖形的面 積是。 3、（ 2012濟南高一檢測）利用斜二測畫法得到的 （ 1）三角形的直觀圖是三角形。 （ 2）平行四邊形的直觀圖是平行四邊形。 （ 3）正方形的直觀圖是正方形。 （ 4）菱形的直觀圖是菱形。以上結論，正確的是 ( ) A、 (1)(2) B 、 (1) C、 (3)(4) D 、 (1)(2)(3)(4) 4、如圖，一個平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖是一個等 腰梯形， 它的底角為 45，兩腰和上底邊長均為 1，求這個平 面圖形的面積。 （七）作業(yè) 習題 1、 2 A 組 第 5、6 題。 ◆ 教學反思 略。